69
Grafik 4.2Hubungan Beban-Lendutan Pada Balok Beton Bertulangan Berlapis
4.3 Perhitungan Lendutan Balok Secara Teori
4.3.1 Lendutan Balok Beton Bertulang Normal Teori
Balok beton bertulang normal memiliki f’c = 14,325 MPa. Sebagai contoh perhitungan, diambil P = 1333 kg untuk kondisi sebelum retak, dan
P = 2666 kg untuk kondisi setelah retak, untuk beban yang lainnya dapat melihat
pada Tabel 4.7 Lendutan Secara Teoritis Balok Beton Bertulang Normal.
1. Sebelum Retak
Apabila momen lentur Mn lebih kecil daripada momen retak �
��
, maka balok dapat diasumsikan tidak retak. Momen inersia yang digunakan dapat diasumsikan
sebesar momen inersia untuk penampang kotor �
�
.
138 357
760 1120
1375
156 413
947 1315
1590
145 382
896 1185
1415
1000 2000
3000 4000
5000 6000
7000
500 1000
1500 2000
B e
b a
n P
K g
Lendutan x 0,01 mm
Hubungan Beban dan Lendutan Balok Beton Bertulang setelah di perbaiki
Y1Kiri Y2 Tengah
Y3 Kanan
70
a. Lendutan akibat beban terpusat
L = 3 m Lendutan akibat beban terpusat dapat dihitung dengan rumus berikut:
∆�₁ = 0.5
�� 24
�
�
�
�
3 �
2
− 4�
2
dimana: P
= beban terpusat, dimana analisa lendutan terjadi pada 0.5 P = 0.5 . 1333 kg = 666.5 kg = 6665 N
� = 1 m = 1000 mm
�
�
= modulus elastisitas beton �
�
= momen inersia penampang balok mm
4
�
�
= 4700 ��
′
� = 4700�14,325 = 17788,74 ��� �
�
=
1 12
�ℎ³ =
1 12
150250
3
= 195 312 500 ��⁴
Maka besar lendutan: ∆�₁ =
0.5 ��
24 �
�
�
�
3 �
2
− 4�
2
∆�₁ =
6665 1000 2417788 ,74195312500
33000
2
− 41000
2
∆�₁ = 1.838 ��
L
0.5 P 0.5 P
13L 13L
13L
A B
x
Gambar 4.2Pembebanan Terpusat
71
b. Lendutan akibat berat sendiri
L = 3 m Lendutan akibat beban terpusat dapat dihitung dengan rumus berikut:
∆�₂ = 5
��
4
384 ��
Dimana: q
= Berat sendiri balok = 0.15 x 0.25 x 24 = 0.9 KNm l
= bentang balok = 3 m = 3000 mm �
�
= modulus elastisitas beton �
�
= momen inersia penampang balok mm
4
∆�₂ =
50.93000 ⁴
38417788 ,74195 312 500
∆�₂ = 0.273 ��
L 13 L
13 L 13 L
A B
q
Gambar 4.3Pembebanan Akibat Berat Sendiri
72
Total lendutan yang terjadi pada balok tanpa serat sebelum retak adalah: ∆� = ∆�₁ + ∆�₂
∆� = 1.838 + 0.273 ∆� = �. ��� ��
2. Sesudah Retak
Apabila momen lentur Mn lebih besar dari momen retak �
��
, retak tarik pada balok akan menyebabkan berkurangnya penampang melintang balok dan momen
inersia yang digunakan diasumsikan adalah momen inersia transformasi �
��
. Tetapi perlu diingat pada tempat dimana retak-retak tersebut nilai momen inersia
lebih mendekati �
�
. Oleh karena itu, sulit sekali menentukan nilai momen inersia yang akan digunakan untuk menganalisa pasca retak.
Berdasarkan hasil pengujian, retak awal terjadi pada pembebanan 2666 kg. Maka lendutan saat sesudah retak dapat dihitung secara teori pada saat pembebanan 2666
kg sampai 5998.5 kg.
