Relasi Ekuivalensi

3.5 Relasi Ekuivalensi

De…nisi 3.19 Suatu relasi (biner) R pada himpunan A disebut re‡eksif apabila berlaku

(x; x) 2 R; 8x 2 A:

Contoh 3.33 Jika A = f1; 2; 3; 4g; jelaskan bahwa R 1 = f(1; 1); (1; 4); (2; 2); (2; 1); (3; 4); (4; 4)g tidak re‡eksif, sedangkan

R 2 = f(x; y) 2 A Ax yg

adalah re‡eksif. Jawab. Perhatikan bahwa, karena (3; 3) = 2R 1 sedangkan 3 2 A; maka R 1

tidak re‡eksif. Karena untuk setiap x 2 A berlaku x x; maka (x; x) 2 R 2 untuk setiap x 2 A; akibatnya setiap x 2 A re‡eksif.

Konklusi 7 Berdasarkan Konklusi 1, jika jAj = n; maka diperoleh bahwa

2 n jA 2 Aj = n dan banyaknya relasi pada A adalah 2 : Sekarang, banyaknya relasi re‡eksif pada A adalah

(n 2 n 2 ) : Bukti. Misalkan A = fa 1 ;a 2 ; :::; a n g; relasi R pada himpunan A re‡eksif

jika dan hanya jika A 1 = f(a i ;a i )a i 2 Ag R (perhatikan bahwa jA 1 j= n): Keanggotaan R yang lain merupakan anggota subhimpunan dari

A 2 = f(a i ;a j )a i ;a j 2 A; a i 6= a j g;

(perhatikan bahwa jA 2

n). Dengan demikian ada sebanyak 2 (n n ) cara untuk untuk mengkonstruksi R:

2 2 j = jA Aj jA 1 j=n

De…nisi 3.20 Suatu relasi R pada himpunan A disebut simetrik apabila berlaku

(x; y) 2 R ) (y; x) 2 R; 8x; y 2 A:

Contoh 3.34 Misalkan A = f1; 2; 3g; maka relasi

1. R 1 = f(1; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 1)g adalah simetrik tetapi tidak re‡eksif pada A:

2. R 2 = f(1; 1); (2; 2); (3; 3); (3; 2)g adalah re‡eksif tetapi tidak simetrik pada A:

3. R 3 = f(1; 1); (2; 2); (3; 3)g adalah re‡eksif sekaligus simetrik pada A:

4. R 4 = f(1; 1); (2; 2); (3; 3); (2; 3); (3; 2)g adalah re‡eksif sekaligus simetrik pada A:

5. R 5 = f(1; 1); (2; 3); (3; 3)g adalah bukan re‡eksif maupun simetrik pada A:

Konklusi 8 Jika jAj = n; maka banyaknya relasi simetrik pada A adalah

( 2 n2 +n 2 ) ;

dan banyaknya relasi yang re‡eksif dan sekaligus simetrik adalah

n2

Bukti. Misalkan A = fa 1 ;a 2 ; :::; a n g: Perhatikan bahwa himpunan A A

bisa dituliskan sebagai A A=A 1 [A 2 ; dimana

A 1 = f(a i ;a i )1 i ng dan

A 2 = f(a i ;a j )1 i; j n; i 6= jg:

Dalam hal ini, A 1 \A 2 = ?; jA 1 j = n; dan

jA 2

2 j = jA Aj jA 1 j=n

Perhatikan pula bahwa keanggotaan A 2 dapat dibuat berpasang-pasangan, yaitu (a i ;a j ) berpasangan dengan (a j ;a i ); sehingga di dalam A 2 ada sebanyak

2 pasang. Untuk mengkonstruksi suatu relasi simetrik berarti mende…nisikan him- punan yang anggotanya beberapa anggota dari A 1 (boleh tidak ada) dan beberapa pasang dari A 2 (boleh tidak ada). Dengan demikian banyaknya cara mengkonstruksi relasi simetrik adalah

Untuk mengkonstruksi suatu relasi simetrik dan sekaligus re‡eksif berarti mende…nisikan himpunan yang anggotanya semua anggota dari A 1 dan be- berapa pasang dari A 2 (boleh tidak ada). Dengan demikian banyaknya cara mengkonstruksi relasi simetrik dan sekaligus re‡eksif adalah

De…nisi 3.21 Suatu relasi R pada himpunan A disebut transitif apabila berlaku

(x; y) dan (y; z) 2 R ) (x; z) 2 R; 8x; y; z 2 A:

