Deformasi dinding cangkang shell tanpa lenturan

Dengan demikian, medan tegangan pada pelat adalah tarik pada satu arah dan tekan pada arah tegak lurusnya. Kedua arah ini membentuk sudut 45º dengan garis lurus pembentuk cangkang tersebut.

2.4. Deformasi dinding cangkang shell tanpa lenturan

Pada pembahasan tentang deformasi dan tegangan dalam cangkang shell berikut ini system notasinya sama dengan yang dipergunakan pada pembahasan pelat. Kita tandai ketebalan cangkang dengan h, dimana besarnya selalu dianggap kecil dibandingkan dengan besaran lain dari cangkang dan dengan jari-jari kelengkungannya. Permukaan yang membagi ketebalan pelat sama besar disebut permukaan tengah middle surface. Dengan menspesifikasikan bentuk permukaan tengah dan ketebalan cangkang pada setiap titik, maka suatu cangkang ditentukan sepenuhnya secara geometris. Untuk menganalisis gaya-gaya dalam, kita potong suatu elemen yang kecilnya tak terhingga dari cangkang itu yang dibentuk oleh dua pasang bidang yang berdekatan dan tegak lurus terhadap permukaan tengah dari cangkang itu, dan yang memiliki kelengkungan utamanya. Kita ambil sumbu-sumbu koordinat x dan y yang menyinggung garis kelengkungan utama pada titik 0 dan sumbu z yang tegak lurus pada permukaan tengah, seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.6. Jari-jari utama kelengkungan yang terletak pada bidang xz dan yz ditandai masing-masing oleh r x dan r y . Tegangan yang bekerja pada permukaan bidang elemen itu diuraikan dalam arah sumbu-sumbu koordinat, dan komponen tegangan ditunjukkan oleh simbol σ x , σ y , τxy = τyx, τxz . Dengan notasi ini, gaya resultan per satuan panjang penampang melintang normal seperti pada gambar adalah: Universitas Sumatera Utara � � = ∫ � � �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 �� � � = � � � �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 �� � �� = ∫ � �� �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 �� � �� = � � �� �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 �� � � = ∫ � �� �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 �� � � = � � �� �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 � Gambar 2.6. 5 Besaran zr x dan zr y yang kecil tampak pada persamaan a, b, c, karena sisi-sisi lateral elemen yang diperlihatkan pada gambar 2.6a memiliki bentuk trapesium yang disebabkan oleh kelengkungan cangkang. Hal ini akan 5 Sumber buku “Teori Pelat dan Cangkang” oleh Timoshenko halaman 342 a b c Universitas Sumatera Utara menyebabkan tidak samanya gaya geser Nxy dan Nyx satu dengan lainnya, meskipun di sini masih berlaku bahwa τxy = τyx. Pada pembahasan selanjutnya, kita harus mengasumsikan bahwa ketebalan h adalah sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari r x , r y dan mengabaikan suku-suku zr x dan zr y pada persamaan-persamaan a, b, c. Kemudian Nxy = Nyx dan resultan gaya geser dinyatakan oleh persamaan yang sama seperti pada pelat. Momen lentur dan puntir per satuan panjang penampang normal dituliskan dengan persamaan berikut ini: � � = ∫ � � � �1 − � � � � + ℎ 2 − ℎ 2 �� � � = ∫ � � � �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 �� � �� = ∫ � �� � �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 �� � �� = � � �� � �1 − � � � � +ℎ2 −ℎ2 �� di mana penentuan arah momennya mempergunakan aturan yang sama seperti yang dipergunakan pada pelat. Pada