Definisi Transient Dan Steady State Validasi

2. Non preemptive rule NPRP Seorang pelanggan setelah mendapat pelayanan akan meninggalkan fasilitas hanya setelah pelayanannya lengkap, tanpa menghiraukan prioritas para pelanggan yang baru tiba.

2.8. Definisi Transient Dan Steady State

Analisa sistem antrian meliputi studi perilaku sepanjang waktu. Jika suatu antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem akan sangat dipengaruhi oleh state keadaan awal dan waktu yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam keadaan transient. Tetapi bila berlangsung terus–menerus keadaan sistem ini akan independent terhadap state awal tersebut dan juga terhadap waktu yang dilaluinya. Keadaan sistem seperti ini akan dikatakan dalam kondisi steady state. Teori antrian cenderung memusatkan pada kondisi steady state, sebab kondisi transient lebih suka dianalisa. Tjutju T. Dimyati, 1987, hal. 354. Notasi – notasi dibawah ini digunakan untuk sistem dalam kondisi state : Ls = Rata – rata jumlah pelanggan dalam sistem Lq = Rata – rata jumlah pelanggan dalam antrian Ws = Rata – rata waktu tunggu dalam sistem termasuk waktu pelayanan bagi setiap pelanggan n = Jumlah pelanggan atau customer dalam sistem Pn = Probabilitas bahwa ada pelanggan pada sistem antrian Po = Probabilitas bahwa tidak ada pelanggan pada sistem antrian S = Jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem antrian jumlah pelayan atau kasir λ = Rata – rata tingkat kedatangan jumlah pelanggan yang datang per satuan waktu µ = Rata – rata tingkat pelayanan jumlah pelanggan yang dilayani per satuan waktu 1 λ = Waktu antar kedatangan rata –rata satuan waktu per jumlah pelanggan 1µ = Waktu pelayanan rata – rata satuan waktu per jumlah pelanggan ρ = Faktor penggunaan utilitas untuk fasilitas pelayanan X = Tingkat persentasi waktu fasilitas pelayanan menganggur 2.9. Model – Model Antrian 2.9.1. Model Antrian M M I : GD ~ ~ Arti dari notasi ini menunjukkan karakteristik dasar yang terkandung dalam model antrian, yaitu : M M = Kedatangan dan pelayanan mengikuti proses poisson I = Jumlah jalur atau jalur pelayanan GD = Disiplin pelayanan secara umum ~ = Jumlah maksimal langganan yang diijinkan dalam sistem ~ = Sumber kedatangan Dari solusi steady state diperoleh Taha, 1976, hal. 197 Po = 1 1 1        Po = 1 – λ µ Untuk n 0 Pn = Po λ µ n Jumlah pelanggan rata – rata dalam sistem : Ls =         1 Jumlah pelanggan rata – rata dalam antrian : Lq =    1 2 Waktu menunggu rata – rata dalam sistem : Ws = 1 1 1          Ls Waktu menunggu rata – rata dalam antrian : Wq = 1 1 1          Lq Keterangan : Po = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem Pn = Probabilitas jumlah n pelanggan dalam sistem λ = Tingkat kedatangan rata – rata µ = Tingkat pelayanan rata – rata ρ = Tingkat kegunaan fasilitas rata – rata Ls = Jumlah pelanggan rata – rata dalam sistem Lq = Jumlah pelanggan rata – rata dalam antrian Ws = Waktu menunggu rata – rata dalam sistem Wq = Waktu menunggu rata – rata dalam antrian

2.9.2. Model Antrian M M c : GD ~ ~

Karakteristik dari model ini adalah pelayanan atau saluran ganda, masukan poisson, waktu pelayanan eksponensial dan antrian tak terhingga. Rumus yang digunakan sebagai berikut Taha, 1976, hal. 200 Po =                                  c c n c c n n       1 1 1   c a jika Po,   n n   Pn =   c n jika Po,  c n n c c   Jumlah pelanggan rata – rata dalam antrian Lq =      Po 1 2             c c c Jumlah pelanggan rata –rata dalam sistem Ls = Lq +   Waktu menunggu rata – rata dalam antrian Wq =  Lq Waktu menunggu rata – rata dalam sistem Ws = Wq +  1 Keterangan : Po = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem Pn = Probabilitas jumlah n pelanggan dalam sistem Ls = Jumlah pelanggan rata – rata dalam sistem Lq = Jumlah pelanggan rata – rata dalam antrian Ws = Waktu menunggu rata – rata dalam sistem Wq = Waktu menunggu rata – rata dalam antrian c = Jumlah fasilitas pelayanan