Contoh 3.35 Misalkan A = f1; 2; 3; 4g; maka relasi

R 1 = f(1; 1); (2; 3); (3; 4); (2; 4)g

adalah transitif, sedangkan

R 2 = f(1; 3); (3; 2)g

tidak transitif karena (1; 3); (3; 2) 2 R 2 sedangakan (1; 2) = 2R 2 :

De…nisi 3.22 Suatu relasi R pada himpunan A disebut antisimetrik apa- bila berlaku

(x; y) dan (y; x) 2 R ) x = y; 8x; y 2 A: Contoh 3.36 Diberikan himpunan semesta U; dan misalkan P(U) adalah

himpunan kuasa dari U: Suatu R pada P(U) yang dide…nisikan dengan (A; B) 2 R,A

B merupakan relasi antisimetrik. Selain itu, perhatikan bahwa R juga merupakan relasi re‡eksif dan transitif. Tetapi, R tidak simetrik karena

A (ambil kasus A B; maka B * A). Contoh 3.37 Misalkan A = f1; 2; 3g: Jika relasi R pada A dide…nisikan

A B tidak selalu berakibat B

dengan R = f(1; 2); (2; 1); (2; 3)g; maka R tidak simetrik karena (3; 2) = 2 R; dan R juga bukan antisimetrik karena 1 6= 2: Jika dide…nisikan relasi

R 1 = f(1; 1); (2; 2)g; maka R 1 adalah simetrik dan juga antisimetrik. Jika dide…nisikan relasi R 2 = f(1; 1); (2; 2); (1; 2)g; maka R 2 adalah antisimetrik, tetapi tidak simetrik.

Sebagai latihan, buktikan konklusi berikut ini. Konklusi 9 Jika jAj = n > 0; maka ada sebanyak

n2

cara untuk mende…nisikan relasi antisimetrik pada A: De…nisi 3.23 Relasi R pada himpunan A disebut ekuivalensi jika R adalah

sekaligus re‡eksif, simetrik, dan transitif. Contoh 3.38 Misalkan A = f1; 2; 3g; maka relasi:

1. R 1 = f(1; 1); (2; 2); (3; 3)g;

2. R 2 = f(1; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 2); (3; 3)g;

3. R 3 = f(1; 1); (1; 3); (3; 1); (2; 2); (3; 3)g; dan

4. R 4 = f(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 2); (2; 3); (3; 2); (3; 3); (2; 1); (3; 1)g: semuanya adalah relasi ekuivalensi.

De…nisi 3.24 Diberikan himpunan indeks I = f1; 2; :::; kg: Suatu partisi P dari himpunan X adalah keluarga subhimpunan tak-kosong dari X;

ditulis P = fX i

i 2 Ig; yang memenuhi:

1. X i = X; dan

i =1

2. untuk setiap i 6= j; X i \X j = ?: Masing-masing subhimpunan X i disebut part dari partisi P: Berdasarkan

de…nisi tersebut, untuk sembarang x 2 X; maka ada tepat satu part dari P (dengan kata lain ada tepat satu s 2 I) sehingga x 2 X s :

Contoh 3.39 Misalkan X = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16g:

Keluarga subhimpunan fX 1 ;X 2 ;X 3 ;X 4 ;X 5 g dengan

X 1 = f1; 5; 9g; X 2 = f2; 3; 4; 6; 7g; X 3 = f8g;

X 4 = f10; 11; 13; 14g; X 5 = f12; 15; 16g

merupakan suatu partisi pada X: Teorema 3.11 Misalkan S(n; k) menotasikan banyaknya partisi dari him-

punan X berangota n obyek ke dalam k part merupakan bilangan stirling jenis kedua, yaitu

S(n; k); untuk 1 k n:

Teorema 3.12 Setiap relasi ekuivalensi R pada X menentukan suatu par- tisi pada X: Dalam hal demikian, untuk sembarang x 2 X; suatu part yang memuat x; yaitu

C x = fy 2 X yRxg

disebut kelas ekuivalensi dari x: Konvers dari teorema di atas juga benar, yaitu: setiap partisi dari X akan

menentukan suatu relasi ekuivalensi R pada X: Dalam hal ini, xRy jika dan hanya jika x dan y berada di dalam suatu part yang sama.

Contoh 3.40 Misalkan X = f1; 2; 5; 6; 7; 9; 11g: Relasi R pada X dide…n- isikan: xRy jika dan hanya jika (x y) habis dibagi 5: Dengan mudah dapat diperiksa bahwa R adalah relasi ekuivalensi. Selanjutnya, partisi P pada X yang ditentukan oleh R adalah

P = ff1; 6; 11g; f2; 7g; f5g; f9gg: