64 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
1. Rata-Rata
Dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata lebih banyak dikenal, misalnya rata-rata gaji pegawai suatu perusahaan tiap bulan, rata-rata pendapatan perkapita masyarakat
Indonesia, rata-rata usia siswa SMA kelas XI, dan sebagainya. Nilai rata-rata yang akan dibahas dalam buku in meliputi rata-rata hitung, rata-rata
ukur rata-rata geometrik, dan rata-rata harmonik.
a. Rata-Rata hitung Mean
Dari sekumpulan data x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, . . . , x
n
, maka rata-rata hitung dari data tersebut adalah:
n x
n x
... x
x x
x
i n
3 2
1
∑
= +
+ +
+ =
Contoh 10 Tentukan nilai rata-rata hitung dari data 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7
Jawab:
Rata-rata hitung = 8
7 7
10 11
10 8
4 6
x =
+ +
+ +
+ +
=
Contoh 11 Nilai rata-rata ujian matematika dari 34 siswa adalah 49. Jika nilai dari seorang siswa
lainnya yang bernama Dodo digabung dengan kelompok ini, maka nilai rata-ratanya menjadi 50. Berapakah nilai ujian dari Dodo tersebut?
Jawab
:
1666 49
. 34
49 34
n
xi xi
xi x
=
= ∑
= =
=
∑ ∑
Misalkan nilai ujian Dodo adalah x. Setelah nilai tersebut digabungkan nilai rata- ratanya menjadi 50, sehingga
84 1666
1760 x
1760 x
1760 50
. 35
x xi
50 35
x xi
i
x
= −
= ∑
− =
= =
∑ +
= +
∑
=
Contoh 12 Terdapat dua kelompok siswa, laki-laki dan perempuan dalam suatu ujian matematika.
Kelompok laki-laki yang berjumlah 20 anak mempunyai rata-rata 6, sedangkan kelompok perempuan mempunyai rata-rata ujian 8 dan banyaknya anak 30. Andaikan
kedua kelompok tersebut digabung, berapakah rata-ratanya yang baru?
Di unduh dari : Bukupaket.com
65
BAB II Statistika
Jawab:
Untuk kelompok laki-laki i
i
x
= 6 dan n
i
= 20, sehingga = 6 . 20 = 120
∑
i
x
Untuk kelompok perempuan p
p
x
= 8 dan n
p
= 30, sehingga
= 8 . 30 = 240
∑
p
x Setelah digabung
n = n
i
+ n
p
= 20 + 30 = 50
∑
x =
∑
+ = 120 + 240 = 360,
i
x
∑
p
x maka:
2 ,
7 50
360 n
x x
= =
=
∑
Jadi, rata-rata yang baru data gabungan adalah 7,2. Untuk data yang berfrekuensi, maka rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus
berikut.
∑ ∑
= +
+ +
+ =
i i
i n
n 3
3 2
2 1
1
f x
. f
n x
. f
... x
. f
x .
f x
. f
x
Contoh 13
Tentukan nilai rata-rata dari data di bawah ini: x
2 3
4 5
f 1
4 3
2 Jawab:
6 ,
3 10
10 12
12 2
2 3
4 1
5 .
2 4
. 3
3 .
4 2
. 1
n x
. f
x .
f x
. f
x .
f
4 4
3 3
2 2
1 1
x
= +
+ +
= +
+ +
+ +
+ =
+ +
+
=
Contoh 14 Nilai ujian dari 40 siswa dapat dilihat pada tabel berikut:
Nilai frekuensi
3 – 5 6 – 8
9 – 11 12 – 14
15 – 17 18 – 20
21 – 23 3
4 11
4 8
5 5
Tentukan rata-ratanya
Jawab:
Untuk menghitung rata-rata dari data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi, terlebih dahulu dicari nilai tengah dari tiap intervalnya x
i
. Nilai tengah interval adalah
Di unduh dari : Bukupaket.com
66 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
setengah dari jumah batas bawah dan batas atas pada tiap kelas yang bersangkutan. Misalnya nilai tengah interval pertama adalah 0,53 + 5 = 4 dan seterusnya.
Nilai Nilai tengah
x
i
Frekuensi f
i
x
i
f
i
3 – 5 6 – 8
9 – 11 12 – 14
15 – 17 18 – 20
21 – 23 4
7 10
13 16
19 22
3 4
11 4
8 5
5 12
28 110
52 128
95 110
Jumlah 40
535
Nilai rata-rata adalah
38 ,
13 40
535 f
x .
f x
i i
i
= =
∑ ∑
=
. Selain menggunakan rumus seperti di atas dapat juga menghitung rata-rata dengan
terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementara, kemudian rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Untuk menghitung rata-rata dari data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi dapat juga dilakukan dengan menggunakan rata-rata sementara, yaitu dengan rumus
∑ ∑
+ =
i i
i s
f d
. f
x x
Keterangan: • d
i
= simpangan yang ke-i selisih antara nilai tengah dengan rata-rata sementara, yaitu d
i
= x
i
–
s
x •
s
x = Rata-rata sementara.