2.9.3. Model Antrian M M c : GD N ~

Model ini memperlihatkan situasi dimana terdapat ruang tunggu buat langganan terbatas jumlahnya dengan jumlah layanan lebih dari satu P. Siagian, 1987, hal. 430 – 431 Misalnya : c = Jumlah pelayanan N = Jumlah maksimum langganan yang muat dalam ruangan Rumus – rumus yang digunakan : Po =                           N n C n n c N n c n 1 c c 1 1 1     Untuk n ≤ c maka : Pn =   Po n   1 Untuk n N maka Pn = 0, sedangkan untuk c n ≤ N : Pn =   Po c c 1 c - n n  Jumlah rata – rata pelanggan dalam antrian : Lq =                                              c c c c c N c N c       1 c - N 1 c - 1 c Po 2 Jumlah rata – rata pelanggan dalam sistem : Ls = Lq + c -       1 Pn n c n c Waktu menunggu rata – rata dalam antrian : Wq =             1 eff eff Pn n dan Lq c n c c    Waktu menunggu rata – rata dalam sistem Ws = eff Ls  Keterangan : Po = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem Pn = Probabilitas jumlah n pelanggan dalam sistem λ = Tingkat kedatangan rata – rata µ = Tingkat pelayanan rata – rata ρ = Tingkat kegunaan fasilitas rata – rata Ls = Jumlah pelanggan rata – rata dalam sistem Lq = Jumlah pelanggan rata – rata dalam antrian Ws = Waktu menunggu rata – rata dalam sistem Wq = Waktu menunggu rata – rata dalam antrian

2.9.4. Model Antrian M M c : NPRP ~ ~

Arti dari notasi ini menunjukkan karakteristik dasar yang terkandung dalam model antrian, yaitu : M M = Kedatangan dan pelayanan mengikuti proses poisson c = Jumlah jalur atau jalur pelayanan NPRP = Non preemptive rule ~ = Jumlah maksimal langganan yang diijinkan dalam sistem ~ = Sumber kedatangan Model diatas adalah model disiplin prioritas, yaitu model antrian yang disiplin pelayanannya didasarkan atas sistem prioritas. Dalam kenyataan sehari – hari, banyak sekali situasi yang memenuhi model, misalnya pekerjaan yang singkat akan dikerjakan lebih dahulu dibandingkan pekerjaan yang lama, langganan–langganan lebih diutamakan daripada lainnya dan sebagainya. Model ini mengasumsikan bahwa ada n sekelas prioritas kelas I mempunyai prioritas tertinggi dari kelas ke – n prioritas terendah dan anggota – anggota di kelas prioritas tertinggi yang ada dalam antrian akan dipilih berdasarkan FCFS. Dalam hal ini untuk masing-masing kelas prioritas diasumsikan mengikuti prioritas proses Poisson dan waktu pelayanan Eksponensial. Dengan menggunakan asumsi ini maka ekspektasi menunggu dalam keadaan steady state termasuk waktu pelayanan untuk seorang anggota dari kelas prioritas ke – k adalah Dimyati, 1987, hal. 380 – 382 : W k = .N 1,2,3,.... k untuk , 1 .B A.B 1 k k    Di mana : A =          k j j k S j P P - S S    B = 1 B k = ..N 1,2,3,.... k untuk , S 1 k 1 i 1       Dan : S = Jumlah pelayanan µ = Tingkat pelayanan rata – rata per pelayanan yang sibuk λ = Tingkat kedatangan rata – rata untuk prioritas ke – 1 untuk 1 = 1,2,3,.....N dan ρ = λ µ    N i 1 1   W k = Rata – rata waktu tunggu dalam sistem untuk tiap – tiap kelas prioritas W q = Rata – rata waktu tunggu dalam antrian tidak termasuk waktu pelayanan bagi setiap pelanggan di tiap – tiap kelas prioritas. L k = Rata – rata jumlah pelanggan dalam sistem di tiap – tiap kelas prioritas. L q = Rata – rata jumlah pelanggan dalam antrian di tiap – tiap kelas prioritas. Dalam kondisi steady state, jumlah anggota dari kelas prioritas ke – k dalam sistem antrian termasuk yang sedang dilayani adalah : L k = λ k . W k Untuk menentukan waktu menunggu diluar pelayanan untuk kelas prioritas ke – k maka : W q = W k – 1 µ Sehingga panjang antrian diperoleh dengan cara : L q = W q . λ k Jika S = 1 maka didapat : W k = k 1 - k B . B 1 

2.10. Pendugaan Pola Distribusi Data

2.10.1. Pendugaan Pola Distribusi Data Diskrit

Untuk menduga distribusi data diskrit, maka dicari Lexis Ratio Lr dengan rumus Law dkk, 1991, hal. 282 – 289 : Lr n = n 2 X S Jika Lr n mendekati atau sama dengan 1, maka diduga data berdistribusi Poisson, sedangkan jika Lr n 1, maka data diduga berdistribusi Binomial, dan bila Lr n 1, maka data diduga berdistribusi Binomial Negatif.

2.10.2. Pendugaan Pola Distribusi Data Kontinyu

Untuk menduga distribusi data kontinyu, maka mula – mula dicari koefisien variansinya cv dengan menggunakan rumus Law dkk, 1991, hal. 282–289 sebagai berikut berikut : cv n =     n X n S 2 dimana S 2 n =   n X X dan , 1 - n X X n 1 i 1 n 1 i 2 n 1       n S 2 n dan X n adalah varian dan mean dari data yang terkumpul. Untuk beberapa variabel random kontinyu, jika :  cv n mendekati 1 atau cv 1, maka distribusi data tersebut adalah eksponensial.  cv n 1 dan α 1, maka data dianggap berdistribusi weibull atau gamma  cv n = 1 dan α = 1 atau α 1, maka data juga dianggap berdistribusi weibull atau gamma.

