smk12 MudahBelajarMatematika Toali

(1)

(2)

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang

MATEMATIKA

Untuk Sekolah Menengah Kejuruan(SMK) Kelas XII

Tim Penyusun

Penulis : To’ali Ukuran Buku : 21 x 29,7

Cetakan I Tahun 2008

Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2007-03-30

Duiperbanyak oleh ……… 510.07

TOA TO’ALI

M Matematika : Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) untuk kelas XII/ Oleh To’ali – Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan

Nasional, 2007

vii, 206 hlm.: 29,7 cm.

Bibliografi

ISBN 979-462-816-6

(3)

iii

SAMBUTAN

Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang

telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah

ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk

digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan

Nasional Nomor 46 Tahun 2007.

Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan

Nasional pada tahun 2007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada

para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak

cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan

secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia.

Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada

Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (

down load

_{), digandakan,}

d

icetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untuk

p

enggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang

ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi.

Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat

sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh

sumber belajar yang bermutu.

Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan

satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen

Pendidikan Nasional.

Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik

memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami

menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada

para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini

seluas-luasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah.

Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui

Buku Teks Pelajaran Bermutu.

Jakarta,

25 Pebruari 2008

Kepala

Pusat

Perbukuan

(4)

(5)

KATA PENGANTAR

Dengan mengucap syukur pada Allah SWT yang telah memberikan rahmat begitu besar pada kita semua, sehingga Alhamdulillah, buku matematika SMK untuk kelas XII Kelompok Penjualan dan Akuntansi Sekolah Menengah Kejuruan dapat terselesaikan dengan baik.

Buku ini disusun berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan SMK/MAK yang sesuai dengan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia No. 22 dan 23 Tahun 2006 Tentang Standar Isi dan Standar Kompetensi Lulusan untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah dengan pengembangannya yang mudah-mudahan dapat melengkapi pemahaman konsep-konsep dasar matematika dan dapat menggunakannya baik dalam mempelajari pelajaran yang berkaitan dengan matematika, pelajaran lain maupun dalam kehidupan sehari-hari.

Tiap bab berisi ringkasan teori yang melandasi kompetensi yang harus dipahami secara benar oleh siswa-siswi peserta didik dan disertai contoh-contoh soal yang relevan dengan teori tersebut. Soal-soal dibuat didasarkan pada teori dan sebagai latihan untuk dapat menyelesaikan uji kemampuan yang digunakan sebagai parameter atau indikator bahwa peserta diklat sudah kompeten atau belum pada materi yang dipelajarinnya.

Kami menyadari bahwa tersediannya buku-buku referensi atau sumber bacaan dari berbagai penulis dan penerbit sangat membantu penulis dalam menyajikan konsep-konsep dasar yang sesuai dengan kaidah-kaidah matematika. Dan mudah-mudahan buku ini dapat bermanfaat secara khusus untuk anak-anak didik di Sekolah Menengah Kejuruan dan bagi siapapun yang berkenan menggunakan buku ini.

Akhir kata “Tidak Ada Gading yang Tak Retak”, tidak ada karya manusia yang sempurna selain dari karya-Nya. Demikian pula dengan buku ini masih jauh dari apa yang kita harapkan bersama. Oleh karena itu segala kritik dan saran demi kebaikan bersama sangat diharapkan sebagai bahan evaluasi atau revisi dari buku ini.

Jakarta, September 2007 Penulis

(6)

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ……… ii Daftar Isi ……… iii Petunjuk Penggunaan Buku……… iv

BAB 1 Teori Peluang………..…

A. Pendahuluan.………...

B. Kompetensi Dasar...….………... B.1 Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi.………..… B.2 Peluang Suatu Kejadian..………... Uji Kemampuan ………...….

2 2 2 19 36

BAB 2 Statistika...……….………...….

A. Pendahuluan... B. Kompetensi Dasar...….………... B.1 Pengertian Statistik, Statistika, Populasi dan Sampel... B.2 Penyajian Data ……….... B.3 Ukuran Pemusatan (Tendensi Sentral) ………...… B.4 Ukuran Penyebaran (Dispersi) ………...… Uji Kemampuan ………....

42 42 42 50 63 75 91

BAB 3 Matematika Keuangan...………...

A. Pendahuluan...………... B. Kompetensi Dasar...….………... B.1 Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk..………... B.2 Rente... B.3 Anuitas... B.3 Penyusutan Nilai Barang... Uji Kemampuan ……….... Daftar Bunga...

96 96 96 125 141 161 178 185

Kunci Jawaban... Glosarium... Indeks...

Daftar Pustaka ……….....

195 200 203 206

(7)

(8)

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang

MUDAH BELAJAR MATEMATIKA 3

Untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah

Tim Penyusun

Penulis : Nuniek Avianti Agus Ukuran Buku : 21 x 28

Cetakan I Tahun 2008

Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2007

510.07

AGU AGUS, Nuniek Avianti

M Mudah Belajar Matematika 3: untuk kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah/Oleh Nuniek Avianti Agus. -- Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2007

vi, 138 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi : hlm. 138 Indeks. Hlm. 136-137 ISBN 979-462-818-2

(9)

SAMBUTAN

Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 2007.

Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan Nasional pada tahun 2007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia.

Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi. Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh sumber belajar yang bermutu. Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional.

Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini seluas-luasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah.

Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui Buku Teks Pelajaran Bermutu.

Jakarta, 25 Pebruari 2008 Kepala Pusat Perbukuan

(10)

(11)

Buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah

ini merupakan buku penuntun untukmu dalam mempelajari matematika. Untuk membantumu

mempelajarinya, kenalilah terlebih dahulu bagian-bagian buku ini, yaitu sebagai berikut.

Gambar Pembuka Bab

Judul Bab Judul-Judul Subbab Materi Pengantar Cerdas Berpikir Rangkuman Sudut Tekno Peta Konsep Situs Matematika Problematika

Uji Kompetensi Bab

Kunci Jawaban Solusi Matematika

Uji Kompetensi Awal

Materi Pembelajaran

Contoh Soal

Plus +

Kegiatan

Tugas

Gambar, Foto, atau Ilustrasi

Uji Kompetensi Semester

Uji Kompetensi Akhir Tahun

Berisi gambaran penggunaan materi yang akan dipelajari dalam kehidupan sehari-hari.

Materi dalam buku ini disertai dengan gambar, foto, atau ilustrasi yang akan membantumu dalam memahami materi.

Setiap bab diawali oleh sebuah foto yang mengilustrasikan materi pengantar.

Berisi soal-soal yang memiliki lebih dari satu jawaban.

Berisi ringkasan materi yang telah dipelajari.

Berisi

pertanyaan-pertanyaan untuk mengukur pemahamanmu tentang materi yang telah dipelajari.

Disajikan sebagai sarana evaluasi untukmu setelah selesai mempelajari bab tertentu.

Berisi soal-soal untukmu sebagai persiapan menghadapi Ujian Akhir Semester.

Berisi soal-soal dari semua materi yang telah kamu pelajari selama satu tahun.

Berisi soal-soal materi prasyarat untuk memudahkanmu memahami konsep pada bab tertentu.

Berisi materi pokok yang disajikan secara sistematis dan menggunakan bahasa yang sederhana.

Berisi soal-soal yang disertai langkah-langkah cara menjawabnya.

Berisi kegiatan untuk menemukan sifat atau rumus.

Berisi tugas untuk mencari informasi, berdiskusi, dan melaporkan.

Berisi soal-soal terpilih EBTANAS, UAN, dan UN beserta pambahasannya.

Berisi soal-soal untuk mengukur pemahamanmu terhadap materi yang telah kamu pelajari pada subbab tertentu. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

5

6

7

9

10

Uji Kompetensi Subbab

13

11

8

12

14

16

15

17

20

19

18

21

22

23

24

(12)

Prakata

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan.

Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika.

Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan

membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan

menggunakan bahasa yang sulit dipahami.

Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan.

Oleh karena itu, konsep yang disajikan pada buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah

Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini disampaikan secara logis, sistematis, dan menggunakan

bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidak

merasa bosan.

Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnya

buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika.

Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar.

(13)

Daftar Isi

Panduan Menggunakan Buku

...

v

Prakata ...

v

_i

Bab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

... ...

1 A

. Kesebangunan Bangun Datar ... 2

B

. Kekongruenan Bangun Datar ... 8

Uji Kompetensi Bab 1 ...

14 Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

...

17 A

. Tabung ...

18 B

. Kerucut ...

23 C

. Bola ...

28 Uji Kompetensi Bab 2 ...

35 Bab 3 Statistika

...

37 A

. Penyajian Data...

38 B

. Ukuran Pemusatan Data ... 44

C

. Ukuran Penyebaran Data... 48

Uji Kompetensi Bab 3 ...

52 Bab 4 Peluang

...

55 A

. Dasar-Dasar Peluang... 56

B

. Perhitungan Peluang ... 59

C

. Frekuensi Harapan (Pengayaan)... 63

Uji Kompetensi Bab 4 ...

67

(14)

Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya

...

73 A

. Bilangan Berpangkat Bulat...

74 B

. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan...

85 Uji Kompetensi Bab 5 ... 97

Bab 6 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

...

99 A

. Pola Bilangan...

100 B

. Barisan Bilangan...

107 C

. Deret Bilangan ...

114 Uji Kompetensi Bab 6 ... 124

Uji Kompetensi Semester 2 ... 126

Uji Kompetensi Akhir Tahun ... 128

Kunci Jawaban ...

131

(15)

Kesebangunan dan

Kekongruenan Bangun

Datar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan

segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat,

layang-layang, dan trapesium. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari

kesebangunan dan kekongruenan bangun-bangun datar tersebut.

Pernahkah kamu memperhatikan papan catur? Setiap petak satuan

pada papan catur, baik yang berwarna hitam maupun yang berwarna

putih, memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Tahukah kamu, disebut

apakah bangun-bangun yang sama bentuk dan ukurannya? Untuk

menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.

A. Kesebangunan

Bangun Datar

B. Kekongruenan

Bangun Datar

1

Bab

Kesebangunan dan

1

Bab

Sumb_er:_CD_I

(16)

5. Perhatikan gambar berikut.

Jika ? _P

1 = 50°, tentukan besar ?Q2, ?R3, dan

? _S

Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.

A. Kesebangunan Bangun Datar

1. Kesebangunan Bangun Datar

Dalam kehidupan sehari-hari, pasti kamu pernah mendengar istilah

memperbesar atau memperkecil foto. Ketika kamu memperbesar (atau

memperkecil) foto, berubahkah bentuk gambarnya? Bentuk benda pada foto

mula-mula dengan foto yang telah diperbesar adalah sama, tetapi ukurannya

berlainan dengan perbandingan yang sama. Gambar benda pada foto

mula-mula dengan foto yang telah diperbesar merupakan contoh dua bangun yang

sebangun.

Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 1.1 . Sebangunkah

persegi-panjang

ABCD

dengan persegipanjang

EFGH

? Pada persegipanjang

ABCD

dan persegipanjang

EFGH,

perbandingan panjangnya adalah 4 : 8 = 1 : 2.

Adapun perbandingan lebarnya adalah 2 : 4 = 1 : 2. Dengan demikian,

perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua persegipanjang tersebut

dapat dinyatakan sebagai berikut.

AB

EF

BC

FG

CD

GH

DA

HE

=

1 =

2

1

2

1

2

1

2 ;

Kemudian, perhatikan sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang

ABCD

dan persegipanjang

EFGH

. Oleh karena keduanya berbentuk

persegipanjang, setiap sudut besarnya 90° sehingga sudut-sudut yang

bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Artinya kedua persegi

-panjang tersebut memiliki sisi-sisi yang bersesuaian dan sebanding

sedang-kan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Oleh karena itu, persegipanjang

ABCD

dan persegipanjang

EFGH

dikatakan

sebangun.

.

Jadi, dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi

syarat-syarat sebagai berikut.

8 cm

4 cm

2 cm

Kesebangunan

dilambangkan dengan“ ~ “.

Keseban Keseba

Plus +

1. Jelaskan cara mengukur sudut menggunakan busur derajat.

2. Jelaskan sifat-sifat persegipanjang, persegi, layang-layang, trapesium, belah ketupat, dan segitiga. 3. Jelaskan cara membuat segitiga sama sisi. 4. Tentukan nilai a .

3 3

3 R2

Q2 P2

S₂ 4

4 4

1 1

(a)

(b)

Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut

• memiliki perbandingan yang senilai.

Sudut-• sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut

sama besar.

Uji Kompetensi Awal

Gambar 1.1

Dua persegipanjang yang sebangun.

Buatlah tiga persegipanjang yang sebangun dengan kedua persegipanjang pada Gambar 1.1 .

(17)

Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun?

Jawab:

a. Perhatikan persegipanjang IJKL dan persegi MNOP.

(i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah

IJ MN

JK NO

KL OP

LI PM

= 6 = = =

2 2

6 2

2 2

; ; ;

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi

MNOP tidak sebanding.

(ii) Besar setiap sudut pada persegipanjang dan persegi adalah 90° sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP

sama besar.

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegipanjang IJKL dan persegi MNOP

tidak sebangun.

b. Perhatikan persegi MNOP dan persegi QRST.

(i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah

MN QR

NO RS

OP ST

PM TQ

=2 = = =

2 6

2 6 ; ; ;

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegi MNOP dan persegi QRST

sebanding.

(ii) Oleh karena bangun MNOP dan QRST berbentuk persegi, besar setiap sudutnya 90˚ sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar.

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegi MNOP dan persegi QRST sebangun. c. Dari jawaban a telah diketahui bahwa persegipanjang IJKL tidak sebangun

dengan persegi MNOP. Dengan demikian, persegipanjang IJKL juga tidak sebangun dengan persegi QRST. Coba kamu jelaskan alasannya

L _P

R N

6 cm

2 cm

Perhatikan gambar berikut.

Jika kedua bangun pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang QR.

Jawab:

Oleh karena persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sebangun, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding.

AB QR

RS QR QR

= 9 =6 = X =

9 2 6 3

Jadi, panjang QR adalah 3 cm.

2 cm 6 cm

9 cm

ra gambarb

Contoh

Soal

1.1

kan gamb kan gamb

Contoh

Soal

1.2

(18)

Perhatikan pasangan-pasangan segitiga berikut ini, kemudian jawab pertanyaannya. a.

Pada kedua pasangan segitiga tersebut, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama. Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah sama besar? b.

Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisinya. Apakah sisi-sisi yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang sama?

Kegiatan

Diketahui dua jajargenjang yang sebangun seperti gambar berikut.

Tentukan nilai x.

Jawab:

Perhatikan jajargenjang ABCD.

1_{B =} _{D = 120°}

A = C = 180° − 120° = 60°

Oleh karena jajargenjang ABCD sebangun dengan jajargenjang EFGH, besar sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar. Dengan demikian, 1_E ₌1=_{A = 60°.}

Jadi, nilai x_{= 60}_˚

F 6 dm

2 dm 6 cm

9 cm

120° x

i d j j

Contoh

Soal

1.3 2. Kesebangunan pada Segitiga

Berbeda dengan bangun datar yang lain, syarat-syarat untuk membuktikan

kesebangunan pada segitiga memiliki keistimewaan tersendiri. Untuk

mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

2 cm

4 cm

3 cm 5 cm

6 cm 10 cm 8 cm

3 cm

(a)

2,5 cm 37,5 cm

2 cm

3 cm

4,5 cm 3 cm

25° 25°

60° 60°

60° 60° 60°

60° 90° 90°

40°

40° 50° 50°

(a) (b)

(b)

Thales adalah seorang ahli mempelajari matematika, ilmu pengetahuan lain. Dalam matematika, ia terkenal dengan caranya mengukur tinggi piramida di Mesir dengan menggunakan prinsip kesebangunan pada segitiga.

Sumber: Matematika, Khazanah Pengetahuan Bagi Anak-anak,

1979.

Thales 624 SM–546 SM

Sekilas

Matematika

1 1 1

(19)

Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun?

Jawab:

Oleh karena pada setiap segitiga diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapitnya, gunakan syarat kesebangunan ke-(iii), yaitu sisi-sudut-sisi.

a. Besar sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar, yaitu 50°. b. Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikut.

Untuk segitiga (a) dan (b). 3

10= 0,3 dan 6 13= 0,46 Untuk segitiga (a) dan (c).

3 5

6 10 0 6 = = ,

Untuk segitiga (b) dan (c). 10

5 2

13 10 1 3 = dan = ,

Jadi, segitiga yang sebangun adalah segitiga (a) dan (c)

50° 50°

50° 5 10

b b

Contoh

Soal

1.4

Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki 2 sisi bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisi yang belum diketahui. Apakah sisi-sisi tersebut memiliki perbandingan yang sama dengan sisi-sisi yang lainnya? Kemudian, ukur pula sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah hasilnya sama besar?

Ketiga syarat kesebangunan pada segitiga dapat digunakan untuk mencari

panjang salah satu sisi segitiga yang belum diketahui dari dua buah segitiga

yang sebangun.

Jika kamu mengerjakan kegiatan tersebut dengan benar, akan diperoleh

kesimpulan bahwa untuk memeriksa kesebangunan pada segitiga, cukup lakukan

tes pada kedua segitiga tersebut sesuai dengan unsur-unsur yang diketahui.

