Rata-Rata hitung Mean Rata-Rata

64 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi

1. Rata-Rata

Dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata lebih banyak dikenal, misalnya rata-rata gaji pegawai suatu perusahaan tiap bulan, rata-rata pendapatan perkapita masyarakat Indonesia, rata-rata usia siswa SMA kelas XI, dan sebagainya. Nilai rata-rata yang akan dibahas dalam buku in meliputi rata-rata hitung, rata-rata ukur rata-rata geometrik, dan rata-rata harmonik.

a. Rata-Rata hitung Mean

Dari sekumpulan data x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . . , x n , maka rata-rata hitung dari data tersebut adalah: n x n x ... x x x x i n 3 2 1 ∑ = + + + + = Contoh 10 Tentukan nilai rata-rata hitung dari data 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7 Jawab: Rata-rata hitung = 8 7 7 10 11 10 8 4 6 x = + + + + + + = Contoh 11 Nilai rata-rata ujian matematika dari 34 siswa adalah 49. Jika nilai dari seorang siswa lainnya yang bernama Dodo digabung dengan kelompok ini, maka nilai rata-ratanya menjadi 50. Berapakah nilai ujian dari Dodo tersebut? Jawab : 1666 49 . 34 49 34 n xi xi xi x = = ∑ = = = ∑ ∑ Misalkan nilai ujian Dodo adalah x. Setelah nilai tersebut digabungkan nilai rata- ratanya menjadi 50, sehingga 84 1666 1760 x 1760 x 1760 50 . 35 x xi 50 35 x xi i x = − = ∑ − = = = ∑ + = + ∑ = Contoh 12 Terdapat dua kelompok siswa, laki-laki dan perempuan dalam suatu ujian matematika. Kelompok laki-laki yang berjumlah 20 anak mempunyai rata-rata 6, sedangkan kelompok perempuan mempunyai rata-rata ujian 8 dan banyaknya anak 30. Andaikan kedua kelompok tersebut digabung, berapakah rata-ratanya yang baru? Di unduh dari : Bukupaket.com 65 BAB II Statistika Jawab: Untuk kelompok laki-laki i i x = 6 dan n i = 20, sehingga = 6 . 20 = 120 ∑ i x Untuk kelompok perempuan p p x = 8 dan n p = 30, sehingga = 8 . 30 = 240 ∑ p x Setelah digabung n = n i + n p = 20 + 30 = 50 ∑ x = ∑ + = 120 + 240 = 360, i x ∑ p x maka: 2 , 7 50 360 n x x = = = ∑ Jadi, rata-rata yang baru data gabungan adalah 7,2. Untuk data yang berfrekuensi, maka rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus berikut. ∑ ∑ = + + + + = i i i n n 3 3 2 2 1 1 f x . f n x . f ... x . f x . f x . f x Contoh 13 Tentukan nilai rata-rata dari data di bawah ini: x 2 3 4 5

