Adjacency Hyperedges Matrix

2.2. Adjacency Hyperedges Matrix

Laplacian hypergraph adalah sebuah matriks terdiri dari matriks adjacency A, dan matriks degree D, dan Laplacian hypergraph dinotasikan sebagai L = D + A. Adjacency hyperedges matrix merupakan model hypergraph yang dikembangkan penulis [2]. Adjacency hyperedges matrix yang dinotasikan sebagai t Ð , merupakan suatu adjacency matrix pada Laplacian hypergraph. Laplacian hypergraph dinotasikan sebagai Øt Ð ' Ð . Formulasi model Laplacian hypergraph yang dikembangkan dapat dilihat pada Persamaan (3). Matriks Laplacian L merupakan perkalian matriks transpose hypergraph H yaitu Ù Ú , hypergraph H, dan matriks bobot hyperedge berupa matriks identitas. Matriks ' Ð merupakan matriks diagonal pada L, yang elemennya merupakan hyperedge degree ÔG.

ØÛ ,3 ÜÙ Ú Ù0 t Ð ' Ð (3)

1 diberikan bobot 1, maka elemen matriks Laplacian hypergraph dapat pula diformulasikan berupa kardinalitas intersection set antar dua hyperedges

Formulasi adjacency hyperedges matrix t Ð yang mana untuk setiap incident ℎ h, G

G dan G 3 . Formulasinya dapat dilihat pada Persamaan (4).

Tabel 2 merupakan Laplacian hypergraph H pada Tabel 1, yaitu Ù Ú Ù0, terdiri dari matriks diagonal ' Ð , dan Adjacency hyperedges matrix t Ù Ð Ú Ù0 − ' Ð . Elemen G , matriks diagonal ' Ð adalah hyperedge degree

G , yaitu Ô G .

2, merupakan kardinalitas hyperedge G , lihat hypergraph H pada Tabel 1. Elemen G ,3 matriks adjacency t Ð adalah adjacency antar dua hyperedges

Pada Tabel 2 diperlihatkan elemen G ,

G dan G 3 . Nilai elemen G ,3 tidak nol jika keduanya

2, merupakan kardinalitas intersection set antar

memiliki sedikitnya satu vertex (non-empty subset), G∩G 3 ≠ ∅. Elemen G ,¤

G dan G ¤ , yang anggotanya adalah himpunan vertices {h ,h Ë }, lihat Tabel 1.

Tabel 2. Adjacency hyperedges matrix t Ð Ù Ú Ù0 − ' Ð , Laplacian hypergraph H

Berdasarkan formulasi Persamaan (3) dan (4) mengenai Laplacian hypergraph, maka dikembangkan sejumlah formulasi untuk koneksi objek yang ada pada hypergraph atau subhypergraph, yaitu identik, berbeda, dan memiliki kesamaan sebagian (partially similar objects). Sebuah subhypergraph ³ ⊆ dari hypergraph Ù

, ( adalah hypergraph. S adalah himpunan vertices, dan F adalah himpunan hyperedges yang mana setiap hyperedge merupakan non-empty subset dari S.

, ( untuk ³ ⊆ . ( ³ merupakan adalah himpunan hyperedges yang memiliki sedikitnya satu K sebagai anggota hyperedge yang bersangkutan, dan hyperedge lainnya yang tidak memiliki K sebagai komplemen. Hypergraph Ù à

Hypergraph Ù³ ³, ( ³ adalah subhypergraph dari hypergraph Ù

³, ( à , yang mana himpunan vertices- nya adalah K, dan ( à merupakan himpunan hyperedges hanya memiliki K sebagai anggotanya, ∀G Ó( à, G ³∩ ( ³ , 1 ≤ |G | ≤ |³|. Kardinalitas F(K) dan ( à sama, yaitu |( à | |( ³ |. Sebagaimana telah didiskusikan sebelumnya, vertex merepresentasikan objek, dan hyperedge merepresentasikan atribut. Sebuah vertex (objek) dideskripsikan oleh satu himpunan atribut (hyperedge), dan banyaknya atribut suatu objek merupakan jumlah dari bobot hyperedge yang dimilikinya, yaitu vertex degree d(v), lihat Persamaan (2). Jumlah (sumasi) atribut pada himpunan objek K suatu

œ|h | œh

Formulasi persamaan koneksi (relasi) objek pada dataset K identik ditunjukkan pada Persamaan (6), Persamaan (7), dan Persamaan (8). Himpunan hyperedges ( à sama dengan himpunan hyperedges yang dimiliki oleh objek-objek

dalam K, ( à h ( à h 3 . Dan, setiap hyperedge memiliki anggota yaitu K, G G 3 ³.

Formulasi relasi antar objek pada dataset K berbeda dapat dilihat pada Persamaan (9), dan Persamaan (10). Sumasi atribut objek-objek di K akan sama dengan kardinalitas hyperedges pada himpunan ( à . Setiap hyperedges hanya memiliki satu anggota.

Relasi antar objek pada dataset K yang mana objek-objek dalam K merupakan relasi yang memiliki sebagian kesamaan (partially similar) ditunjukkan pada Persamaan (11), dan Persamaan (12). Sumasi atribut objek-objek di K selalu lebih besar dari kardinalitas himpunan hyperedges ( à , lihat Persamaan (11). Ada sedikitnya satu hyperedge di ( à memiliki kardinalitas lebih dari 1, artinya ada suatu hyperedge menghubungkan dua atau lebih objek (vertices) di K.

∃G Ó( à ,ÔG>1

Jika suatu deskripsi objek direpresentasikan sebagai pasangan <atribut, nilai-atribut>, maka dua objek yang diidentikasi sebagai berbeda berdasarkan pasangan <atribut, nilai-atribut>, ada kemungkinan dua objek tersebut identik. Dua objek tersebut identik berdasarkan hanya pada atribut yang dimilikinya tanpa menyertakan nilai-atribut. Dua objek yang identik berdasarkan pasangan <atribut, nilai-atribut>, otomatis keduanya identik berdasarkan atribut, lihat Persamaan (6), Persamaan (7), dan Persamaan (8). Formulasi persamaan relasi antar objek di K identik berdasarkan atribut (struktur atribut, dan dinotasikan sebagai Ÿ à ) tanpa menyertakan nilai-atribut, ditunjukkan oleh Persamaan (13), Persamaan (14), dan Persamaan (15).

(14) ∀h Ó³, Ÿ à h Ÿ à (15)