Unsur-Unsur yang Diketahui

Pada Segitiga

Syarat Kesebangunan

(i) Sisi-sisi-sisi (s.s.s)

(ii) Sudut-sudut-sudut (sd.sd.sd)

(iii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s)

Perbandingan sisi-sisi yang

bersesuaian sama.

Sudut-sudut yang bersesuaian sama

besar.

Dua sisi yang bersesuaian memiliki

perbandingan yang sama dan sudut

bersesuaian yang diapit sama besar.

(a) (b) (c)

Dari gambar berikut, ada berapa buah segitiga yang sebangun? Sebutkan dan jelaskan jawabanmu.

D E

A B

Problematika

Tabel1.1 Syarat kesebangunan pada segitiga

(20)

Gambar berikut menunjukkan ∆ABC dengan DE sejajar BC. Jika panjang AD = 8 cm,

BD = 2 cm, dan DE = 4 cm, tentukan panjang BC.

Jawab:

Olehkarena ∆ABC sebangundengan∆ADE,

AD AD DB

BC BC

+ = maka + = 8 8 2 4 8 10 4 = BC BC=4 10X =

8 5 Jadi, panjang BC adalah 5 cm

A C B D E b ik

Contoh

Soal

1.6 Contoh

Soal

1.5

Perhatikan gambar berikut.

Jika kedua segitiga pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang PR. Jawab:

PQ = 3 KL = 21 cm

QR = 3 LM = 30 cm

PR = 3 MK = 3 × 6 = 18 Jadi, panjang PR adalah 18 cm

P R Q 30 cm 21 cm K M L 10 cm 6 cm 7 cm

Perhatikan gambar berikut.

Panjang QT adalah ....

a. 4 cm

b. 5 cm

c. 6 cm

d. 8 cm

Jawab:

Δ_QST_{sebangun dengan} Δ_QRP_.

SSTT RP Q QTT QP QT QT = = + 8 12 3

8(QT + 3) = 12QT

8 QT + 24 = 12 QT 4QT = 24

QT = 6

Jadi, panjang QT adalah 6 cm. Jawaban: c

Soal UN, 2007 R S Q T 8 cm 12 cm 3 cm P

Sebuah tongkat yang tingginya 1,5 m mempunyai bayangan 1 m. Jika pada saat yang sama, bayangan sebuah tiang bendera adalah 2,5 m, tentukan tinggi tiang bendera tersebut.

Jawab :

Misalkan, DE = tinggi tongkat

BD = bayangan tongkat

AB = bayangan tiang bendera

AC = tinggi tiang bendera k

Contoh

Soal

1.7

C E B ? 1,5 m

Solusi

Matematika

R S Q T 8 cm 12 cm 3 cm P

(21)

BD AB

AC AC

= =

, ,

maka 1 2 5

1 5

, , AC= 2 5 1 5×

= 3 75

Jadi, panjang tiang bendera tersebut adalah 3,75 m

5. Tentukan nilai x dan y pada pasangan bangun-bangun yang sebangun-bangun berikut.

6. Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun?

Kerjakanlah soal-soal berikut.

1. Manakah di antara bangun-bangun berikut yang pasti sebangun?

a. Dua jajargenjang b. Dua trapesium c. Dua persegi d. Dua lingkaran e. Dua persegipanjang 2. Perhatikan gambar berikut.

Sebangunkah persegipanjang ABCD dan persegi-panjang EFGH? Jelaskan jawabanmu.

3. Gambar-gambar berikut merupakan dua bangun yang sebangun. Tentukanlah nilai x dan y.

4. Deni membuat sebuah jajargenjang seperti gambar berikut.

Buatlah tiga jajargenjang yang sebangun dengan jajargenjang yang dibuat Deni.

4 2

5 4

20 y

6 35°

Uji Kompetensi 1.1

F 15

6 2

H F

G 70°

x° 70°

A C

B 70°

65°

S R

Q P

103°

S R

Q P

5 12

6 3

30° _30° 30°

(22)

B. Kekongruenan Bangun Datar

1. Kekongruenan Bangun Datar

Pernahkah kamu memperhatikan ubin-ubin yang dipasang di lantai kelasmu?

Ubin-ubin tersebut bentuk dan ukurannya sama. Di dalam matematika, dua

atau lebih benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut

benda-benda yang kongruen. Coba kamu sebutkan benda-benda-benda-benda lain di sekitarmu yang

kongruen.

Perhatikan Gambar 1.3

Gambar 1.3: Dua bangun kongruen

C P

Q S

Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut

memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian

sama besar.

Kongruen disebut juga sama dan sebangun, dilambangkan dengan “≅”. Kongrue

Kongru

Plus+

Gambar 1.3 menunjukkan dua bangun datar, yaitu layang-layang

ABCD

dan layang-layang

PQRS

. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada

kedua layang-layang tersebut sama besar, yaitu

AB = QR

=

RS

dan

BC = PQ

=

CD

=

SP

. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua

layang-layang tersebut juga sama besar, yaitu A = R, C = P

,

B = Q, dan

D = S. Oleh karena itu, layang-layang ABCD dan layang-layang

PQRS

kongruen, ditulis layang-layang

ABCD

≅

layang-layang

PQRS

.

A B

Pada gambar di samping, DE // AB. Jika AB = 12 cm, DE = 8 cm, dan

DC = 10 cm, tentukan panjang AC.

8. Buktikanbahwa ∆DEFsebangundengan∆GHF.

D E

7 5

12 4

G H

D E B

12 m

aliran sungai

9. Sebuah tongkat yang tingginya 2 m mempunyai bayangan 1,5 m. Jika pada saat yang sama, sebuah pohon mempunyai bayangan 30 m, tentukan tinggi pohon tersebut.

10. Seorang pemuda menghitung lebar sungai dengan menancapkan tongkat di titik B, C, D, dan E

(seperti pada gambar) sehingga DCA terletak pada satu garis. Tentukan lebar sungai tersebut.

Gambar 1.2

Sumber:Dokumentasi Penulis 7.

1 1

(23)

Perhatikan gambar berikut.

Tunjukkan bahwa kedua bangun tersebut kongruen. Jawab :

a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada trapesium ABCD dan trapesium PQRS

sama besar, yaitu AB = PQ, BC = QR, CD = RS, dan AD = PS.

b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut sama besar, yaitu

A = P = E = Q dan C = R = D = S.

Dari jawaban a dan b terbukti bahwa trapesium ABCD≅ trapesium PQRS. Perhatikan gambar berikut.

Contoh

Soal

1.9 Contoh

Soal

1.8

A E

D C

G F

Tentukan sisi-sisi yang kongruen pada bangun tersebut.

Jawab :

Syarat kekongruenan pada bangun datar adalah sama bentuk dan ukurannya. Pada balok ABCD. EFGH, sisi-sisi yang kongruen adalah

sisi

• ABCD≅ sisi EFGH

sisi

• ABFE≅ sisi CDHG

sisi

• BCGF≅ sisi ADHE

Perhatikan dua bangun datar yang kongruen berikut.

Tentukan besar E.

120° 45°

x 60°

C H

G E

F B

k d b

Contoh

Soal

1.10

Manakah pernyataan yang benar?

a. Bangun-bangun yang sebangun pasti kongruen.

b. Bangun-bangun yang kongruen pasti sebangun. Jelaskan jawabanmu.

Tugas

D R

P A

1 1 1 1 1 1 1 1

(24)

2. Kekongruenan Segitiga

Pada bagian ini, pembahasan bangun-bangun yang kongruen difokuskan

pada bangun segitiga. Untuk menunjukkan apakah dua segitiga kongruen

atau tidak, cukup ukur setiap sisi dan sudut pada segitiga. Kemudian,

bandingkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian. Perhatikan tabel

syarat kekongruenan dua segitiga berikut.

Unsur-Unsur yang Diketahui

Pada Segitiga

Syarat Kekongruenan

(i) Sisi-sisi-sisi (s.s.s)

(ii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s)

(iii) Sudut-sisi-sudut (sd.s.sd) atau

Sudut-sudut-sisi (sd.sd.s)

Sisi-sisi yang bersesuaian sama

panjang.

Dua sisi yang bersesuaian sama

panjang dan satu sudut yang

diapit oleh kedua sisi tersebut

sama besar.

Dua sudut yang bersesuaian

sama besar dan satu sisi yang

bersesuaian sama panjang.

Gambar di samping merupakan gambar segitiga samasisi

STU. Jika SO tegak lurus TU dan panjang sisi-sisinya 3 cm, buktikan bahwa ∆STO

≅

∆SUO.