Contoh 15 Tentukan rata-rata dari data yang disajikan dalam tabel berikut dengan menggunakan
rata-rata sementara. Interval
Frekuensi fi 119 – 127
3 128 – 136
6 137 – 145
10 146 – 154
11 155 – 163
5 164 – 172
3 173 – 181
2 40
Jawab:
Ditentukan terlebih dahulu nilai rata-rata sementaranya, misalkan
s
x
= 150. Untuk mempermudah
s
x
diusahakan diambil dari salah satu nilai tengah interval x
i
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
67
BAB II Statistika Interval
Frekuensi fi Nilai tengah x
i
Simpangan d
i
f
i
.d
i
119 – 127 3
123 -27
-81 128 – 136
6 132
-18 -108
137 – 145 10
141 -9
-90 146 – 154
11 150
155 – 163 5
159 9
45 164 – 172
3 168
18 54
173 – 181 2
177 27
54 40
-126 Jadi, rata-rata sesungguhnya adalah:
85 ,
146 40
126 150
f d
. f
x x
i i
i s
= −
+ =
∑ ∑
+ =
Untuk menyederhanakan penghitungan, rata-rata dapat dihitung dengan menggunakan cara pengkodean coding. Kode u untuk setiap interval dicari dengan
rumus u = ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
c d
i
dengan d
i
merupakan simpangan dan c panjang kelas. Rata-rata sesungguhnya dihitung dengan menggunakan rumus
c f
u .
f x
x
i i
i s
∑ ∑
+ =
Keterangan: •
s
x
= rata-rata sementara •
d
i
= simpangan ke i •
u
i
= kode ke i •
c = panjang kelas
Contoh 16
Dari data pada tabel contoh 15 , hitunglah rata-ratanya dengan menggunakan cara coding.
Jawab: Seperti dengan menggunakan cara rata-rata sementara, cara coding juga terlebih
dahulu menentukan rata-rata sementaranya, dalam hal ini
s
x
= 150. Interval
Frekuensi fi
Nilai tengah x
i
Simpangan d
i
Kode u
i
f
i
.u
i
119 – 127 3
123 -27
-3 -9
128 – 136 6
132 -18
-2 -12
137 – 145 10
141 -9
-1 -10
146 – 154 11
150 155 – 163
5 159
9 1
5 164 – 172
3 168
18 2
6 173 – 181
2 177
27 3
6 40
-14
Di unduh dari : Bukupaket.com
68 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
Rata-rata sesungguhnya adalah:
85 ,
146 9
. 40
14 150
c f
u .
f x
x
i i
i s
= −
+ =
∑ ∑
+ =
b. Rata-rata Ukur Rata-rata Geometrik Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap, rata-rata ukur
lebih baik digunakan dari pada rata-rata hitung, apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, . . . , x
n
maka rata-rata ukur U didefinisikan sebagai berikut:
n n
3 2
1
x ..
. x
. x
. x
U =
Contoh 17
Hitunglah rata-rata ukur data berikut: 2, 4, 8, 16 Jawab:
2 4
16 .
8 .
4 .
2 x
. x
. x
. x
U
4 n
4 3
2 1
= =
=
c. Rata-rata Harmonik Untuk data x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, . . . ,x
n
, maka rata-rata harmonik H didefinisikan sebagai berikut:
∑
=
i
x 1
n H
Contoh 18
Hitunglah rata-rata harmonik dari data berikut: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 Jawab:
Banyaknya data n = 7, sehingga
87 ,
5 7
12 1
10 1
7 1
6 1
6 1
5 1
3 1
1
= =
=
+ +
+ +
+ +
∑
i
x
n H
2. Modus Mo Modus dari suatu data adalah data yang sering muncul atau data yang mempunyai
frekuensi tertinggi. a. Modus Data Tunggal
Contoh 19
Tentukan modus dari data di bawah ini:
Di unduh dari : Bukupaket.com
69
BAB II Statistika
a. 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7 b. 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8
c. 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7
Jawab: a.
modus data adalah 5 b.
modus data adalah 6 dan 7 c.
tidak mempunyai modus b. Modus Data Berkelompok
Untuk menentukan modus dari data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi digunakan rumus yang dapat dicari dengan menggunakan histogram
berikut: Pada gambar di samping Mo = Tb + TU
TU dapat dicari dengan cara berikut: Δ PUS ~ Δ RUQ, dan berluku hubungan
TU : UV = PS : RQ
TU = fa
f fb
f TU
SR RQ
PS .