pembahasan selanjutnya, kita abaikan lagi besaran zr x dan zr y yang kecil, yang disebabkan oleh kelengkungan cangkang, dan untuk momennya, digunakan persamaan yang sama dengan yang dipergunakan pada pembahasan pelat. Dalam membahas lenturan cangkang diasumsikan bahwa elemen linear, seperti AD dan BC Gambar 2.6a, yang tegak lurus pada permukaan tengah, tetap lurus dan menjadi tegak lurus terhadap permukaan tengah cangkang yang dideformasikan. Suatu kasus yang sederhana di mana, selama pelenturan, permukaan lateralmelintang elemen ABCD hanya berotasi terhadap garis-garis perpotongannya dengan permukaan tengah. Jika r` x dan r` y merupakan besaran d e Universitas Sumatera Utara jari-jari kelengkungan setelah deformasi, maka “perpanjangan satuan” suatu belahan tipis lamina pada jarak z dari permukaan tengah gambar 2.6a adalah ∈ � = − � 1− � �� � 1 �` � − 1 � � � ∈ � = − � 1− � �� � 1 �` � − 1 � � � f Jika, selain rotasi, sisi-sisi lateral elemen berpindah tempat parallel terhadap dirinya sendiri akibat meregangnya permukaan tengah, dan jika perpanjangan satuan bagian tengah permukaan yang bersangkutan pada x dan y ditandai masing- masing dengan є 1 dan є 2 , maka perpanjangan dari belahan yang ditinjau di atas seperti yang terlihat pada gambar 2.6c adalah ∈ � = � 2 − � 1 � 1 Dengan mensubstitusikan menyulihkan � 1 = �� �1 − � � � � � 2 = ��1 +∈ 1 �1 − � �` � � Kita peroleh ∈ � = ∈ 1 1− � �� − � 1− � �� � 1 1−∈ 1 �` � − 1 � � � Persamaan yang serupa dapat diperoleh untuk pertambahan panjang . Pada pembahasan selanjutnya, ketebalan cangkang h akan selalu dianggap kecil bila dibandingkan dengan jari-jari kelengkungannya. Dalam hal seperti ini, besaran zr x dan zr y dapat diabaikan, bila dibandingkan dengan satu. Kita harus mengabaikan juga pengaruh pertambahan panjang dan pada kelengkungan. Oleh karena itu, sebagai pengganti persamaan g di atas, didapat ∈ � = ∈ 1 − � � 1 �` � − 1 � � � =∈ 1 − � � � g Universitas Sumatera Utara ∈ � = ∈ 2 − � � 1 �` � − 1 � � � =∈ � − � � � dimana χ x dan χ y menunjukkan perubahan lengkungan. Dengan mempergunakan persamaan untuk menghitung komponen regangan suatu belahan ini dan dengan menganggap bahwa tidak ada tegangan normal antara belahan σ z , maka diperolehlah persamaan untuk menghitung komponen tegangan seperti berikut ini � � = � 1 − � 2 �∈ 1 − � ∈ 2 − ��� � + �� � �� � � = � 1 − � 2 �∈ 2 − � ∈ 1 − ��� � + �� � �� Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan a dan b dengan mengabaikan besaran zr x dan zr y yang kecil dibandingkan dengan angka satu, maka diperoleh � � = �ℎ 1 − � 2 ∈ 1 + � ∈ 2 � � = �ℎ 1−� 2 ∈ 2 + � ∈ 1 � � = −�� � − �� � � � = −�� � − �� � Dimana D menunjukkan ketegaran lentur cangkang � = �ℎ 3 121−� 2 sama dengan kekakuan pelat. Kasus yang lebih umum tentang deformasi elemen pada gambar 2.6 akan dapat diperoleh bila dianggap bahwa, selain tegangan normal, tegangan gesernya juga bekerja pada sisi-sisi lateral dari elemen. Bila regangan geser pada permukaan tengah cangkang ditandai dengan γ, dan rotasi tepi BC relative 1 Universitas Sumatera Utara terhadap Oz sekitar sumbu x gambar 2.6a ditandai dengan χ xy dx maka diperoleh � �� = �� − 2�� �� �� Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan b dan e dengan mempergunakan penyederhanaan, maka diperoleh � �� = � �� = �ℎ� 21+� � � = −� �� = �1 − �� �� Jadi, dengan menganggap bahwa selama