O S

Jawab :

Oleh karena kedua bangun datar tersebut kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama besar.

A = F = 45˚

C = H = 60˚

D = G = 120˚

B = E = ?

Jumlah sudut pada bangun datar ABCD = jumlah sudut pada bangun datar

EFGH = 360°.

E = 360° − ( –F + –G + –H ) = 360° − (45° +120° + 60° ) = 360° − 225° = 35° Jadi, E = 35°

Contoh

Soal

1.11

www.deking. wordpress.com www.gemari.or.id

Situs Matematika

Tabel 1.2 Syarat kekongruenan pada segitiga

1 1

(25)

Perhatikan dua segitiga yang kongruen berikut.

Tentukan nilai w, x, y, dan z. Jawab:

Oleh karena ∆ABC

@

∆PQR, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu

1_A₌ _Q₌_z_{= 35°}

C = R = w = 65°

B = P = x = y = 180° − (35° + 65°) = 180° − 100° = 80° Jadi, w = 65°, x = y = 80°, dan z = 35°.

35° z w 65° x y A C R P Q B

Contoh

Soal

1.12

Jawab:

• ∆STO merupakan segitiga samasisi sehingga ST = TU = US = 3 cm dan – STU = – TUS = – UST = 60°.

• SO tegak lurus TU maka –SOT = –SOU = 90° dan TO = OU sehingga – OST = 180˚ − ( – STO + – TOS)

= 180˚ − (60°+ 90°) = 30° – USO = 180˚ − ( – SOU + – OUS)

= 180˚ − (90° + 60°) = 30° Oleh karena (i) – T = – U = 60° (ii) ST = US = 3 cm

(iii) – OST = – USO = 30° terbukti bahwa ∆STO

≅

∆SUO

Kerjakanlah soal-soal berikut.

1. Dari gambar-gambar berikut, manakah yang kongruen? D A B C x 40° 75° C A 5 cm

12 cm B

13 cm 5 cm

Uji Kompetensi 1.2

C A B D E G I H 4 cm 4 cm 4 cm 13 cm 13 cm 13 cm 13 cm 4 cm 4 cm L K N Q R P M O J F 75° _65° 40° 4 cm 2.

Pada gambar di atas, tentukan nilai x. 3. Perhatikan gambar berikut.

Buktikan bahwa ∆ABC

≅

∆DEF.

Diketahui segitiga ABC

dengan siku-siku di B;

kongruen dengan segitiga

PQR dengan siku-siku di P.

Jika panjang BC = 8 cm dan

QR = 10 cm maka luas segitiga PQRadalah ....

a. 24 cm c. 48 cm

b. 40 cm d. 80 cm

Jawab:

Oleh karena Δ_ABC@Δ_PQR

maka BC = PR = 8 cm. Menurut Teorema Pythagoras,

PQ= QR –PR

= 10 – 8

= 100 – 64 = 36 = 6

2 2 2 2 Luas 1 2 =1 2

PQR ×PR PQ_R_R×

× ×8××6 = 24

Jadi, luas Δ_PQR_{adalah 24 cm}2_.

Jawaban: a

Soal UN, 2007 A B C 8 cm Q P R 10 cm

Solusi

Matematika

1 1 1 1 1

(26)

• Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun

jika memenuhi syarat-syarat berikut.

-

Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada

bangun-bangun tersebut mempunyai

per-bandingan yang senilai.

-

Sudut-sudut yang bersesuaian pada

bangun-bangun tersebut sama besar.

• Syarat kesebangunan pada dua atau lebih

segitiga adalah

-

perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian

senilai (s.s.s),

-

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

(sd.sd.sd), atau

-

dua sisi yang bersesuaian memiliki

per-bandingan yang sama dan sudut yang

diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.

Rangkuman

Jika – PSR= 140° dan – SPR= 30° , tentukan besar – PRQ.

P Q

R S

140° 60°

140°

5. Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut, panjang PR = (5x + 3) cm dan PS = (2x + 21) cm. Tentukan panjangPS.

• Dua atau lebih bangun dikatakan kongruen

jika memenuhi syarat-syarat berikut.

-

Bentuk dan ukurannya sama.

-

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

• Syarat kekongruenan dua atau lebih segitiga

adalah

-

sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang,

-

dua sisi yang bersesuaian sama panjang

dan satu sudut yang diapit oleh kedua

sisi tersebut sama besar , atau

-

dua sudut yang bersesuaian sama besar dan

satu sisi yang bersesuaian sama panjang.

Setelah mempelajari bab Kesebangunan dan Kekongruenan ini, menurutmu bagian mana yang •

paling menarik untuk dipelajari? Mengapa?

Pada bab ini, materi-materi apa saja yang belum kamu pahami dan telah kamu pahami dengan •

baik?

Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini? •

(27)

Peta Konsep

Kesebangunan

dan

Kekongruenan

Bangun Datar

Kesebangunan

Bangun Datar

Bangun Datar Segitiga

Segitiga

Perbandingan sisi-sisi

yang bersesuaian memiliki perbandingan yang senilai

Sudut-t sudut yang bersesuaian sama besar

Perbandingan sisi-sisi yang

bersesuaian senilai (s.s.s)

Sudut-t sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd)

Dua sisi yang bersesuaian

memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar (s.sd.s)

Bentuk dan ukurannya sama

Sudut-t sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd)

Sisi-sisi yang bersesuaian sama

panjang (s.s.s)

Dua sisi yang bersesuaian sama

panjang dan satu sudut yang diapit sama besar (s.sd.s) Dua

t sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang (sd.sd.s)

Kekongruenan meliputi

untuk

syarat

(28)

A. Pilihlah satu jawaban yang benar.

1. Berikut adalah syarat kesebangunan pada bangun datar, kecuali ....

a. perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya senilai

b. sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar

c. sudut-sudut yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang senilai

d. pernyataan (a) dan (b)

2. Perhatikan gambar dua trapesium yang sebangun berikut.

Nilai n yang memenuhi adalah ....

a. 12

b. 14

c. 16

d. 18

3. Ukuran persegipanjang yang sebangun dengan persegipanjang berukuran 4 cm × 12 cm adalah ....

a. 4 cm × 2 cm

b. 18 cm × 6 cm

c. 8 cm × 3 cm

d. 20 cm × 5 cm

4. Bangun-bangun di bawah ini pasti sebangun, kecuali ....

a. dua persegi

b. dua persegipanjang

c. dua lingkaran

d. dua segitiga samasisi

5. Perhatikan gambar berikut.

Jika Δ_{ABC dan}Δ_{DEF sebangun, per}_{nyataan yang} benar adalah ....

a. AC = DF

b. AB : DE = BC : EF

c. AB × AC = FD × ED

d. AC : AB = DE : DF

6. Pernyataan yang benar mengenai gambar berikut adalah ....

a. e f

a b

= +

b. e f

d c

= +

c. e f

b a

d. e f

c d

7. Perhatikan gambar berikut.

Nilai x sama dengan ....

a. 6,7 cm

b. 5,0 cm

c. 4,1 cm

d. 3,8 cm

8. Diketahui Δ_{PQR dengan ST sejajar PQ, PS = 6 cm,} ST = 10 cm, dan RP = 15 cm. Panjang BS adalah ... cm.

a. 9 cm

b. 10 cm

c. 12 cm

d. 15 cm

9. Jika Δ_DEF_kongruen_denganΔ_KLM,_pernyataan yang benar adalah ....

a. –_{D =}–_L

b. –_{E =}–_K

c. DF = LM

d. DE = KL

B E

A D C F

f c

10 cm 6 cm

9 cm

6 9

A B 16

n C

E F

(29)

10. Pernyataandibawahiniyangbenaradalah....

a. jikasudut-sudutduasegitigasamabesar, sisi-sisiyangbersesuaiansamapanjang

b. jikasisi-sisiduasegitigasamapanjang sudut-sudut,keduasegitigaitusamabesar

c. jikaduasegitigasebangun, keduasegitiga itu kongruen

d. jika dua segitiga sebangun, sisi-sisinya sama panjang

11. Perhatikangambarberikut.

Pasangansegitigayangkongruenadalah....

a. Δ_DAB_danΔ_CAD

b. Δ_CDA_danΔ_CBA

c. Δ_ABC_danΔ_ADC

d. Δ_BAD_danΔ_CAD

12. Perhatikangambarberikut.

Nilai x + y = ....

a. 260_°

b. 130°

c. 50°

d. 25_°

13. Padagambarberikut,∆PQR

@

_∆STU.

Pernyataanyangbenaradalah....

a. –_S₌₅₀°

b. –_T₌₇₀°

c. –_S₌₆₀°

d. –_U₌₆₀° A

B D

14.