2.11. Uji Kecocokan Distribusi Data

2.11.1. Uji Kecocokan Distribusi Poisson

Distribusi Poisson dengan parameter rata – rata X mempunyai : P x = ....n 0,1,2,3,.. dengan x , x . e   dan e = 2,71828, λ 0 Sudjana, 1992, hal. 289

2.11.2. Uji Chi – Square

Uji didasarkan pada kesesuaian antara frekuensi terjadinya pengamatan dalam sample yang diamati dengan frekuensi harapan yang diperoleh dari distribusi yang dihipotesiskan : Uji ini mempunyai formulasi : X 2 =      k 1 i 1 2 1 1 E E O Dengan x 2 merupakan nilai perubahan acak x 2 yang berdistribusi sampelnya sangat dekat dengan distribusi Chi – Square dan O 1 dan E 1 masing – masing menyatakan frekuensi amatan dan frekuensi harapan dalam sel ke – i Bila frekuensi amatan dekat dengan frekuensi harapan padanannya maka nilai x 2 akan kecil, yang berarti menunjukkan kesesuaian yang baik. Bila frekuensi amatan berbeda dengan frekuensi harapan, maka nilai x 2 akan besar dan kesesuaian jelek tidak mencerminkan penyimpangan yang wajar mengenai hasil pengamatan yang teoritik. Untuk mengatasinya dilakukan penggabungan antara kategori yang mempunyai E 1 kecil dengan kategori yang berdekatan sehingga hasil gabungan dianggap cukup besar. Kesesuaian yang baik mendukung penerimaan H , sedangkan kesesuaian yang jelek mendukung penolakannya. Daerah kritis akan terjadi pada ujung kanan distribusi chi – square. Untuk tingkat kepercayaan 95 , digunakan nilai kritis X 2 0,95 sehingga X 2 X 2 0,95 menyatakan daerah kritis. Untuk melakukan uji ini akan dibandingkan dengan dengan frekuensi hasil yang sebenarnya diamati dengan frekuensi yang diharapkan berdasarkan bentuk uji yang dimisalkan dengan menggunakan rumus diatas. Untuk menguji kecocokan distribusi Poisson, Distribusi Chi – Square yang digunakan akan mempunyai dk = k – 1 . Sudjana, 2002, hal. 273.

2.12. Konsep Dasar Simulasi

Pengertian umum tentang simulasi adalah suatu metodologi untuk melaksanakan suatu percobaan dengan menggunakan model dari suatu sistem nyata. Sedangkan ide dasarnya adalah menggunakan beberapa perangkat untuk meniru sistem nyata guna mempelajari serta memahami sifat-sifat, tingkah laku perangai dari sistem nyata untuk maksud perancangan sistem atau perubahan tingkah laku perangai sistem. Telah lama metode simulasi digunakan dalam membantu memecahkan persoalan-persoalan dalam berbagai bidang kehidupan. Pada ilmu murni, simulasi sering digunakan dalam mengestimasikan luas area suatu kurva, studi perpindahan partikel, invers matriks dan lain sebagainya. Simulasi adalah proses merancang model dari suatu sistem yang sebenarnya, mengadakan percobaan – percobaan terhadap model tersebut dan mengevaluasi hasil percobaan tersebut. Jadi simulasi merupakan metode penelitian yang eksperimental. Beberapa tujuan simulasi adalah : a. Untuk memahami perilaku sistem nyata b. Untuk memprediksi sistem yang akan datang Dalam sistem, simulasi dapat diklasifikasikan sebagai berikut : SISTEM Eksperimen Dengan sistem Sebenarnya Eksperimen dengan menggunakan model sistem Model Fisik Model Matematik Analitik Simulasi Gambar 2.5. Klasifikasi model simulasi Simulation Modeling and Analysis, Law, Averill M dan Kelton, 1991, hal. 4 Dalam model matematik digunakan notasi, simbol – simbol dan persamaan matematik untuk menggambarkan sistem. Model fisik didasarkan pada analogi antara sistem – sistem, seperti sistem mekanis dan elektris. Penggunaan metode analitik berarti suatu cara penalaran yang deduktif dari teori matematik untuk menyelesaikan suatu model sehingga akan didapatkan model yang sesuai dengan sistem yang dianalisa. Model simulasi biasanya dijalankan atau dicoba-coba untuk memperoleh informasi yang diinginkan. Berdasarkan hasil tersebut, penganalisaan dapat mempelajari kelakuan sistem. Maka simulasi bukanlah suatu teori melainkan suatu metodologi untuk memecahkan masalah. Telah didefinisikan bahwa simulasi adalah proses mengadakan eksperimen terhadap model dari suatu sistem yang ada. Masalahnya seringkali timbul kesulitan jika informasi – informasi yang dibutuhkan tidak tersedia. Eksperimen langsung terhadap suatu sistem yang ada mengiliminasi kesulitan – kesulitan dalam usaha memperoleh kecocokan antara model dengan kondisi sebenarnya. Tetapi kerugian dari eksperimen langsung terhadap sistem cukup banyak, antara lain : 1. Dapat mengganggu jalannya operasi 2. Objek yang diamati cenderung bertingkah laku lain dari biasanya 3. Sangat sulit membuat kondisi yang sama untuk percobaan yang berulang 4. Untuk memperoleh sampel yang sama perlu waktu dan biaya 5. Pada kenyataan sulit mengganti banyak alternatif.