pelenturan suatu cangkang, elemen linear yang tegak lurus pada permukaan tengah adalah tetap lurus dan menjadi tegak lurus pada pemukaan tengah yang mengalami deformasi, maka dapat dinyatakan gaya resultan per satuan panjang Nx, Ny, dan Nxy serta momen-momen Mx, My, dan Mxy atas suku-suku yang terdiri atas enam buah besaran : tiga buah komponen regangan , dan β dari permukaan tengah cangkang dan tiga buah besaran χ x , χ y , dan χ xy yang menggambarkan perubahan kelengkungan serta puntiran permukaan tengah. Pada banyak persoalan deformasi cangkang, tegangan lentur dapat diabaikan, dan hanya tegangan yang disebabkan oleh regangan pada permukaan tengah cangkang saja yang diperhitungkan. Sebagai contoh, diambil suatu wadah berbentuk bola yang mengalami pengaruh tekanan dalam yang terbagi secara merata dan tegak lurus pada permukaan cangkang. Di bawah pengaruh ini, permukaan tengah cangkang mengalami suatu regangan terbagi rata; dan karena ketebalan cangkang ternyata kecil, tegangan tarik dapat dianggap terbagi secara merata ke seluruh tebalnya. Contoh yang serupa disuguhkan oleh suatu tabung silinder bundar yang tipis di mana suatu 2 Universitas Sumatera Utara gas atau cairan ditekan dengan menggunakan piston yang bergerak bebas sepanjang sumbu silinder. Di bawah pengaruh tekanan dalam yang merata ini, “tegangan lingkar” loop stress yang dihasilkan dalam cangkang silindris ternyata terbagi rata ke seluruh ketebalannya. Jika ujung silinder dijepit dibangun menyatu sepanjang tepinya, dinding ini tak lagi bebas mengembang secara lateral, dan pasti terjadi sesuatu lenturan di dekat tepi yang dijepit itu jika dikenakan tekanan dalam ini. Namun, penelitian yang lebih lengkap memperlihatkan bahwa lenturan ini hanya setempat dan bagian cangkang pada suatu jarak tertentu dari ujung-ujungnya tetap silindris dan hanya mengalami regangan pada permukaan tengahnya tanpa lenturan yang berarti. Jika kondisi cangkang sedemikian rupa sehingga lenturan dapat diabaikan, permasalahan analisis tegangan dapat dibuat menjadi sangat sederhana, karena momen resultan d dan e serta resultan gaya geser c hilang. Jadi, yang belum diketahui adalah tiga buah besaran Nx, Ny, dan Nxy=Nyx, yang dapat ditetapkan dari kondisi keseimbangan suatu elemen, seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.6. Oleh karena itu, permasalahannya menjadi statis tertentu bila semua gaya yang bekerja pada cangkang telah diketahui. Gaya-gaya Nx, Ny, dan Nxy yang diperoleh dengan cara ini acapkali disebut gaya selaput tipis, dan teori cangkang yang berdasarkan pada pengabaian tegangan lentur disebut teori selaput tipis. Universitas Sumatera Utara

BAB III TINJAUAN PEMBAHASAN

3.1.Teori Selaput Tipis Cangkang Silindris Gambar 3.1 6 Dalam membahas cangkang silindris, kita anggap bahwa rusuk cangkang itu horizontal dan sejajar terhadap sumbu x. Suatu elemen dipotong dari cangkang oleh dua buah rusuk yang berdekatan dan dua buah penampang melintang yang tegak lurus terhadap sumbu x, dan posisinya ditentukan oleh koordinat x dan sudut φ. Gaya yang bekerja pada sisi-sisi elemen diperlihatkan pada gambar 3.1b. Selain itu, suatu beban didistribusikan ke seuluruh permukaan elemen dimana komponen-komponen intensitas beban ini ditandai seperti sebelumnya dengan X, 1 Gambar 228 buku “Teori Pelat dan Cangkang” oleh Timoshenko halaman 363 Universitas Sumatera Utara