Padagambardiatas,besar –_RSP_adalah_....

a. 45°

b. 40°

c. 35_°

d. 30_°

15. Perhatikangambarberikut.

JikapanjangAB = (6x − 31)cm,CD = (3x − 1)cm, danBC = (2x + 3)cm,panjangAD = ....

a. 29cm

b. 26cm

c. 23cm

d. 20cm

B. Kerjakanlah soal-soal berikut.

1. Buatlahtigapasangbangundataryangsebangun. Kemudian,berikanalasanjawabannya.

2. Perhatikangambarberikut.

TunjukkanbahwaΔ_ABC_sebangun_denganΔ_CDE_.

70°

R U

P Q T

50°

R S

Q 100°

45°

A B

C S 50°

50_°

Q P

A B

E D

(30)

3. Pada gambar berikut, tentukan panjang PQ. 4. Jelaskan cara menguji kekongruenan dua segitiga dengan kata-katamu sendiri.

5. Perhatikan gambar berikut.

Tentukan nilai x, y, dan z. 85°

y R

Q P

8 cm

10 cm

(31)

vii

PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU

A. Deskripsi Umum

Matematika SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi kelas XII terdiri atas 3 standar kompetensi, yaitu:

1. Standar kompetensi Teori Peluang 2. Standar kompetensi Statistika

3. Standar kompetensi Matematika Keuangan

Setelah mempelajari buku ini, kompetensi yang diharapkan adalah peserta didik dapat menerapkan konsep Teori Peluang, Konsep Statistika, dan Matematika Keuangan dalam menunjang program keahlian, yaitu program keahlian pada kelompok Penjualan dan Akuntansi.

Pendekatan yang digunakan dalam menyelesaikan buku ini menggunakan pendekatan siswa aktif melalui metode: Pemberian tugas, diskusi pemecahan masalah serta presentasi. Guru merancang pembelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya kepada peserta didik untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri ataupun bersama-sama.

B. Prasyarat Umum

Dalam mempelajari buku ini, setiap standar kompetensi yang satu dengan standar kompetensi yang lain saling berkaitan dan anda boleh mempelajari kompetensi ini tidak harus berurutan sesuai dengan daftar isi. Jadi untuk dapat mempelajari kompetensi berikutnya harus menguasai secara mendasar kompetensi sebelumnya. Standar kompetensi yang paling mendasar dan harus benar-benar dikuasai adalah standar kompetensi sistem bilangan real.

C. Petunjuk Penggunaan Buku

1. Penjelasan Bagi Peserta Didik

a. Bacalah buku ini secara berurutan dari kata pengantar sampai cek kemampuan, lalu pahami benar isi dari setiap babnya.

b. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam buku ini agar kompetensi anda berkembang sesuai standar.

c. Buatlah rencana belajar anda dalam mempelajari buku ini, dan konsultasikan rencana anda dengan guru.

d. Lakukan kegiatan belajar untuk memdapatkan kompetensi sesuai dengan rencana kegiatan belajar yang telah anda susun.

(32)

viii

e. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai pengetahuan pendukung (uraian materi), membaca rangkumannya dan mengerjakan soal latihan baik melalui bimbingan guru ataupun tugas di rumah. f. Dalam mengerjakan soal-soal latihan, anda jangan melihat kunci jawaban terlebih

dahulu, sebelum anda menyelesaikannya.

g. Diakhir kompetensi, selesaikan Uji Kemampuan untuk menghadapi tes evaluasi yang diberikan oleh guru.

2. Peranan Guru

a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar.

b. Membimbing peserta didik melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam tahap belajar.

c. Membantu peserta didik dalam memahami konsep dan menjawab pertanyaan mengenai proses belajar peserta didik.

d. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar.

e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f. Melaksanakan penilaian.

g. Menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya.

h. Mencatat pencapaian kemajuan peserta didik dengan memberikan evaluasi. Pemberian evaluasi kepada siswa diharapkan diambil dari soal-soal Uji Kemampuan yang tersedia.

D. Cek Kemampuan

Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi. Rumus :

Jumlah jawaban yang benar

Tingkat Penguasaan = ______________________ ___________ x 100 % Jumlah soal

Arti tingkat penguasaan yang anda capai : 90% - 100% = baik sekali

76% - 89% = baik 60% - 75% = sedang

< 60% = kurang

Jika anda mencapai tingkat penguasaan 60% ke atas, anda dapat meneruskan dengan kompetensi dasar berikutnya. Tetapi jika nilai anda di bawah 60%, anda harus mengulangi

ateri tersebut terutama yang belum dikuasai. m

(33)

Sumber: Art and Gallery

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

1. Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang

9. 1 Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi

(34)

2 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

A. PENDAHULUAN

Standar Kompetensi Teori Peluang terdiri dari dua (2) Kompetensi Dasar. Pada penyajian dalam buku ini, setiap Kompetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi ini adalah

Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi, dan Peluang Suatu Kejadian

Standar Kompetensi ini digunakan untuk menyelesaikan masalah–masalah peluang suatu kejadian pada kehidupan sehari-hari dalam rangka untuk menunjang program keahliannya.

Sebelum mempelajari kompetensi ini diharapkan anda telah menguasai standar kompetensi Sistem Bilangan Real terutama tentang perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan bilangan real.

Pada setiap akhir Kompetensi dasar tercantum soal latihan yang disusun dari soal-soal yang mudah sampai soal-soal-soal-soal yang sukar. Latihan soal-soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kompetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut.

Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah.

Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah anda layak atau belum layak mempelajari standar Kompetensi berikutnya. Anda dinyatakan layak jika anda dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru.

B. KOMPETENSI DASAR

B.1. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi

a. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat:

¾ Menjelaskan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi

¾ Menentukan banyaknya cara meyelesaikan masalah dengan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi

¾ Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi

b. Uraian Materi

Perhitungan peluang yang sering dipopulerkan dengan istilah Probabilitas pertama kali dikenalkan oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat pada abad ke-17 melalui

(35)

3 BAB I Peluang

permainan yang lain seperti pelemparan koin, permainan kartu bridge (remi) dan permainan lainnya. Oleh karena itu, konsep peluang lahir melalui suatu permainan. Dalam perkembangannya, perhitungan peluang mendapatkan perhatian yang serius dari para ilmuwan karena mempunyai peran yang sangat penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan lainnya, seperti Ilmu fisika modern, Statistika, dan lain-lain.

1). Pengertian Kaidah Pencacahan (Caunting Slots)

Kaidah pencacahan atau Caunting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Kaidah pencacahan terdiri atas :

a. Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots),

b. Permutasi, dan c. Kombinasi.

2). Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)

Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda,

peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai

peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, di mana :

K = k1 x k2 x . . . x kn

K sering disebut dengan istilah banyaknya tempat yang tersedia dengan aturan perkalian atau Kaidah perkalian. Untuk menentukan banyaknya tempat yang tersedia selain menggunakan aturan perkalian, juga menggunakan diagram pohon, tabel silang, dan pasangan berurutan

Contoh 1

Misalkan ada dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk?

Jawab:

Dari masalah di atas dapat diselesaikan dengan kaidah pencacahan, banyak cara yang mungkin terjadi dari peristiwa tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode berikut ini:

Dengan tabel silang

Warna baju Warna celana

Kuning (k) Merah (m) Putih (p) Ungu (u) Hitam (h)

( h, k ) ( h, m ) ( h, p ) ( h, u ) Biru (b)

(36)

4 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

Dengan Diagram Pohon

Warna celana

Hitam (h)

Biru (b)

Warna baju Kuning (k) Merah (m) Putih (p) Ungu (u) Kuning (k) Merah (m) Putih (p) Ungu (u)

( h, k ) ( h, m ) ( h, p )

( h, u ) ( b, k ) ( b, m ) ( b, p ) ( b, u )

Dari tabel silang dan diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk, yaitu : (h,k,), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), dan (b,u),

Dengan Pasangan Terurut

Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {h,b} dan himpunan warna baju dinyatakan B = {k,m,p,u}. Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B dapat ditulis {(h,k), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), (b,u)}. Banyak unsur dalam himpunan pasangan terurut ada 8 macam warna.

Contoh 2

Misalkan dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung?

Jawab:

Dari Semarang ke Bandung ada 2 jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Jadi, seluruhnya ada 2 x 3 = 6 jalan yang dapat ditempuh.

Contoh 3

Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang?

Jawab:

Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalnya terpilih angka 1. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari 4 angka, yaitu 0, 2, 3 dan 4. Misalnya

(37)

5 BAB I Peluang

dan 4. Misalkan yang terpilih angka 2. Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dari 2 angka, yaitu 3, dan 4. Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-angka yang tidak boleh berulang.

