Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy Definisi 1 Himpunan Crisp

Definisi 2 Himpunan Fuzzy Misalkan 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ { , , ..., } n j j j j D d d d = adalah himpunan dengan domain crisp dan D j adalah himpunan dengan domain tidak akurat. ˆ i j d adalah nilai data crisp ke-i dari domain ˆ j D dan ˆ j j D D ⊆ . Data tidak akurat, x ∈ D j , menganggap himpunan fuzzy x pada ˆ j D adalah definisi yang sederhana dari ˆ j D ke selang tertutup [0,1] dengan fungsi keanggotaan ˆ : [0 ,1] x j D μ → . Himpunan fuzzy x didefinisikan oleh : { } ˆ ˆ ˆ ˆ , i i i x j j j j x d d d D μ = ∈ 1 dengan ˆ i x j d μ adalah nilai derajat keanggotaan dari ˆ i j d pada x. Intan dan Mukaidono 2004 Himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian sehingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval [0,1]. Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu elemen dalam semesta pembicaraannya tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak di antaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu elemen tidak hanya bernilai benar atau salah, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah. Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu: a. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti : muda, probaya, tua. b. Numeris, yaitu suatu nilai angka yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti : 40, 25, 50, dan lainnya. Kusumadewi 2002 Definisi 3 Fungsi Keanggotaan Fungsi keanggotaan μ dari himpunan fuzzy x adalah pemetaan dari himpunan dengan domain crisp ˆ j D ke selang tertutup [0,1], dinotasikan dengan : { } ˆ ˆ ˆ ˆ , i i i x j j j j x d d d D μ = ∈ 2 Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 4 Sistem Informasi Fuzzy Sistem informasi fuzzy didefinisikan sebagai pasangan I = U, A, dengan U adalah himpunan semesta dari objek dan A adalah himpunan semesta dari atribut sedemikian sehingga : , . j j j a U D a A → ∀ ∈ D j adalah himpunan nilai dari atribut a j dengan data D j adalah data tidak akurat bernilai fuzzy. Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 5 Total Ketidaktahuan Misalkan 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ { , , ..., } n j j j j D d d d = adalah himpunan dengan domain crisp dan D j adalah himpunan dengan domain tidak akurat. ˆ i j d adalah nilai data crisp ke-i dari domain ˆ j D dan ˆ j j D D ⊆ . Total ketidaktahuan atau total ignorance TI atas ˆ j D dengan ˆ ˆ i j j d D ∈ merupakan representasi sederhana yang didefinisikan oleh : { } 1 2 ˆ ˆ ˆ T I 1 ,1 , ...,1 , n j j j d d d = 3 { } 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,..., 0 ,1 , 0 ,..., 0 , i i i i n j j j j j j d d d d d d − + = 4 dengan 1 T I ˆ 1 j d μ = yang diwakili oleh 1 ˆ 1 j d . TI dianggap seperti himpunan fuzzy yang merepresentasikan himpunan semesta dengan diberikan domain crisp. Intan dan Mukaidono 2000a Definisi 6 Relasi Kemiripan Relasi kemiripan adalah pemetaan : x [0,1] j j j s D D → , dengan , , j x y z D ∈ , a Refleksif , 1, j s x x = 5 b Simetris , , , j j s x y s y x = 6 c Max-min transitif { } , max min[ , , , ] . j j j s x z s x y s y z ≥ 7 Zadeh 1970 dalam Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 7 Relasi Kemiripan yang Lemah Relasi kemiripan yang lemah adalah pemetaan : x [0,1] j j j S D D → , dengan , , j x y z D ∈ . a. Refleksif , 1, j S x x = 8 b. Simetris Jika , 0, j S x y maka , 0, j S y x 9 c. Transitif Jika , , 0 j j S x y S y x ≥ dan , , 0 j j S y z S z y ≥ maka , , . j j S x z S z x ≥ 10 Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 8 Kardinalitas Himpunan Fuzzy Misalkan y adalah himpunan dengan domain tidak akuratik D j dan ˆ i j d adalah nilai data crisp ke-i dari domain crisp ˆ j D , maka kardinalitas himpunan fuzzy y didefinisikan sebagai berikut : ˆ . i y j i y d μ = ∑ 11 Klir dan Yuan 1995 Definisi 9 Relasi Peluang Bersyarat Fuzzy FCPR Misalkan µ x dan µ y adalah dua fungsi keanggotaan dengan diberikannya domain ˆ j D untuk dua himpunan fuzzy dan misalkan , j x y D ∈ maka FCPR adalah pemetaan : x [0,1] j j j R D D → yang didefinisikan oleh : { } ˆ ˆ min , , , ˆ i i x j y j i j i y j i d d x y R x y y d μ μ μ ∩ = = ∑ ∑ 12 R j x, y merupakan derajat y yang serupa dengan x. Intan dan Mukaidono 2004 2.2 α -Objek Redundan Definisi 10 α - Objek Redundan Objek i u U ∈ dianggap sebagai α‐objek redundan pada sistem informasi fuzzy IU, A jika terdapat objek j u U ∈ yang mencakup semua karakteristik dari u i sedikitnya dengan derajat dari 1 2 , , ..., m α α α α = yaitu apabila memenuhi : , , , k k j k i k m R a u a u k α ≥ ∀ ∈ ` 13 dengan R k adalah FCPR antara dua elemen data pada domain D k , dan [0,1] k α ∈ . , k j k i k a u a u D ∈ melambangkan pemetaan dari atribut a k ke objek u j dan u i . Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 11 Relasi Identitas Relasi identitas adalah pemetaan : x {0,1} j j j I D D → , untuk , j x y D ∈ , 1, , 0, lainnya. j x y I x y = ⎧ = ⎨ ⎩ 14 Intan dan Mukaidono 2004