UV
Mo Mo
− −
− =
= fa
f fb
f TU
c
Mo Mo
− −
−
fa f
TU c
TU
Mo Mo
− =
− fb
f −
Gambar 2-13
fb f
fa f
1 TU
c fb
f fa
f TU
TU c
Mo Mo
Mo Mo
− −
= −
− −
= −
c fb
f fa
f fb
f TU
fb f
fa f
fb f
c TU
fb f
fb f
fa f
fb f
fb f
fb f
fa f
1 fb
f fa
f TU
c
Mo Mo
Mo Mo
Mo Mo
Mo Mo
Mo Mo
Mo Mo
Mo Mo
Mo
− +
− −
= −
+ −
− =
− −
+ −
= −
− +
− −
= +
− −
=
Mo = Tb + TU = Tb + c
fb f
fa f
fb f
Mo Mo
Mo
− +
− −
, untuk mempermudah mengingat, rumus disederhanakan sebagai berikut:
c d
d d
Tb Mo
2 1
1
+ +
=
Di unduh dari : Bukupaket.com
70 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
Keterangan: Mo = Modus
Tb = Tepi bawah kelas modus Kelas dengan frekuensi tertinggi d
1
= Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya f
Mo
– fb d
2
= Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya f
Mo
– fa c = Panjang kelas
Contoh 20
Interval frekuensi
fi 30 – 34
8 35 – 39
10 40 – 44
13 45 – 49
17 50 – 54
14 55 – 59
11 60 – 64
7 Dari data pada tabel di samping, tentukan modus
data tersebut Jawab:
Dari tabel, frekuensi yang tertinggi adalah 17 dan terletak pada interval 45 – 49,
sehingga diperoleh,
Tb = 45 – 0,5 = 44,5 d
1
= 17 – 13 = 4 d
2
= 17 – 14 = 3 c = 35 – 30 = 5
64 ,
46 7
15 5
, 44
5 .
4 3
3 5
, 44
c d
d d
Tb Mo
2 1
1
= +
= +
+ =
+ +
=
3. Median a. Median Data Tunggal
Median Me adalah nilai pertengahan dari sekelompok data yang telah diurutkan menurut besarnya. Untuk sekumpulan data x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, . . . , x
n
dimana data x
1
x
2
x
3
x
4
. . . x
n
Jika banyaknya data ganjil, maka median sama dengan data yang ditengah atau data yang ke
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
2 1
n . Jika banyaknya data genap, maka median adalah nilai rata-rata dari
data yang ke ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ 2
n dan data ke
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +1
2 n
.
2 1
n
x Me
+
= untuk n ganjil
2 x
x Me
2 1
n 2
n +
+ =
, untuk n genap.
Contoh 21
Tentukan median dari data: a. 3, 10, 9, 4, 5, 8, 8, 4, 6 b. 3, 8, 5, 4, 10, 8, 4, 6, 9, 5
Di unduh dari : Bukupaket.com
71
BAB II Statistika
Jawab: a. Data harus diurutkan terlebih dahulu, sehingga didapat:
3 4 4 5 6 8 8 9 10
Banyaknya data atau n = 9 ganjil, maka median Me
5 2
1 9
2 1
n
x x
x =
= =
+ +
= 6 letak median pada data ke lima, dihitung dari kiri, yaitu 6.
b. 3
4 4 5 5 6 8 8 9 10
Banyaknya data atau n = 10 genap, maka median Me 5
, 5
2 6
5 2
x x
2 x
x Me
6 5
1 2
10 2
10
= +
= +
= +
=
+
letak median pada data ke lima dan ke enam, dihitung dari kiri, yaitu 5 dan 6 b. Median Data Berkelompok
Untuk data yang berkelompok, median dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
c f
F n
Tb Me
2 1
− +
= Keterangan:
Me = Median Tb = Tepi bawah kelas median
n = Jumlah frekuensi f = frekuensi median frekuensi pada kelas median
F = Jumlah frekuensi sebelum frekuensi median
Contoh 22 Tentukan median dari data pada tabel di bawah ini:
Jawab: Untuk mencari median, terlebih dahulu
m e n c a r i l e t a k m e d i a n , y a i t u
40 80
. 2
1 n
2 1
= =
. Hal ini berarti median terletak pada data yang ke 40 dan dicari
dari frekuensi, ternyata data yang ke 40 ada pada frekuensi 17 yang terletak pada
interval ke 4 yaitu 45 – 49, sehingga f = 17 F = 8 + 10 + 13 = 31
Tb = 44,5
c = 5
Interval Frekuensi fi
30 – 34 8
35 – 39 10
40 – 44 13
45 – 49 17
50 – 54 14
55 – 59 11
60 – 64 7
80 c
f F
n Tb
Me
2 1
− +
= =
5 .
17 31
80 5
, 44
. 2
1
− +
= 5
. 17
9 5
, 44
+ = 47,15
Di unduh dari : Bukupaket.com
72 Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi
c. Rangkuman