Pada SK SNI 03-2847-2002 pasal 11.5 ayat 2.3 ditetapkan lendutan seketika akibat pembebanan harus dihitung dengan menggunakan nilai modulus elastisitas beton
Ec dan momen inersia efektif
�
�
berdasarkan persamaan berikut ini : �
�
= �
�
��
�
�
�
3
��
�
� + �1 − � �
��
�
�
�
3
� �
��
Dimana: �
�
= Momen inersia efektif �
�
= Momen beban layan maksimum yang terjadi pada kondisi yang Diharapkan
73
�
�
= Momen inersia penampang �
��
= Momen inersia transformasi pada penampang retak �
��
= Momen retak
Momen retak yang dapat dihitung dengan persamaan berikut : �
��
= f
r
I
g
y
t
Dimana: f
r
= Modulus retak beton y
t
= jarak dari garis netral penampang utuh ke serat tepi tertarik mengabaikan tulangan baja
y
t
= 1
2 ℎ
Untuk beton normal digunakan: f
r
= 0.7 √f′c dan Ec = 4700√f′c
o Menentukan momen retak
�
��
: �
��
= f
r
I
g
y
t
=
{0.7 �14.325}� {
1 12
150250
3
}
1 2
250
= 4 139 666.752 Nmm o
Menentukan Momen beban layan maksimum yang terjadi pada kondisi yang diharapkan
�
�
: Analisa lendutan yang terjadi setelah retak terjadi pada beban:
P = 2666 kg = 26660 N Ma = 0.5P
1 3
� +
1 8
��
2
74
= 0.5 x 26660 N
1 3
3000 mm + {
1 8
x 0.9 Nmm x 3000 mm
2
} = 14 342 500 Nmm
o Menentukan letak garis netral y
1 2
��
2
+ ��
� ′
� − ��
� ′
�
′
− ��
�
� + ��
�
� = 0
dengan, � =
�
�
�
�
,
dimana : �
�
= Modulus elastisitas baja = 200 000 MPa �
�
= Modulus elastisitas beton = 17 788.74
��� Maka,
� =
200 000 ���
17 788.74 ���
= 11,867 ≈ 12
d actual = ℎ − �
�������������� 2
+ ��������� + ��
d actual = 250
�� − �
12 ��
2
+ 6 �� + 35 ���
d actual = 203
��
d’ actual =
�������������� 2
+ ��������� + �
d’ actual =
12 ��
2
+ 6 �� + 35 ��
d’ actual = 47
��
maka:
1 2
��
2
+ ��
� ′
� − ��
� ′
�
′
− ��
�
� + ��
�
� = 0
1 2
150 �
2
+ 12 226.2 � − 12 226.247 − 12 226.2203 + 12 226.2 �
= 0
75
75 �
2
+ 2714.4 � − 127576.8 − 459 186 + 2714.4 �
= 0
75 �
2
+ 5428.8 � − 678 600
= 0 y
1
= -137.965 mm dan y
2
= 65.581 mm diambil y = 65.581 mm
o Menentukan momen inersia penampang retak transformasi
�
��
�
��
=
1 12
��³ + ���� − �
2
+ ���
′
� − �
′
² =
1 12
15065.581³ + 12226.2203 − 65.581
2
+ 12226.265.581 − 47²
= 66 298 595.59 mm ⁴
o Menentukan momen inersia efektif
�
�
4 3
3 3
3
mm 97
, 69400711
59 ,
66298595 14342500
2 4139666,75
1 195312500
14342500 2
4139666,75 1
=
−
+
=
− +
=
cr a
cr g
a cr
e
I M
M I
M M
I
a. Lendutan akibat beban terpusat setelah retak
L
0.5 P 0.5 P
13L 13L
13L
A B
x
Gambar 4.4Pembebanan Terpusat
76
∆�₁ = 0.5
�� 24
�
�
�
�
3 �
2
− 4�
2
∆�₁ =
0.5 26660 1000 2417 788.7469 400 711.97
33000
2
− 41000
2
∆�₁ = 10.347 ��
b. Lendutan akibat berat sendiri setelah retak
∆�₂ = 5
��
4
384 �
�
�
�
∆�₂ =
50.93000
4
38417 788.7469 400 711.97
∆�₂ = 0.768 mm
L 13 L
13 L 13 L
A B
q
Gambar 4.5 Pembebanan Akibat Berat Sendiri
77
Total lendutan yang terjadi pada balok tanpa serat setelah retak adalah: ∆� = ∆�₁ + ∆�₂
∆� = 10.347 �� + 0.768 �� ∆� = ��. ��� ��
Jadi lendutan pada balok persegi secara teoritis dapat ditentukan dengan cara perhitungan diatas. Maka pada tabel di bawah ini disajikan besarnya lendutan
secara teoritis pada benda uji balok beton bertulang normal sebagai berikut :
Tabel 4.5 Lendutan Secara Teoritis Balok Beton Bertulang Normal. Beban,
P Kg
Ma KNm
Mcr KNm
Icr x10
6
mm
4
Ie x10
6
mm
4
Lendutan Teoritis
mm
- 1333
- -
- -
2.111 2666
14.342 4.139
66.298 69.401
11.115 3999
21.007 4.139
66.298 67.285
16.802 5332
27.672 4.139
66.298 66.731
22.322 5998.5
31.002 4.139
66.298 66.605
25.059
Cat: Retak awal terjadi saat pembebanan 2666 kg
78
Tabel 4.6Data Hasil Lendutan Pengujian dan Lendutan Teoritis Balok Beton Bertulang Normal. Pembacaan
Dial kgcm
2
Beban Kg
Lendutan X 10
-2
Hasil Pengujian Teoritis
10 1333
177 211
20 2666
636 1112
30 3999
944 1680
40 5332
1390 2232
45 5998,5
1786 2505
Grafik 4.3Hubungan Beban-Lendutan Berdasarkan Hasil Pengujian dan Teoritis Pada Balok
Normal
211 1112
1680 2232
2505
177 636
944 1390
1786
1000 2000
3000 4000
5000 6000
7000
500 1000
1500 2000
2500 3000
B e
b a
n P
K g
Lendutan x 0,01 mm
Hubungan Beban dan Lendutan Hasil Pengujian dan Teoritis Balok Beton Bertulang Normal
Teoritis Pengujian
79
3.2 Lendutan Balok Beton Bertulang setelah diperbaiki Teori