2.2 Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada sistem 2.3. Titik disebut titik tetap, jika = . Titik tetap disebut juga titik
kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya digunakan istilah titik tetap.
Tu 1994
2.3 Titik Tetap Stabil
Misalkan ̅ adalah titik tetap sebuah SPD dan xt adalah sebuah solusi SPD yang memenuhi kondisi awal 0 =
dengan ≠ ̅. Titik dikatakan titik
tetap stabil untuk sebarang radius 0, terdapat r 0 sedemikian sehingga
jika posisi awal memenuhi | − ̅| , maka solusi xt memenuhi
| − ̅| , untuk setiap t 0. Verhulst 1990
2.4 Titik Tetap Takstabil
Misalkan ̅ adalah titik tetap sebuah SPD dan xt adalah sebuah solusi SPD yang memenuhi kondisi awal 0 =
dengan ≠ ̅. Titik dikatakan titik
tetap takstabil untuk sebarang radius 0, terdapat r 0 sedemikian sehingga
jika posisi awal memenuhi | − ̅| , maka solusi xt memenuhi
| − ̅| ≥ , untuk paling sedikit ada satu t 0. Verhulst 1990
2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan berukuran x dan sistem
persamaan diferensial biasa homogen ̇ = , = ,
∈ ℝ . Suatu vektor taknol di dalam ℝ disebut vektor eigen dari
jika untuk suatu skalar berlaku:
= .
2.4
Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari .
Untuk mencari nilai dari , maka sistem persamaan 2.4 dapat ditulis − = .
2.5 dengan adalah matriks identitas. Sistem persamaan 2.5 mempunyai solusi
taknol jika dan hanya jika
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
= | − | = 0. 2.6
Persamaan 2.6 merupakan persamaan karakteristik matriks . Anton 1995
2.6 Pelinearan
Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial taklinear dapat dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa
taklinear
̇ = , ∈ ℝ 2.7
dengan ∈ ℝ adalah suatu fungsi bernilai vektor dalam waktu
dan : → ℝ adalah suatu fungsi mulus yang terdefinisi pada subhimpunan ⊂ ℝ .
Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap , maka sistem persamaan 2.7 dapat ditulis sebagai
̇ ≡ ̇ = + . 2.8
dengan adalah matriks Jacobi
= =
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎡
⋯ ⋯
⋮ ⋮
⋱ ⋮
⋯ ⎦
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎤ ,
= −
dan adalah suku berorde tinggi yang bersifat lim
→
= 0. pada sistem persamaan 2.8 disebut pelinearan sistem persamaan 2.7.
Tu 1994
2.7 Kestabilan Titik Tetap
Diberikan SPD 2.7 dengan pelinearannya adalah SPD 2.8, maka kestabilan titik tetap diperoleh dari nilai eigen persamaan karakteristik matriks
Jacobi dengan kriteria sebagai berikut: 1. Bila semua nilai eigennya real negatif, maka titik tetapnya adalah stabil.
2. Bila semua nilai eigennya adalah real berlainan tanda, maka titik tetapnya
adalah sadel.
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
3. Bila semua nilai eigennya adalah kompleks dengan bagian realnya negatif, maka titik tetapnya adalah spiral stabil.
4. Bila semua nilai eigennya adalah kompleks dengan bagian realnya positif, maka titik tetapnya adalah spiral takstabil.
5. Bila semua nilai eigennya kompleks dengan bagian nilai realnya nol, maka titik tetapnya adalah center atau spiral.
Huntley Johnson 1983 Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa kestabilan titik
tetap mempunyai perilaku sebagai berikut : 1 Stabil jika :
a Setiap nilai eigen real adalah negatif 0 untuk setiap i. b Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau
sama dengan nol, Re ≤ 0 untuk setiap i. 2 Takstabil jika :
a Terdapat minimal satu nilai eigen realnya adalah positif. b Terdapat minimal satu komponen bagian real nilai eigen kompleks lebih
besar dari nol.
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA
Kategori