2.12.1. Langkah – Langkah Dalam Proses Simulasi

Semua simulasi yang baik memerlukan perencanaan dan organisasi yang baik. Pada umumnya terdapat 5 langkah pokok yang diperlukan dalam menggunakan simulasi P. Siagian, 1987 , hal. 449 – 450, yaitu : 1. Tentukan sistem atau persoalan yang hendak disimulasi . Ini mencakup penentuan : - lingkungan - tujuan - karakteristik 2. Kembangkan model simulasi yang hendak digunakan. 3. Ujilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku dari sistem nyata, kemudian berlakukanlah model simulasi ini. 4. Rancang percobaan – percobaan simulasi. 5. Jalankan simulasi dan analisis data.

2.12.2. Model – Model Simulasi

Model – model simulasi dapat dikelompokkan ke dalam beberapa penggolongan, antara lain Pangestu dkk, 2000, hal. 294 – 299 : 1. Model Simulasi Stokhastik Model ini kadang – kadang juga disebut sebagai model simulasi Monte Carlo. Istilah Monte Carlo dalam simulasi mulai diperkenalkan oleh Compte de Buffon pada tahun 1977 dan pemakaiannya pada sistem nyata dimulai selama perang dunia II, dipakai untuk merancang pelindung nuklir yang ditembus oleh neutron pada berbagai material. Masalah ini sulit dipecahkan dengan analitik dan rumus pula untuk eksperimen langsung, sehingga dipakailah bilangan random untuk memecahkannya. Teknik ini dinamakan Monte Carlo karena dasarnya sama seperti permainan judi. Sedangkan Monte carlo adalah kota judi terbesar di dunia. Di dalam proses stokhastik sifat – sifat keluaran output dari proses ditentukan berdasarkan dan merupakan hasil dari konsep random acak 1. Model Simulasi Deterministik Pada model ini tidak diperhatikan unsur random, sehingga pemecahan masalahnya menjadi lebih sederhana. Contoh aplikasi dari model ini adalah dalam dispatching, line balancing, sequence dan plant layaout. 3. Model Simulasi Dinamik dan Statik Model simulasi yang dinamik adalah model yang memperhatikan perubahan – perubahan nilai dari variabel – variabel yang ada kalau terjadi pada waktu yang berbeda. Tetapi model statik tidak memperhatikan perubahan. Perubahan ini, contoh dari model simulasi yang statik adalah line balancing dan plant layout. Dalam perencanaan layout tentu saja diperlukan syarat – syarat keadaan – keadaan lain bersifat statik sedang contoh dari model dinamik adalah inventory sistem, job shop model dan sebagainya. 4. Model Simulasi Heuristik Model yang heuristik adalah model yang dilakukan dengan cara coba – coba, kalau dilandasi suatu teori masih bersifat ringan, langkah perubahannya dilakukan berulang – ulang dan pemilihan langkahnya bebas, sampai diperoleh hasil yang lebih baik, tetapi belum tentu optimal. Model stokhastik adalah kebalikan dari model deterministik, dan model statik kebalikan dari model dinamik.

2.12.3. Motivasi Menggunakan Simulasi

Meskipun model analitik sangat kuat dan berguna, tetapi masih terdapat beberapa keterbatasan P. Siagian, 1987, hal. 448 – 449, antara lain : 1. Model analitik tidak mampu menelusuri perangai suatu sistem pada masa lalu dan masa mendatang melalui pembagian waktu. 2. Model matematis yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem nyata yang lebih besar dan rumit kompleks. 3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal – hal yang tidak pasti dan aspek dinamis faktor waktu dari persoalan manajemen. Berdasarkan hal tersebut diatas, maka konsep simulasi dan penggunaan model simulasi merupakan jawaban dan ketidakmampuan dari model analitik. Beberapa alasan yang dapat menunjang kesimpulan diatas : 1. Simulasi dapat memberikan jawaban kalau model analitik gagal melakukannya, misalnya pada model antrian yang rumit. 2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan asumsi yang lebih sedikit, misalnya tenggang waktu dalam model persediaan tidak perlu harus deterministik. 3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk menjawab pertanyaan , ” Bagaimana jika...... ” 4. Dalam banyak hal simulasi jauh lebih murah daripada percobaan langsung. 5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan. 6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus. Pemecahan masalah dengan model simulasi biasanya dilakukan dengan memakai komputer, sebab banyak hal – hal atau perhitungan – perhitungan yang terlalu rumit bila dihitung secara manual. Selain itu dengan menggunakan komputer waktu perhitungan sangat cepat dan cocok untuk percobaan trial and error yang memerlukan percobaan berulang – ulang. Namun untuk masalah yang sederhana bisa juga tanpa komputer.

2.12.4. Beberapa Tipe Simulasi Sistem

State dari sistem didefinisikan sebagai sekumpulan variabel – variabel yang diperlukan untuk menggambarkan kondisi suatu sistem pada suatu waktu tertentu. Berdasarkan statenya, sistem dibagi menjadi dua yaitu : 1. Simulasi Sistem Kontinyu Sistem kontinyu merupakan sistem yang variabel – variabel statenya berubah terhadap waktu secara kontinyu. 2. Simulasi Sistem Diskret Sistem diskret adalah sistem yang variabel – variabel statenya berubah hanya pada waktu – waktu tertentu saja. Simulasi sistem diskret dilakukan pada sistem – sistem diskret. Model yang dipakai pada simulasi sistem diskret memiliki sejumlah nilai untuk merepresentasikan beberapa aspek dari sistem disebut state descriptor.