f 1

4 3 2 Jawab: 6 , 3 10 10 12 12 2 2 3 4 1 5 . 2 4 . 3 3 . 4 2 . 1 n x . f x . f x . f x . f 4 4 3 3 2 2 1 1 x = + + + = + + + + + + = + + + = Contoh 14 Nilai ujian dari 40 siswa dapat dilihat pada tabel berikut: Nilai frekuensi 3 – 5 6 – 8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23 3 4 11 4 8 5 5 Tentukan rata-ratanya Jawab: Untuk menghitung rata-rata dari data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi, terlebih dahulu dicari nilai tengah dari tiap intervalnya x i . Nilai tengah interval adalah Di unduh dari : Bukupaket.com 66 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi setengah dari jumah batas bawah dan batas atas pada tiap kelas yang bersangkutan. Misalnya nilai tengah interval pertama adalah 0,53 + 5 = 4 dan seterusnya. Nilai Nilai tengah x i Frekuensi f i x i f i 3 – 5 6 – 8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23 4 7 10 13 16 19 22 3 4 11 4 8 5 5 12 28 110 52 128 95 110 Jumlah 40 535 Nilai rata-rata adalah 38 , 13 40 535 f x . f x i i i = = ∑ ∑ = . Selain menggunakan rumus seperti di atas dapat juga menghitung rata-rata dengan terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementara, kemudian rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut: Untuk menghitung rata-rata dari data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi dapat juga dilakukan dengan menggunakan rata-rata sementara, yaitu dengan rumus ∑ ∑ + = i i i s f d . f x x Keterangan: • d i = simpangan yang ke-i selisih antara nilai tengah dengan rata-rata sementara, yaitu d i = x i – s x • s x = Rata-rata sementara. Contoh 15 Tentukan rata-rata dari data yang disajikan dalam tabel berikut dengan menggunakan rata-rata sementara. Interval Frekuensi fi 119 – 127 3 128 – 136 6 137 – 145 10 146 – 154 11 155 – 163 5 164 – 172 3 173 – 181 2 40 Jawab: Ditentukan terlebih dahulu nilai rata-rata sementaranya, misalkan s x = 150. Untuk mempermudah s x diusahakan diambil dari salah satu nilai tengah interval x i . Di unduh dari : Bukupaket.com 67 BAB II Statistika Interval Frekuensi fi Nilai tengah x i Simpangan d i f i .d i 119 – 127 3 123 -27 -81 128 – 136 6 132 -18 -108 137 – 145 10 141 -9 -90 146 – 154 11 150 155 – 163 5 159 9 45 164 – 172 3 168 18 54 173 – 181 2 177 27 54 40 -126 Jadi, rata-rata sesungguhnya adalah: 85 , 146 40 126 150 f d . f x x i i i s = − + = ∑ ∑ + = Untuk menyederhanakan penghitungan, rata-rata dapat dihitung dengan menggunakan cara pengkodean coding. Kode u untuk setiap interval dicari dengan rumus u = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ c d i dengan d i merupakan simpangan dan c panjang kelas. Rata-rata sesungguhnya dihitung dengan menggunakan rumus c f u . f x x i i i s ∑ ∑ + = Keterangan: • s x = rata-rata sementara • d i = simpangan ke i • u i = kode ke i • c = panjang kelas Contoh 16 Dari data pada tabel contoh 15 , hitunglah rata-ratanya dengan menggunakan cara coding. Jawab: Seperti dengan menggunakan cara rata-rata sementara, cara coding juga terlebih dahulu menentukan rata-rata sementaranya, dalam hal ini s x = 150. Interval Frekuensi fi Nilai tengah x i Simpangan d i Kode u i f i .u i 119 – 127 3 123 -27 -3 -9 128 – 136 6 132 -18 -2 -12 137 – 145 10 141 -9 -1 -10 146 – 154 11 150 155 – 163 5 159 9 1 5 164 – 172 3 168 18 2 6 173 – 181 2 177 27 3 6 40 -14 Di unduh dari : Bukupaket.com 68 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi Rata-rata sesungguhnya adalah: 85 , 146 9 . 40 14 150 c f u . f x x i i i s = − + = ∑ ∑ + = b. Rata-rata Ukur Rata-rata Geometrik Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap, rata-rata ukur lebih baik digunakan dari pada rata-rata hitung, apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . . , x n maka rata-rata ukur U didefinisikan sebagai berikut: n n 3 2 1 x .. . x . x . x U = Contoh 17 Hitunglah rata-rata ukur data berikut: 2, 4, 8, 16 Jawab: 2 4 16 . 8 . 4 . 2 x . x . x . x U 4 n 4 3 2 1 = = = c. Rata-rata Harmonik Untuk data x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . . ,x n , maka rata-rata harmonik H didefinisikan sebagai berikut: ∑ = i x 1 n H Contoh 18 Hitunglah rata-rata harmonik dari data berikut: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 Jawab: Banyaknya data n = 7, sehingga 87 , 5 7 12 1 10 1 7 1 6 1 6 1 5 1 3 1 1 = = = + + + + + + ∑ i x n H 2. Modus Mo Modus dari suatu data adalah data yang sering muncul atau data yang mempunyai frekuensi tertinggi. a. Modus Data Tunggal Contoh 19 Tentukan modus dari data di bawah ini: Di unduh dari : Bukupaket.com 69 BAB II Statistika a. 