119.727, 119.727, 149.863, 149.863
= -10.4995 = -7.93833
= -7.39488 = 0
Stabil
118.175, -0.610794, 149.079, -1.92342
= -10.5539 = -7.24009
= -0.332473 = 0
Stabil
β = 0.5 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 4 0, 0, 0, 0
= -90.6214 = 86.1914
= -0.430005 = 0
Sadel takstabil
-0.006373, 124.544, -0.199304, 234.911
= -117.886 = -90.6082
= 86.2813 = 0
Sadel takstabil
124.65, 124.65, 234.923, 234.923
= -118.005 = -117.803
= -66..2993 = 0
Stabil
124.544, -0.006373, 234.911, -0.199304
= -117.919 = -66.2387
= -0.330263 = 0
Stabil
Pada kondisi nyata, kasus tersebut tidak mungkin terjadi.
4.2.2 Analisis Model Kunjungan
Model kunjungan pada persamaan 3.5 berikut : =
− − +
−
= +
− − Dengan memberikan nilai a = 2 maka diperoleh:
= 2 −
− +
2 − =
2 − −
+ 2 −
= + 2 −
− = +
2 − −
4.5
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
didefinisikan , , , =
− −
+ −
, , , = −
− +
− , , , = +
− −
, , , = + −
− 4.6
Dengan melakukan pelinearan persamaan 4.5, maka diperoleh matriks Jacobi:
=
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎡
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎤
=
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎡ − + − − +
− 2 −
2 − 2
− 2 −
2 − 2 −
2 − 2 −
− +
− − +
− ⎦
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎤
Sistem persamaan memiliki empat titik tetap yaitu : T
1
0, 0, 0, 0, T
2
, ,
, ,
T
3
dan T
4
. Untuk titik tetap T
3
dan T
4
dapat di lihat pada Lampiran 3. Kestabilan diperoleh dengan menganalisa nilai eigen pada titik tetapnya.
Pelinearan pada titik tetap kesatu T
1
0, 0, 0, 0 diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
= −
0 − 2
2 2
2 2
2 2
2 −
−
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
Nilai eigen dari matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menyelesaikan − | = 0. Dan dengan menggunakan software Mathematica 7.0, diperoleh
nilai eigen yang merupakan akar dari persamaan polinomial berderajat empat, yaitu:
+ + + −
1 + 4
+ + + −
1 − 4
= 0
Nilai eigen dapat diekspresikan sebagai berikut:
λ
,
=
±
dan λ
,
=
±
Dari hasil evaluasi pada tersebut, jika + − 4
− dengan semua parameter bernilai positif, maka + akan bernilai positif.
Sehingga :
−4 −
−4 + 1 + 0
1 + 4 1 +
4 Jadi nilai eigen akan negatif jika
, sehingga untuk : a. + − 4
− 0 maka λ 0, i = 1, 2, 3, 4
b. + − 4 −
0 maka λ i = 1, 2, 3, 4 kompleks dengan Re λ 0.
Jika sistem memenuhi kondisi tersebut, maka pada titik tetap T
1
akan stabil. Sedangkan
untuk pelinearan
titik tetap
kedua T
2
, ,
,
, nilai eigen dari matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menyelesaikan
| − | = 0. Dengan menggunakan software Mathematica 7.0 diperoleh persamaan:
1 2
+
1
+
1 2
2
+
2
+
2
= 0.