2.12.5. Diagram Lingkaran Aktivitas

Entity adalah komponen – komponen dari sistem nyata yang disimulasikan dan dapat diproses dan diidentifikasikan secara individual. Diidentifikasikan dalam hal ini berarti komponen – komponen tersebut digolongkan sehingga jelas bedanya. Namun dalam proses simulasi, keseluruhan elemen – elemen ini diproses dalam satu paket. Dalam simulasi sistem diskret, beberapa entity akan saling berinteraksi selama waktu simulasi. Sebelum membangun model yang sesuai dengan simulasi sistem diskret perlu dilakukan : 1. Identifikasi kelas entity yang penting. 2. Menjabarkan aktivitas yang dilakukan oleh tiap entity. 3. Menggabungkan aktivitas yang ada. Diagram lingkaran aktivitas Aktivity Cycle Diagram merupakan suatu cara untuk memodelkan bagaimana entity bereaksi didalam sistem nyatadan khususnya digunakan untuk sistem dengan struktur antrian yang cukup kuat. Beberapa symbol untuk menggambarkan sistem nyata yaitu : GENERATE IDLE ACTIVITY TERMINATE Simbol generate digunakan untuk kedatangan entity aktif ke dalam sistem nyata dimana kedatangan entity ini biasanya akan mengikuti distribusi tertentu. Simbol idle digunakan bila tidak ada interaksi antara entity yang berbeda dimana umumnya pada keadaan ini entity akan menunggu untuk sesuatu yang akan terjadi. Lama waktu yang digunakan pada keadaan ini tidak dapat ditentukan tetapi tergantung dari aktivitas yang sebelum dan sesudahnya. Simbol activity aktivitas digunakan bila ada interaksi antara entity yang berbeda. Dalam sistem antrian pelayanan termasuk dalam katagori aktivitas karena terdapat interaksi antara pelayan dan pelanggan. Simbol terminate digunakan bila entity aktif sudah selesai dilayani dalam sistem nyata dan akan keluar dari sistem tersebut.

2.12.6. Perbedaan Utama antara Simulasi dan Model Antrian

Perbedaan utama antara simulasi dan model antrian adalah : 1. Model antrian umumnya menganggap bahwa sistem beroperasi pada keadaan “steady state” yang berarti bahwa tidak ada keadaan sibuk pada saat berada dipuncak dan lembah. Model antrian dapat menghitung rata-rata panjang antrian, rata-rata waktu pelayanan dan sebagainya tetapi hanya untuk keadaan steady state. 2. Model antrian, pada keadaan terpaksa didasari atas sejumlah asumsi tentang kedatangan, pola pelayanan dan sebagainya. Batasan ini digunakan untuk menjaga keadaan tidak berubah ke keadaan yang lebih kompleks. Simulasi memungkinkan lebih banyak kemungkinan untuk lebih fleksibel mudah disesuaikan didalam menentukan asumsi-asumsi. 3. Simulasi dapat digunakan untuk aplikasi lain dari analisa waithing line atau antrian.

2.13. Bilangan Acak Random

Secara umum bilangan acak dapat diartikan sebagai bilangan yang ditemukan berupa sampel acak dari fungsi kepadatan peluang selaras seperti terlihat pada gambar berikut : f x = 1 x 0, 1 x 1, x 0,     1 F x Gambar 2.6. Fungsi Kepadatan Peluang Untuk Distribusi Selaras Penelitian Operasional – Teori dan Praktek, P. Siagian, 1987, hal. 460 – 461 Tiap bilangan acak yang bersesuaian dengan harga x akan terletak antara 0 dan 1, biasanya, kita tidak memperhatikan hanya satu bilangan acak tetapi memperhatikan bilangan acak. Karena tiap bilangan dalam urutan ini didapat berupa sample acak, maka bilangan acak yang dihasilkan adalah bebas secara statistik. Lebih besar, bila kita mengambil suatu urutan bilangan acak yang sangat besar, maka fungsi kepadatan peluang ini akan menghampiri aslinya. Bilangan baru yang kita tetapkan akan terpencar secara selaras sepanjang sama ialah bilangan acak antara 0 dan 1 digandakan dengan 100, maka ia terpencar secara selaras sepanjang antara 0 dan 100. Dan kalau tiap bilangan pecah dibulatkan kebawah, maka hasilnya ialah bilangan cacak antara 0 dan 99, semuanya dengan peluang sama. Urutan bilangan acak dapat dikembangkan dengan menggunakan cara manual seperti kotak dadu, roulette dan sebagainya dan dengan menggunakan komputer. Proses pembentukan bilangan acak dengan komputer mencakup penggunaan apa yang dinamakan hubungan rekursif, yakni aturan yang membawa satu bilangan acak kepada yang lain didalam urutan. Hubungan rekursif secara khusus bekerja dengan bilangan cacah dibagi oleh suatu konstanta yang besar dinamakan modul untuk menghasilkan bilangan acak dari 0 hingga 1.