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7 b. 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8 c. 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7 Jawab: a. modus data adalah 5 b. modus data adalah 6 dan 7 c. tidak mempunyai modus b. Modus Data Berkelompok Untuk menentukan modus dari data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi digunakan rumus yang dapat dicari dengan menggunakan histogram berikut: Pada gambar di samping Mo = Tb + TU TU dapat dicari dengan cara berikut: Δ PUS ~ Δ RUQ, dan berluku hubungan TU : UV = PS : RQ TU = fa f fb f TU SR RQ PS . UV Mo Mo − − − = = fa f fb f TU c Mo Mo − − − fa f TU c TU Mo Mo − = − fb f − Gambar 2-13 fb f fa f 1 TU c fb f fa f TU TU c Mo Mo Mo Mo − − = − − − = − c fb f fa f fb f TU fb f fa f fb f c TU fb f fb f fa f fb f fb f fb f fa f 1 fb f fa f TU c Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo − + − − = − + − − = − − + − = − − + − − = + − − = Mo = Tb + TU = Tb + c fb f fa f fb f Mo Mo Mo − + − − , untuk mempermudah mengingat, rumus disederhanakan sebagai berikut: c d d d Tb Mo 2 1 1 + + = Di unduh dari : Bukupaket.com 70 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi Keterangan: Mo = Modus Tb = Tepi bawah kelas modus Kelas dengan frekuensi tertinggi d 1 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya f Mo – fb d 2 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya f Mo – fa c = Panjang kelas Contoh 20 Interval frekuensi fi 30 – 34 8 35 – 39 10 40 – 44 13 45 – 49 17 50 – 54 14 55 – 59 11 60 – 64 7 Dari data pada tabel di samping, tentukan modus data tersebut Jawab: Dari tabel, frekuensi yang tertinggi adalah 17 dan terletak pada interval 45 – 49, sehingga diperoleh, Tb = 45 – 0,5 = 44,5 d 1 = 17 – 13 = 4 d 2 = 17 – 14 = 3 c = 35 – 30 = 5 64 , 46 7 15 5 , 44 5 . 4 3 3 5 , 44 c d d d Tb Mo 2 1 1 = + = + + = + + = 3. Median a. Median Data Tunggal Median Me adalah nilai pertengahan dari sekelompok data yang telah diurutkan menurut besarnya. Untuk sekumpulan data x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . . , x n dimana data x 1 x 2 x 3 x 4 . . . x n Jika banyaknya data ganjil, maka median sama dengan data yang ditengah atau data yang ke ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 n . Jika banyaknya data genap, maka median adalah nilai rata-rata dari data yang ke ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 n dan data ke ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +1 2 n . 2 1 n x Me + = untuk n ganjil 2 x x Me 2 1 n 2 n + + = , untuk n genap. Contoh 21 Tentukan median dari data: a. 3, 10, 9, 4, 5, 8, 8, 4, 6 b. 3, 8, 5, 4, 10, 8, 4, 6, 9, 5 Di unduh dari : Bukupaket.com 71 BAB II Statistika Jawab: a. Data harus diurutkan terlebih dahulu, sehingga didapat: 3 4 4 5 6 8 8 9 10 Banyaknya data atau n = 9 ganjil, maka median Me 5 2 1 9 2 1 n x x x = = = + + = 6 letak median pada data ke lima, dihitung dari kiri, yaitu 6. b. 3 4 4 5 5 6 8 8 9 10 Banyaknya data atau n = 10 genap, maka median Me 5 , 5 2 6 5 2 x x 2 x x Me 6 5 1 2 10 2 10 = + = + = + = + letak median pada data ke lima dan ke enam, dihitung dari kiri, yaitu 5 dan 6 b. Median Data Berkelompok Untuk data yang berkelompok, median dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut: c f F n Tb Me 2 1 − + = Keterangan: Me = Median Tb = Tepi bawah kelas median n = Jumlah frekuensi f = frekuensi median frekuensi pada kelas median F = Jumlah frekuensi sebelum frekuensi median Contoh 22 Tentukan median dari data pada tabel di bawah ini: Jawab: Untuk mencari median, terlebih dahulu m e n c a r i l e t a k m e d i a n , y a i t u 40 80 . 2 1 n 2 1 = = . Hal ini berarti median terletak pada data yang ke 40 dan dicari dari frekuensi, ternyata data yang ke 40 ada pada frekuensi 17 yang terletak pada interval ke 4 yaitu 45 – 49, sehingga f = 17 F = 8 + 10 + 13 = 31 Tb = 44,5 c = 5 Interval Frekuensi fi 30 – 34 8 35 – 39 10 40 – 44 13 45 – 49 17 50 – 54 14 55 – 59 11 60 – 64 7 80 c f F n Tb Me 2 1 − + = = 5 . 17 31 80 5 , 44 . 2 1 − + = 5 . 17 9 5 , 44 + = 47,15 Di unduh dari : Bukupaket.com 72 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi

c. Rangkuman