Contoh 4

Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan tidak boleh ada angka yang diulang.

a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk?

b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk?

c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk? d. Berapa banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk?

Jawab:

a. Angka ribuan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk = 6 x 6 x 5 x 4 = 720 angka.

b. Bilangan ganjil apabila angka satuannya merupakan angka ganjil.

Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ribuan ada 5 angka yang mungkin yaitu 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 2. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk = 4 x 5 x 5 x 4 = 400 angka.

c. Bilangan yang kurang dari 5.000, maka:

Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan dapat dibentuk = 4 x 6 x 5 x 4 = 480 angka.

d. Bilangan genap apabila satuannya merupakan angka genap, yaitu 0, 2 atau 4. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 0, maka:

Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 2, maka:

Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 4, maka:

Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 2, 3, 5, dan 7. Misal terpilih angka 3.

(38)

6 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 2, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 5, dan 7.

Jadi, banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk adalah = (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) = 240 angka.

3). Pengertian dan Notasi Faktorial

n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n. Notasi dari n faktorial dilambangkan dengan n ! (dibaca : “n faktorial”) n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n – 2) . (n – 1) . n

Contoh 5

Tentukanlah nilai dari 0!

Jawab:

Dari definisi faktorial : n ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . n . . . 1), (n – 1) ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . . . 2). Jika persamaan 2) kita substitusikan ke persamaan 1), maka akan diperoleh: n ! = (n – 1) ! . n atau n =

! ) 1 n ( ! n

− . Jika n = 1 maka akan diperoleh kesamaan:

1 = ! ) 1 1 ( ! 1

− atau 1 = 0! ! 1

, Jadi, 0! = 1! = 1

Contoh 6

Hitunglah nilai dari:

a. 5! b.

! 4 ! 7 c . ! 4 . ! 6 ! 10 Jawab:

a. 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 b. ! 4 ! 7 = 4 . 3 . 2 . 1 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

= 5 . 6 . 7 = 210. c. ! 4 . ! 6 ! 10 = 4 . 3 . 2 . 1 . ! 6 10 . 9 . 8 . 7 . ! 6 = 210. Contoh 7

Tulislah dengan notasi faktorial: a. 12 . 11 . 10 . 9 1

b. n.(n – 1).(n – 2) … (n – 8) c.

4 3 2 1 ) 3 n ).( 2 n ).( 1 n .( n ⋅ ⋅ ⋅ − − − Jawab: a. 12 . 11 . 10 . 9 1 = 12 . 11 . 10 . 9 . 8 ... 3 . 2 . 1 8 ... 3 . 2 . 1 = ! 12 ! 8

b. n.(n – 1).(n – 2) … (n – 8) =

1 2. . 9)...3 (n 1 . 2 . 9)...3 (n 8). (n 2) (n . ) 1 n .( n − − − … − − = ! 9) (n ! n −

(39)

7 BAB I Peluang

c. 4 3 2 1 ) 3 n ).( 2 n ).( 1 n .( n ⋅ ⋅ ⋅ − − − = 1 . 2 . 3 )... 5 n ).( 4 n .( 4 3 2 1 1 . 2 . 3 )... 5 n ).( 4 n ).( 3 n ).( 2 n ).( 1 n .( n − − ⋅ ⋅ ⋅ − − − − − = ! 4) !.(n 4 ! n − Contoh 8

Sederhanakanlah bentuk :

)! 1 n ( )! 1 n ( − +

, untuk n

≥

Jawab: )! 1 n ( )! 1 n ( − + = )! 1 n ( )! 1 n .( n ). 1 n ( − − +

= (n + 1) . n = n2 + n

Contoh 9

Hitunglah n dari:

)! 3 n ( )! 1 n ( − − = 30. Jawab: )! 3 n ( )! 1 n ( − − = 30 )! 3 n ( )! 3 n ).( 2 n ).( 1 n ( − − − − = 30 (n – 1).(n – 2) = 30 n2 – 3n + 2 – 30 = 0 n2 – 3n – 28 = 0 (n – 7)(n + 4) = 0

n = 7 atau n = -4 (tidak memenuhi)

1. Dalam suatu penelitian akan ditanam 4 jenis padi (p1, p2, p3, p4) pada 5 petak

sawah yang berbeda (s1, s2, s3, s4, s5)

a. Buatlah diagram pohon dan tabel silang pada penelitian itu!

b. Berapa macam cara penanaman 4 jenis padi di 5 petak sawah yang berbeda? 2. Dari kota A ke Kota B ada 5 jalan yang dapat dilalui. Dari Kota B ke Kota C ada 7

jalan yang dapat dilalui. Dengan berapa cara seseorang dapat pergi: a. Dari Kota A ke C melalui B?

b. Dari Kota A ke C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B?

c. Dari Kota A ke C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B tetapi jalan yang ditempuh pada waktu kembali tidak boleh sama dengan jalan yang dilalui ketika berangkat?

3. Berapa banyak lambang bilangan dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6:

a. Jika bilangan tersebut terdiri dari 3 angka dan ada angka yang sama? b. Jika bilangan tersebut terdiri dari 4 angka yang berlainan dan genap?

(40)

8 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

4. Berapa banyak pasang pakaian yang dapat dipakai seorang siswa apabila ia mempunyai 6 celana dan 8 kemeja?

5. Dari angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas 4 angka yang berbeda. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun apabila bilangan itu kurang dari 5000 dan tanpa pengulangan?

6. Pengurus suatu organisasi terdiri dari 4 orang, yaitu seorang ketua, seorang sekretaris, seorang bendahara, dan seorang pembantu umum. Untuk jabatan ketua ada 5 calon, untuk sekretaris ada 7 calon, untuk bendahara ada 4 calon, dan untuk pembantu umum ada 3 calon. Jika dalam susunan pengurus itu tidak boleh seorang pun yang dicalonkan pada 2 jabatan atau lebih. Dengan berapa cara susunan pengurus itu dapat dibentuk?

7. Untuk mengikuti lomba KEMAMPUAN MIPA di tingkat Kabupaten, akan dipilih wakil untuk pelajaran matematika, fisika, kimia, dan biologi. Masing-masing untuk 1 pelajaran ditempatkan seorang wakil. Bila untuk matematika tersedia 8 calon, Fisika 5 calon, Kimia 6 calon, dan Biologi 4 calon. Ada berapa cara pemilihan pasangan dapat dilakukan?

8. Berapa banyaknya huruf dapat dibentuk dari kata SHOLAT, apabila : a. Huruf terakhir adalah konsonan?

b. Huruf terakhir adalah huruf A?

9. Berapakah banyaknya bilangan antara 500 dan 900 yang dapat disusun dari angka 2, 3, 4, 5, dan 6, jika pada penyusunan bilangan itu tidak boleh ada pengulangan angka?

10. Delapan orang terdiri atas 2 pria dan 6 wanita. Mereka mendapatkan 8 kursi sebaris ketika menonton pertunjukan. Jika pria harus menempati di ujung-ujung kursi, ada berapa cara mereka duduk?

11. Dari kotak A, B, dan C berturut turut berisi 5 bola merah, 6 bola kuning, dan 4 bola hijau. Seorang mengambil sebuah bola dari masing masing kotak sehingga mendapat 3 bola yang berlainan warna. Berapa cara agar mendapatkan 3 bola yang berlainan warna tersebut?

12. Seorang karyawan dalam bertugas setiap harinya melewati 4 gedung. Dari gedung 1 ke gedung 2 ada 5 jalan, dari gedung 2 ke gedung 4 ada 6 jalan, dari gedung 1 ke gedung 3 ada 5 jalan, dari gedung 3 ke gedung 4 ada 2 jalan, namun dari gedung 2 ke gedung 3 tidak ada jalan. Setelah sampai dari gedung 4 orang tersebut kembali ke gedung 1 melalui gedung 3 atau gedung 2. Ada berapa cara orang tersebut untuk keluar dari gedung tempat dia bekerja?

a. Jika waktu pulang boleh melalui jalan yang sama.

b. Ketika pulang tidak boleh melalui jalan yang sudah dilewati.

13. Dari angka-angka 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 9 akan disusun suatu bilangan puluhan ribu. Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun apabila bilangan tersebut: a. Merupakan bilangan yang habis dibagi 10 dan angka tidak berulang?

(41)

9 BAB I Peluang

14. Nyatakan dengan notasi faktorial:

a. 10 . 9 . 8 c.

4 . 3 . 2 . 1 6 . 7 . 8

b. p.(p – 1).(p – 2).(p – 3) d. (k+2).(k + 1).k.(k – 1).(k – 2) 15. Seseorang akan pergi dari kota A ke kota F seperti gambar di bawah ini:

Ada berapa jalan yang mungkin di lalui dari kota A ke kota F tersebut? 16. Hitunglah:

a. 7! d.