2.13.1. Pembangkit Bilangan Random PBR

Kualitas simulasi dipengaruhi kualitas bilangan random yang dihasilkan dari pembangkit bilangan random. Tujuan pembangkit bilangan random adalah mampu menghasilkan clean bilangan random yang berkualitas. Pembangkit bilangan random terdistribusi uniform yang sering digunakan : 1. Mixed Linier Congruential Generator MLCG C ≠ 0 Zi = a . Zi – 1 + C MOD m Ui = Zi m 2. Prime Modulus Multiplicative Linier Congruential Generator PMMLCG C = 0 Zi = a . Zi – 1 mod m Ui = Zi m Dimana : a = faktor penggali c = faktor penjumlah m = modulus Zo = nilai awal Yang mana : a,m dan Zo 0 C ≥ 0 , m a dan Zo Untuk menghasilkan bilangan random yang baik diperlukan syarat - syarat sebagai berikut : 1. m dan c habis dibagi bilangan bulat positif. 2. jika q bilangan prima habis membagi m, q juga habis membagi m- 1 3. jika 4 habis membagi m, maka 4 juga habis membagi a – 1 Bilangan random BR yang baik yaitu : - berasal dari satu sumber distribusi uniform U 0,1 → Uji Chi – Square - antar bilangan random tidak berkolerasi uji independensi → Uji serial - periode panjang

2.13.2. Pembangkit Variabel Random PVR

Tujuan pembangkit variabel random adalah mampu memilih menentukan distribusi teoritis. Untuk menghasilkan variabel random diperlukan informasi : - Distribusi teoritis sesuai data - Bilangan random U 0,1 Beberapa metode pembangkit variabel random : 1. Metode Transformasi Invers - Diperoleh dengan menginvers fungsi komulatif F x = U - Jika yang diketahui fungsi padat f x maka fungsi komulatif F x = ∑ probabilitas = 1   x 1 dx x f Prosedur umum : 1. Generate U 0,1 2. Return x = F -1 U 2. Metode Penolakan Syarat : - Fungsi diketahui - Mempunyai harga maksimum Y a Harga Maksimum b X Gambar 2.7. Fungsi Kepadatan Peluang Untuk Metode Penolakan Penelitian Operasional – Teori dan Praktek, P. Siagian, 1987, hal. 462 – 463 Prosedur : a. Ambil titik dari bilangan random U 0,1 misalnya U 1 dan U 2 b. Hitung Xo = a + b – a c. Hitung Yo = C . U 2 d. Bila Yo ≤ F Xo → terima Xo sebagai variabel random bila tidak ulangi dari a.

2.14. Program Arena

Program ARENA adalah sebuah software simulasi yang diterbitkan oleh Sistem Modelling Corp. Software ini berbasis pada object oriented. ARENA menyediakan alternatif dan template yang interchangeble dari model simulasi grafik dan model simulasi analisis yang dapat dikombinasikan untuk menciptakan model-model simulasi yang cukup luas dan bervariasi. Software ini menganut sistem drag drop dan memiliki kemampuan animasi 2 dimensi. ARENA juga memiliki tingkat kompatibilitas yang baik. Kemampuan animasinya dapat ditunjang oleh file-file dari AutoCad. ARENA di spesialisasikan untuk menyelesaikan masalah-masalah Simulasi Sistem Diskret. Kelebihan lain dari ARENA adalah memiliki kemampuan pengolahan data statistik, walaupun tidak begitu lengkap. Arena sebagai software simulasi yang berfungsi melindungi model dengan cara meramalkan dampak dari kondisi-kondisi yang baru, aturan-aturan dan strategi sebelum pelaksanaan yang akan dilakukan.

2.14.1. Ciri-ciri Software Arena

Ciri-ciri dari penggunaan software arena adalah :  Menggambarkan aliran proses dengan menggunakan model flowchart.  Mengindentifikasi data seperti variabel, pengembangan dan penjadwalan.  Peramalan untuk pengembangan komponen sistem.  Aktivitas dasar penetapan biaya secara terperinci.  Penganalisaan data global dengan distribusi.  Visualisasi dari aliran proses data.  Hasil analisis meliputi grafik dan analisis running model. 2.14.2. Keuntungan Software Arena Keuntungan menggunakan software arena adalah :  Menganalisa keseluruhan item yang diinputkan dari level awal sampai level akhir.  Dapat digunakan untuk menganalisis bisnis seperti : industri global, perbankan, asuransi keuangan, dan lain-lain.  Penggambaran aliran proses nyata untuk mempermudah proses rekonstruksi proses yang lama dengan perancanaan yang baru.