2.3 Ketergantungan Atribut Definisi 12 Derajat Ketergantungan Atribut

Misalkan I = U, A adalah sistem informasi fuzzy, dengan 1 { , ..., } n U u u = adalah himpunan semesta dari objek dan A adalah himpunan semesta dari atribut. , C B A ⊆ . , i C B δ didefinisikan sebagai derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u i dengan : min , , . min , j j a C B j j i j u U i a C j j i j u U R a u a u C B R a u a u δ ∈ ∪ ∈ ∈ ∈ = ∑ ∑ 15 Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 13 Ketergantungan Fungsi Fuzzy FFD Ketergantungan fungsi fuzzy atau fuzzy functional dependency FFD C menentukan B C →B pada sistem informasi I U, A yaitu jika memenuhi : , , i i C B B C δ δ ≥ , . n i ∀ ∈ ` 16 Intan dan Mukaidono 2004

2.4 Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi

Definisi 14 Tabel Keputusan Misalkan IU, A adalah sistem informasi dan misalkan , C on Dec A ⊂ dengan Con adalah atribut kondisi dan Dec adalah atribut keputusan. Sistem informasi yang membedakan antara Con dan Dec disebut dengan tabel keputusan dan dilambangkan dengan : , , , , , Con Dec U Con Dec α ℘= 17 dengan , Con Dec α ∈ [0,1] menentukan derajat ketergantungan keputusan Dec dengan diberikan kondisi Con. Pawlak 1991 Definisi 15 Relasi ℜ ℜ adalah relasi RD yang ada pada IU, A, dengan setiap tuple pada relasi ℜ berhubungan ke objek pada himpunan objek U dan himpunan domain D = {D 1 , D 2 ,…, D 3 } berhubungan ke himpunan atribut 1 2 { , ,..., } m A a a a = . Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 16 Proyeksi Relasi ℜ Proyeksi relasi ℜ pada dom Con Dec ∪ domain atribut pada Con Dec ∪ didapatkan dengan mengambil pembatasan dari tuple ℜ ke dom Con Dec ∪ . Proyeksi dari ℜ di atas dom Con Dec ∪ adalah relasi ℜ yang didefinisikan dengan : { | }. Con Dec t dom Con Dec t π ∪ ℜ =ℜ ∪ ∈ℜ 18 Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 17 Fuzzy c-Partition Misalkan 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ { , , ..., } n j j j j D d d d = adalah himpunan dengan domain crisp dan D j adalah himpunan dengan domain tidak akurat. ˆ j j D D ⊆ dan ˆ i j d adalah nilai data crisp ke-i dari domain ˆ j D . Fuzzy c-partition dari ˆ j D adalah keluarga dari anak himpunan fuzzy atau kelas fuzzy dari P, dengan 1 2 { , , ..., } c P p p p = , yang memenuhi : 1 ˆ 1 c k p i j i d μ = = ∑ , n k ∀ ∈ ` , 19 dan 1 ˆ n k p i j k d n μ = ∑ , c i ∀ ∈ ` , 20 dengan c adalah bilangan bulat positif dan ˆ k pi j d μ ∈ [0, 1]. Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 18 Derajat Ketergantungan pada Relasi ℜ Misalkan X = {x 1 , x 2 , …, x n } adalah himpunan fuzzy hasil dari fuzzy partition yang akan menjadi himpunan atribut Con = {a 1 , a 2 , …, a r } dan misalkan Y = {x r+1 , .…, x w } adalah himpunan fuzzy hasil dari fuzzy partition yang akan menjadi himpunan atribut Dec={a r+1 ,…,a w }. Jika ada n tuple di , ℜ maka derajat ketergantungan Y diberikan X pada relasi ℜ diberikan oleh : 1 1 1 1 m in , , . m in , n w j j j j i i n r j j j j i i R x a t Y X R x a t ϕ = = ℜ = = = ∑ ∑ 21 Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 19 Ketergantungan Fungsi Fuzzy pada Relasi ℜ Misalkan himpunan fuzzy X dan Y merepresentasikan domCon dan domDec, maka ketergantungan fungsi fuzzy pada relasi ℜ dilambangkan dengan p X Y → yaitu jika memenuhi : , , . Y X X Y ϕ ϕ ℜ ℜ ≥ 22 Persamaan tersebut adalah bagian dari FFD. Intan dan Mukaidono 2004 Definisi 20 α X,Y , X Y α adalah definisi seperti α –cut yaitu derajat ketergantungan X dalam menentukan Y yang memenuhi persamaan berikut : , , , X Y Y X α ϕ α ℜ = ⇔ 23 , , , , X Y Y X Y X ϕ ϕ ϕ α ℜ ℜ ℜ = ⇔ ≥ 24 dengan α ∈ [0, 1]. Intan dan Mukaidono 2004 2.5 Pendekatan Data Query Definisi 21 Peluang Query untuk Input Bergantung Misalkan {A 1 , A 2 , …, A n } adalah himpunan input domain, B adalah himpunan output domain dari data query, D adalah himpunan semesta dari domain A 1 , A 2 , …, A n , B ∈ D, dan ℜ adalah relasi pada RD. Peluang query untuk b diberikan input yang bergantung 1 , ..., n a a dilambangkan dengan 1 ˆ | ,..., [0,1] n Q b a a α ℜ ∈ , dengan [0,1] α ∈ dan 1 , ,..., n b a a adalah himpunan fuzzy pada 1 , , ..., . n B A A t melambangkan tuple pada relasi ℜ , dan , R − − adalah FCPR. Jika ada m tuple, maka untuk 1 , ..., , r r r n r t a a b ∈ ℜ : min , ,..., , , , 1 1 1 1 , min , ,..., , 1 1 1 1 m R a a R a a R b b A r A n rn B r r n m R a a R a a A r A n rn r n σ ⎛ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 25 Untuk σ α , maka 1 ˆ | , ..., 0 , n Q b a a α ℜ = 26 Untuk σ α ≥ , maka 1 ˆ | , ..., . n Q b a a α σ ℜ = 27 Intan dan Mukaidono 2004