! 2 !. 15 ! 17 g. )! 3 20 ( ! 20 −

b. 10! e.

! 3 !. 2 ! 5 !. 4 h. ! 98 ! 100 c. ! 5 ! 8 f. ! 2 !. 2 ! 5 . ! 4 . ! 3 i. )! 2 10 ( ! 10 − 17. Sederhanakan: a. )! 3 n ( )! 1 n ( + − c. )! 2 n ( )! 1 n ( + − b. )! 2 n ( )! 1 n ( + − = )! 1 n ( )! 3 n ( 3 + − d. )! 4 n ( )! 2 n ( − − = ! 3 ! 5

18. Hitunglah n dari: a. ! n ! ) 2 n ( +

= 42 d.

! ) 1 n !.( 2 ! ) 1 n ( − + = ! ) 2 n ( ! n − b. ! ) 2 n ( ! n

− = (n 3)! ! ) 1 n .( 2 − −

; n

≥

3 e.

! ) 2 n ( ! n = 6 −

(42)

10 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 4). Pengertian Permutasi

a). Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Misalkan dari empat huruf yang berbeda A, B, C, dan D akan disusun : a. Satu huruf, maka diperoleh susunan huruf A, B, C, dan D.

Jumlahnya susunan ada 4 kemungkinan =

1 . 2 . 3 1 . 2 . 3 . 4 = ! 3 ! 4 = ! ) 1 4 ( ! 4 −

b. Dua huruf yang berbeda, maka diperoleh susunan: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, dan DC. Jumlah susunan ada 12 = 4.3 =

1 . 2 1 . 2 . 3 . 4 = ! 2 ! 4 = ! ) 2 4 ( ! 4 − c. Tiga huruf yang berbeda, maka dengan menggunakan aturan perkalian, yaitu

huruf pertama dapat ditempati 4 huruf yang tersedia, huruf kedua dapat ditempati 3 huruf sisa yang tersedia, dan huruf ketiga dapat ditempati dua 2 huruf sisa yang tersedia. Jumlah susunan ada 24 = 4 . 3 . 2 =

! 1 ! 4 = ! ) 3 4 ( ! 4 −

d. Empat huruf yang berbeda, maka dengan menggunakan aturan perkalian diperoleh jumlah susunan sebanyak 24 = 4 . 3 . 2 . 1 =

! ) 4 4 ( ! 4 ! 0 ! 4 − =

Dari ilustrasi di atas, maka jika jumlah objek ada n, akan disusun k objek yang berbeda dengan k < n diperoleh jumlah susunan:

n.(n – 1).(n – 2) . . . (n – k + 1) =

1 . 2 . 3 . . . ) 1 k n ).( k n ( 1 . 2 . 3 . . . ) 1 k n ).( k n ).( 1 k n ( . . . ) 2 n ).( 1 n .( n − − − − − − + − − − = ! ) k n ( ! n −

Susunan k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia di mana k < n sering di dipopulerkan dengan istilah Permutasi k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia.

Banyak permutasi k objek dari n objek di tulis nPk, atau Pkn dapat dirumuskan :

)! k n ( ! n P_k

n = ₋

Contoh 9

Berapa banyak permutasi 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D, dan E.

Jawab:

• Sebagai huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dari 5 huruf yang tersedia, yaitu A, B, C, D, atau E. Misalkan terpilih huruf A.

• Setelah huruf pertama dipilih, ada 4 huruf untuk memilih huruf ke dua, yaitu B, C, D, dan E. Berdasarkan kaidah perkalian, banyak susunan seluruhnya adalah = 5 x 4 = 20.

Dengan menggunakan permutasi, berarti permutasi 2 objek dari 5 objek yang tersedia:

)! 2 5 ( ! 5 P₂

5 = ₋ =

1 . 2 . 3 1 . 2 . 3 . 4 . 5

= 5 . 4 = 20.

(43)

11 BAB I Peluang

Contoh 10

Berapa banyak susunan yang terdiri atas 4 huruf yang di ambil dari huruf-huruf T, O, S, E, R, B, dan A?

Jawab:

Banyaknya susunan huruf-huruf itu adalah permutasi 4 huruf berbeda yang diambil dari 7 huruf yang tersedia adalah:

)! 4 7 ( ! 7 P₄

7 = ₋ =

1 . 2 . 3 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7

= 7 . 6 . 5 . 4 = 840.

Contoh 11

Hitunglah nilai dari 6P6! Jawab: ! 0 ! 6 )! 6 6 ( ! 6 P₆ 6 = −

= = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720.

b). Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama

Banyaknya permutasi nP n di mana ada a objek yang sama, b objek yang sama, dan seterusnya adalah P, maka nilai P:

. . . ! b . ! a ! n P = Contoh 12

Carilah banyak permutasi berikut ini:

a. 5 objek yang memuat 3 objek yang sama

b. 10 objek memuat 2 objek yang sama, 4 objek lainnya sama dan 3 objek lainnya lagi sama. Jawab: a. ! 3 ! 5

P= =

3 . 2 . 1 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 20. b. ! 3 !. 4 . ! 2 ! 10

P= =

3 . 2 . 1 !. 4 . 2 . 1 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 !. 4

= 12.600.

Contoh 13

Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dibentuk dari huruf-huruf

MATEMATIKA ?

Jawab:

Pada kata “ MATEMATIKA “ terdapat 10 huruf dengan 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T. Jika banyak susunan yang diminta adalah P, maka:

! 2 . ! 3 . ! 2 ! 10

P = =

2 . 1 . 2 . 1 . ! 3 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . !

(44)

12 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Contoh 14

Dari 10 kelereng, 5 berwarna merah, 3 berwarna hitam dan 2 berwarna putih. Berapa banyak cara untuk menyusun kelereng tersebut berdampingan?

Jawab: ! 2 !. 3 . ! 5

! 10

P = =

2 . 1 . 3 . 2 . 1 !. 5

10 . 9 . 8 . 7 . 6 !. 5

= 2.520.

c). Permutasi Siklik

Jika ada 2 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 1 = (2 – 1)!, yaitu:

Jika ada 3 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 2 = (3 – 1)!, yaitu:

Jika ada 4 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 6 = (4 – 1)!, yaitu:

Dari ilustrasi di atas, maka:

Jika ada n objek duduk melingkar, maka banyak susunan yang terjadi ada (n – 1)! Sehingga diperoleh definisi:

Jika ada n objek yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklik, maka banyaknya susunan yang terjadi (permutasi siklik atau P siklik) adalah:

P siklik = (n – 1)!

Contoh 15

Dari 8 peserta konferensi akan menempati kursi pada meja bundar, berapa macam susunan posisi duduk yang dapat terjadi?

Jawab:

Banyak objek n = 8, maka banyak permutasi sikliknya: P siklik = (8 –1)! = 7! = 5.040.

Contoh 16

Dari 8 anggota Karang Taruna dimana Hanif, Nisa, dan Azzam ada di dalamnya, akan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang terjadi, jika:

a. Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih tempat duduk b. Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan

(45)

13 BAB I Peluang

Jawab:

a. Jika semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih, maka banyak susunan siklik = (8 – 1)! = 5.040.

b. Jika Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan, maka mereka bertiga dianggap satu objek dalam susunan siklik. Jumlah objek dalam susunan siklik tinggal 6 objek, maka banyak susunan siklik = (6 – 1)! = 120. Namun Hanif, Nisa, dan Azzam dapat bertukar tempat sebanyak 3! = 6.

Jadi, susunan siklik dimana Hanif, Nisa, dan Azzam duduk berdampingan adalah = 120 x 6 = 720.

c. Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh bertiganya duduk berdampingan = 5.040 – 720 = 4.320.

5). Pengertian Kombinasi

Misalkan dari empat huruf yang berbeda A, B, C, dan D akan disusun: a. Satu huruf, maka diperoleh huruf A, B, C, dan D. Jumlahnya ada 4 =

! 1 !. ) 1 4 (

! 4 −

b. Dua huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan: AB = BA, AC = CA, AD = DA, BC = CB, BD = DB, dan CD = DC. Jumlah susunan ada 6 =

! 2 !. ) 2 4 (

! 4 −

c. Tiga huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan: ABC, ABD, BCD, dan ACD. Jumlah susunan ada 4 =

! 3 !. ) 3 4 (

! 4 −

d. Empat huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan hanya 1, yaitu ABCD, 1 =

! 4 !. ) 4 4 (

! 4 −

Dari ilustrasi di atas, maka jika jumlah objek ada n, akan disusun k objek dengan urutan tidak diperhatikan, dan k < n diperoleh jumlah susunan =

! k !. ) k n (

! n

− .