2.14.3. Macam-macam distribusi pada program Arena

Ada 10 sepuluh macam distribusi yang digunakan dalam program arena, antara lain :  Erlang Distribusi Erlang adalah suatu kasus secara khusus yang menyangkut distribusi gamma, dimana parameter bentuk adalah suatu bilangan bulat k. Distribusi Erlang dapat digunakan dalam situasi di mana suatu aktivitas terjadi dalam tahap berurutan dan mempunyai distribusi yang bersifat exponen. Distribusi Erlang sering digunakan untuk menghadirkan waktu dan untuk menyelesaikan suatu tugas.  Exponential Distribusi Exponential adalah distribusi yang sering digunakan untuk model inteverent pada suatu proses kedatangan acak, tetapi umumnya hanya untuk memproses penundaan waktu.  Gamma Distribisi Gamma adalah distribusi yang digunakan untuk menghadirkan waktu dan untuk menyelesaikan beberapa tugas sebagai contoh, suatu pengerjaan dengan mesin waktu atau pada waktu memperbaiki mesin. Distribusi Gamma digunakan untuk bilangan bulat yang membentuk parameter, distribusi gamma menjadi sama lainnya dengan distribusi Erlang.  Lognormal Lognormal digunakan pada situasi dimana kuantitas menjadi suatu produk yang berjumlah acak. Distribusi ini berhubungan dengan bilangan normal.  Normal Distribusi normal adalah distribusi yang digunakan dalam situasi dimana batas pusat digunakan untuk menerapkan penjumlahan yang lain. Distribusi ini juga digunakan untuk pengalaman yang banyak pada suatu proses yang nampak akan mempunyai suatu distribusi symmetric, sebab distribusi ini tidak digunakan untuk penjumlahan positive seperti waktu proses.  Poisson Distribusi Poisson adalah distribusi yang sering digunakan untuk banyaknya model pada peristiwa acak yang terjadi di dalam suatu interval waktu yang telah ditetapkan. Jika waktu antara peristiwa secara berurutan yang bersifat exponen disebarkan, kemudian banyaknya peristiwa yang terjadi di dalam suatu waktu, yang interval mempunyai suatu distribusi poisson. Distribusi ini juga digunakan untuk model ukuran batch acak.  Triangular Distribusi Triangular ini biasanya digunakan di dalam situasi di mana format tepat dari distribusi tidaklah dapat dikenal, yaitu untuk perkiraan yang minimum dan maksimum, dan nilai-nilai hampir bisa dipastikan ada tersedia. Pada distribusi triangular ini akan lebih mudah untuk menggunakan dan menjelaskan dibandingkan distribusi lain yang mungkin digunakan di dalam situasi ini distribusi beta.  Uniform Distribusi Uniform adalah distribusi yang digunakan ketika semua nulai-nilai atas suatu cakupan terbatas mungkin dianggap sama. Kadang-kadang tidak digunakan ketika informasi selain dari cakupan sudah tersedia. Distribusi seragam mempunyai suatu perbedaan lebih besar dibandingkan distribusi lain yang digunakan ketika sedang kekurangan informasi distribusi triangular.  Weibul Distribusi Weibul secara luas digunakan di dalam model keandalan untuk menghadirkan suatu alat. Jika sutu sistem terdiri dari sejumlah besar komponen yang gagal dengan bebas, dan jika dibanding waktu antara kegagalan berurutan dapat didekati oleh distribusi weibul. Distribusi ini juga digunakan untuk menghadirkan bukan suatu tugas yang negatif adalah kepada yang ditinggalkan.  Beta Distribusi Beta ini mempunyai kemampuan untuk menerima sutu bentuk yang luas, distribusi ini sering digunakan untuk membuat konsep dasar model untuk ketidakhadiran data.

2.14.4. Introduction Arena

Pada menu start windows dipilih program Rockwell Software dan kemudian dipilih Arena setelah dijalankan maka akan muncul tampilan software Arena seperti berikut ini. Toolbars Project bar Menu bar Status bar Model window spreadsheet view Model window Flowchart view Gambar 2.8. Software Arena Responsi Simulasi Sistem Industri, ITS, 2010, hal. 2 a. Menu bar Menu bar yang ada di dalam Arena secara umum terdiri dari menu-menu yang identik pada kebanyakan aplikasi untuk windows, seperti menu file untuk manajemen file pengguna, menu edit, view. Dan tentunya terdapat beberapa menu bar yang disediakan Arena untuk membantu pengerjaan modeling system seperti tools, arrange, object, dan run . b. Project bar Project bar pada Arena terdiri dari dua hal, yaitu:  Flowchart module Merupakan modul untuk membangun model simulasi dalam Arena, terdiri dari modul basic process, modul advance process.  Spreadsheet module Merupakan modul untuk status dari flowchart yang digunakan. Status yang ada didapatkan secara otomatis atau diinput secara manual. c. Status bar Merupakan suatu modul dalam Arena yang bertujuan untuk melihat status dari pekerjaan modul kita saat ini. Contoh kondisi, Running = model simulasi kita sedang dijalankan. d. Toolbar Merupakan suatu window yang berisi daftar perintah yang sering digunakan dan dipresentasikan dalam bentuk tombol. e. Model window Flowchart view Window ini merupakan window induk yang melingkupi seluruh lingkungan kerja Arena. Fungsi utama window ini adalah sebagai tempat docking bagi modul-modul yang digunakan. f. Model window spreadsheet view Window ini merupakan window yang digunakan untuk melihat data yang terdapat pada modul-modul yang digunakan pada flowchart modul.