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
Nilai eigen dapat diekspresikan sebagai berikut: λ
,
=
±
dan λ
,
=
±
dengan :
a
1
= 41 + 1 + + 2 1 + + 2 b
1
= 21 + + 1 + + 4 1 +
+ 4 + 4 1 +
+ 4 c
1
= 1 + + 2 1 + + 2 1 +
− 41 + a
2
= 1 + 1 + + 2 1 + + 2 2 + 2 +
2 +
1 + + 2 γ8
b
2
= 1 + 1 + + 2 1 + + 2 + 1 +
+ 4 1 + + 4 + 4
1 + + 4
c
2
= 1 + 1 +
1 + + 2 + 2 1 +
− 4 −
1 + + 4 1 +
+ 4 2 + 1 +
−4 1 + 1 + + 2
− 41 + 1 + + 2
Sehingga dari hasil evaluasi pada tersebut, nilai eigen akan negatif jika − 4
0. Karena semua parameter bernilai positif maka bernilai positif.
Sehingga: −4
−4[41 + 1 + + 2 1 + + 2 ] [ 1 + + 2 1 + + 2
1 + − 41 +
] 0 Karena semua parameter bernilai positif maka :
−4[ 1 +
− 41 + ] 0
−4 1 +
+ 161 + 4
1 + 161 +
. Sehingga dari hasil evaluasi pada tersebut, nilai eigen akan negatif jika
, maka untuk: a.
− 4 0, sehingga λ 0, i = 1, 2, 3, 4
b. − 4
0, sehingga λ i = 1, 2, 3, 4 kompleks dengan Re λ 0. Jika nilai-nilai parameter disubstitusikan pada persamaan 4.5, maka
diperoleh nilai-nilai yang dituliskan dalam Tabel 3 berikut :
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
Tabel 3 Nilai Eigen Model Kunjungan
Parameter Titik tetap
Tx
1
, x
2
, y
1
, y
2
Nilai Eigen Kestabilan
β = 0.0005 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 4 T = 0.9
0, 0, 0, 0 = -5.01208
= -0.33 = -0.317919
= 0 Stabil
341.975, -10954.8 -9859.07, 8227.9
= -4.95309 = 4.69469
= 0.906681 = 0
Sadel takstabil
-10954.8, 341.975, 8227.89, -9859.1
= 0.155116 + 4.6347 i = 0.155116 - 4.6347 i
= 0.902893 = 0
Sadel Takstabil
-2010.05, -2010.05, -308.944, -308.94
= -3.34082 = 0.213862
= -0.0365036 = 0
Sadel takstabil
β = 0.0025 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 3 T = 0.9
0, 0, 0, 0 = -5.28538
= -0.33 = -0.0446398
= 0 Stabil
91.0838, 91.0838, 39.8192, 39.8192
= -5.59561 = -0.519141
= -0.356177 = 0
Stabil
271.827, -2394.84, -8085.99, 7157.9
= -10.8436 = 10.4756
= 3.82536 = 0
Sadel takstabil
-2394.84, 271.827, 7157.87, -8085.99
= 0.160704 + 10.4576 i = 0.160704 – 10.4576 i
= 3.80267 = 0
Sadel takstabil
β = 0.05 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 7 T = 0.9
0, 0, 0, 0 = -26.5622
= 21.2322 = -0.33
= 0 Sadel
Takstabil 167.221, -163.83,
82.548, -76.9061 = -24.2496
= 17.9048 = -0.839917
= 0 Sadel
takstabil 247.912, 247.912,
412.439, 412.439 = -39.5867
= -39.5867 = -28.4767
= 0 Stabil
254.625, -370.818, -1893.63, 1700.3
= -55.2558 = 53.8897
= 18.0256 = 0
Sadel takstabil
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
β = 0.5 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 7 T = 0.9
0, 0, 0, 0 = -240.505
= 235.175 = -0.33
= 0 Sadel
Takstabil 247.872, -227.311,
406.179, -365.86 = -109.952
= 82.9108 = -38.5531
= 0 Sadel
takstabil 249.823, 249.823,
489.684, 489.684 = -465.533
= -465.529 = -242.328
= 0 Stabil
251.303, -285.582, -668.387, 601.2
= -356.669 = 354.177
= 63.5229 = 0
Sadel takstabil
Pada kondisi nyata, kasus tersebut tidak mungkin terjadi.
4.3 Analisis Numerik Model Ross-MacDonald dan Model dengan Lingkungan Heterogen dengan Mobilitas
4.3.1 Simulasi Model Ross-MacDonald