Susunan k objek dengan urutan tidak diperhatikan dari n objek yang tersedia di mana k < n sering dipopulerkan dengan istilah Kombinasi k objek dari n objek yang tersedia. Banyaknya kombinasi k objek dari n objek di tulis n C k, atau dan dapat di

rumuskan:

n k

! k )!. k n (

! n C_k

(46)

14 Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Contoh 17

Tentukanlah nilai kombinasi di bawah ini:

a.4C2 b. 12 C7 c.

2 12 2 7 2 5 C C . C Jawab:

a. 4 C2 =

! 2 )!. 2 4 ( ! 4

− = 1.2.1.2 4 . 3 . 2 . 1

= 6

.

b. 12 C7 =

5 . 4 . 3 . 2 . 1 !. 7 12 . 11 . 10 . 9 . 8 !. 7 ! 7 !. 5 ! 12 ! 7 )!. 7 12 ( ! 12 = =

− = 792.

c. 4 12 2 7 2 5 C C . C = 33 14 495 210 4 . 3 . 2 . 1 12 . 11 . 10 . 9 2 . 1 . 2 . 1 7 . 6 . 5 . 4 4 . 3 . 2 . 1 !. 8 12 . 11 . 10 . 9 !. 8 2 . 1 !. 5 . 2 . 1 !. 3 7 . 6 !. 5 . 5 . 4 . ! 3 ! 4 !. 8 ! 12 ! 2 !. 5 ! 7 . ! 2 !. 3 ! 5 = = = = . Contoh 18

Carilah nilai n dari persamaan (n + 1) C 3 = 4 . n C 2 Jawab:

(n + 1) C 3 = 4 . n C 2

! 2 . ! ) 2 n ( ! n . 4 ! 3 )!. 3 1 n ( ! ) 1 n ( − = − + + 2 ! n . 4 6 ! n . ) 1 n ( + ₌ ! 2 . ! ) 2 n ( ! n . 4 6 )!. 2 n ( ! ) 1 n ( − = − + 2 6 ) 1 n ( = + 2 ! n . 4 6 ! ) 1 n

( + ₌ _{n + 1 = 12 ⇔ n = 11.}

Catatan:

Perbedaan permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan soal-soal verbal:

• Soal verbal diselesaikan dengan permutasi, jika urutan unsur dibalik bernilai berbeda atau unsur dalam soal tersebut memiliki status.

• Soal verbal diselesaikan dengan kombinasi, jika urutan unsur dibalik bernilai sama atau unsur dalam soal tersebut tidak memiliki status.

Contoh 19

a. Dari 12 orang anggota Karang Taruna akan dipilih 3 orang sebagai petugas ronda. Ada berapa susunan petugas ronda yang dapat dibentuk?

b. Dari 35 siswa akan dipilih 3 siswa sebagai ketua kelas, bendahara, dan sekretaris. Ada berapa susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk?

c. Suatu rapat dihadiri oleh 10 orang anggota. Pada kesempatan ini dipilih 3 orang untuk berbicara. Berapa banyak cara untuk memilih ketiga orang tersebut?

d. Pada sebuah tes seorang peserta hanya diwajibkan mengerjakan 6 dari 10 soal yang diberikan. Berapa jenis pilihan soal yang mungkin untuk dikerjakan?

e. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka dapat disusun dari angka 4, 5, 6, 7, dan 8 tanpa pengulangan?

f. Berapa macam susunan pengurus RT yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara dari 8 calon pengurus?

(47)

15 BAB I Peluang

Jawab:

a. Objek tidak punya status atau urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan kombinasi:

12 C3 =

3 . 2 . 1 !. 9 12 . 11 . 10 !. 9 ! 3 !. 9 ! 12 ! 3 )!. 3 12 ( !

12 ₌ ₌

− = 220.

b. Objek memiliki status yaitu sebagai ketua, sekretaris dan bendahara. Penyelesaiannya dengan menggunakan permutasi:

35 P 3 =

! 32 35 . 34 . 33 !. 32 ! 32 ! 35 )! 3 35 ( !

35 ₌ ₌

− = 39.270.

c. Objek tidak punya status atau urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan kombinasi:

10 C3 =

3 . 2 . 1 !. 7 10 . 9 . 8 !. 7 ! 3 !. 7 ! 10 ! 3 )!. 3 10 ( !

10 ₌ ₌

− = 120.

d. Urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan kombinasi:

10C6 =

4 . 3 . 2 . 1 !. 6 10 . 9 . 8 . 7 !. 6 ! 6 !. 4 ! 10 ! 6 )!. 6 10 ( !

10 ₌ ₌

− = 210.

e. Urutan objek dibalik tidak sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan permutasi:

5 P3 =

2 . 1 5 . 4 . 3 . 2 . 1 ! 2 ! 5 )! 3 5 ( ! 5 = =

− = 60.

f. Objek memiliki status, yaitu sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Penyelesaiannya dengan menggunakan permutasi:

P

=

! 5 8 . 7 . 6 !. 5 ! 5 ! 8 )! 3 8 ( ! 8 = =

−

= 336.

Contoh 20

Dari suatu kotak terdapat 20 bola dimana 8 warnanya merah, 7 warnanya putih, dan sisanya berwarna hitam. Jika diambil 4 bola dari kotak tersebut, berapa banyak cara untuk mendapatkan warna:

a. Dua merah dan dua putih? b. Semuanya hitam?

c. Paling sedikit dua merah?

Jawab:

a. Mengambil 2 merah dari 8 merah sebanyak 8C2 cara dan mengambil 2 putih dari 7

putih sebanyak 7C2 cara. Banyaknya cara untuk mendapatkan 2 merah, dan dua

putih adalah : 8C2 x 7C2 = = =

2 7 . 6 x 2 8 . 7 ! 2 !. 5 ! 7 x ! 2 !. 6 ! 8 588. b. Mengambil 4 hitam dari 5 hitam sebanyak 5C4 cara = =

! 1 . ! 4 ! 5 5.

(1)

204 Matematika XII KelompokPenjualan dan Akuntansi

Interview ...46

Jam kerja... 176 Jangkauan ... 77, 85, 88, 91, 92, 96 kuartil ... 77, 85, 88, 91, 92, 96

Kaidah pencacahan...2, 3 Kejadian

bersyarat... 2, 19, 20, 25, 28, 29, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 42 majemuk ... 2, 19, 20, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 42 saling bebas ... 2, 19, 20, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 42 saling lepas ... 2, 19, 20, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 42 Koefisien variasi ...90, 91, 92, 93 Kombinasi ...2, 3, 13, 14, 17 Komplemen...25 Kontinu...45 Kuartil...77, 83, 84, 85, 91, 92, 94 Kuesioner...46

Mean ... 65, 73 Median ... 72, 73, 74, 95, 96 Modus ...70, 71, 74, 96

Nilai

akhir96, 97, 106, 107, 108, 113, 115, 116, 117, 118, 121, 124, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 149, 154, 155, 156, 157, 162, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 178, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188

sisa .96, 97, 106, 107, 108, 113, 115, 116, 117, 118, 121, 124, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 149, 154, 155, 156, 157, 162, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 178, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188

tunai96, 97, 106, 107, 108, 113, 115, 116, 117, 118, 121, 124, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 149, 154, 155, 156, 157, 162, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 178, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188

Obligasi ... 159 Ogive...62

Pascal ...3, 23 Peluang ... 2, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 31, 33, 37, 38, 39, 40, 41

(2)

205 Indeks

Pembagi tetap...109, 110, 112, 121, 124 Penyusutan ...96, 165, 166, 173, 176, 178, 179 Permutasi ... 2, 3, 10, 11, 12, 16, 17 siklik ... 2, 3, 10, 11, 12, 16, 17 Persen ... 98, 99, 100, 120, 184 di atas seratus ... 98, 99, 100, 120, 184 di bawah seratus... 98, 99, 100, 120, 184 sebanding... 98, 99, 100, 120, 184 seukuran ... 98, 99, 100, 120, 184 Persentil ... 77, 87, 88 Populasi ... 42, 48

Rente

kekal ... 96, 126, 127, 128, 130, 132, 134, 135, 137, 139, 142, 186 postnumerando... 96, 126, 127, 128, 130, 132, 134, 135, 137, 139, 142, 186 pranumerando ... 96, 126, 127, 128, 130, 132, 134, 135, 137, 139, 142, 186 Ruang sampel ...19, 20, 32, 34

Saldo menurun... 169 Sampel ... 42, 48 Simpangan

baku ... 68, 69, 77, 78, 79, 81, 82, 85, 89, 91, 93, 97 kuartil ... 68, 69, 77, 78, 79, 81, 82, 85, 89, 91, 93, 97 Statistika...42, 43, 44, 48, 64