2.14.5. Modul Basic Process

Basic process merupakan modul-modul dasar yang digunakan untuk simulasi, diantaranya adalah: a. Create Modul ini digunakan untuk menggenerate kedatangan entity kedalam simulasi. Gambar 2.9. Modul Create Responsi Simulasi Sistem Industri, ITS, 2010, hal. 3 Name : Nama modul create yang digunakan Entity type : Jenis entity yang digenerate pada simulasi Type : Jenis waktu antar kedatangan entity  Random expo  Schedule  Constant  Espresion Value : Nilai daripada interval kedatangan berdasarkan type yang sudah ditentukan. Units : Satuan waktu yang digunakan. Entity per arrival : Jumlah kedatangan entity pada setiap kali generate dilakukan. Max arrivals : Jumlah maksimum generate entity kedalam simulasi. First creation : Waktu pertama kali generate entity kedalam simulasi. b. Dispose Modul ini digunakan untuk mengeluarkan entity dari system. Gambar 2.10. Modul Dispose Responsi Simulasi Sistem Industri, ITS, 2010, hal. 4 Record entity statistics : digunakan untuk mencatat output standard dari Arena. c. Process Modul ini digunakan untuk memproses entity dalam simulasi. Gambar 2.11. Modul Process Responsi Simulasi Sistem Industri, ITS, 2010, hal. 4 Name : Nama daripada modul proses yang digunakan. Type : Tipe dari proses itu sendiri.  Standard : Terdiri dari satu proses saja.  Sub model : Terdiri dari satu proses atau lebih. Action : Jenis aktivitas yang dilakukan pada saat modul proses bertipe standard. Priority : Nilai prioritas dari beberapa jenis proses alternatif. Resources : Sumber daya yang digunakan dalam melakukan aktivitas proses Delay type : Waktu proses atau bisa juga diasumsikan sebagai waktu delay ketika tidak menggunakan resource sama sekali Allocation : jenis aktivitas yang terjadi pada modul ini, terdiri dari beberapa jenis antara lain :  Value added : pada proses yang dilakukan terjadi penambahan nilai dari material input manjadi output.  Non value added : tidak terjadi proses penambahan nilai dari meterial input menjadi output misalkan kegiatan inspeksi.  Transfer : waktu transfer dari satu tempat ke tempat lain.  Wait : waktu tunggu sebelum entity melakukan aktivitas berikutnya.  Other : untuk mengidentifikasi untuk atribut yang lainnya. d. Decide Modul ini digunakan untuk menentukan keputusan dalam proses, didalamnya termasuk beberapa pilihan untuk membuat keputusan berdasarkan 1 atau beberapa pilihan. Gambar 2.12. Modul Decide Responsi Simulasi Sistem Industri, ITS, 2010, hal. 5 Type : Mengidentifikasikan apakah keputusan berdasarkan pada kondisi dan dapat dispesifikasikan menjadi 2 jenis, yaitu : 1. 2-way 0: digunakan jika hanya untuk 1 kondisi benar atau salah.  2-way by chance  2-way by condition 2. N-way : digunakan untuk berapapun jumlah kondisi.  N-way by chance : mendefinisikan satu atau lebih persentase.  N-way by condition : mendefinisikan satu atau lebih kondisi. Percent true 0-100 : Nilai yang digunakan untuk menetapkan entity yang keluar, nilai yang keluar nantinya adalah nilai yang bernilai benar. e. Assign Modul ini digunakan untuk memasukkan nilai baru pada variable, entity atribut, entity type,atau variable lain pada sistem. Gambar 2.13. Modul Assign Responsi Simulasi Sistem Industri, ITS, 2010, hal. 7 Assignments : Untuk menspesifikasikan satu atau lebih tugas yang akan dibuat. Type : Tipe dari tugas yang akan dilakukan terdiri dari :  Variabel : nama yang diberikan pada sebuah entity variable dengan nilai baru.  Atribute : nama yang diberikan pada sebuah entity atribut dengan nilai baru.  Entity type : sebuah type baru dari entity.  Entity picture : sebuah tipe baru berupa gambar.  Other : untuk mengidentifikasi untuk atribut yang lainnya. New value : Nilai baru pada atribut, variable, atau variable sistem lainnya. Tidak dapat digunakan untuk entity tipe atau entity picture.

2.15. Validasi

Validasi simulasi mengandung elemen, rumus dan rangkaian logika dalam jumlah yang banyak. Oleh karena itu walaupun komponen – komponen individual menunjukkan kesesuaian yang cukup baik, namun seringkali berbagai pengabaian atau pendekatan kecil tetap berakumulasi sehingga menyebabkan distorsi pada output model secara keseluruhan. Konsekuensinya setelah program dijalankan perlu dilakukan pengujian validitas model untuk memprediksi kelakuan sistem secara terpadu. Ada 3 cara yang dapat dipakai sebagai acuan dalam mengevaluasi validitas hasil simulasi yaitu : 1. Validasi Kotak putih White Box Validation Pada validasi ini, diasumsikan bahwa model dan sistem nyata merupakan suatu transparan sehingga struktur internal dari keduanya dapat diketahui. Sehingga pengujian validasi dilakukan pada cara kerja model simulasi yang digunakan. Penekanan White Box Validation adalah detail internal yang bekerja pada model. 2. Validasi Kotak Hitam Black Box Validation Pada validasi kotak hitam, diasumsikan bahwa model dari sistem nyata merupakan suatu kotak hitam Black Box . Strategi praktis yang dijalankan adalah mengamati perilaku sistem nyata dan kemudian model dijalankan dibawah kondisi yang sesuai dengan sistem nyata. Pengujian dilakukan dengan membandingkan rata – rata waktu kedatangan yang dihasilkan oleh simulasi dengan keadaan yang sebenarnya. Bila hasil dari simulasi masih dalam batas toleransi sebesar 100 dibandingkan dengan sistem yang sebenarnya maka dapat disimpulkan bahwa simulasi valid Law dkk, 1991, hal. 277 – 288.

2.16. Peneliti Terdahulu