Produk Cartesian dan Relasi

3.1 Produk Cartesian dan Relasi

De…nisi 3.1 Produk Cartesian atau produk silang dari dua himpunan

A dan B, notasi A B; adalah himpunan

A B = f(a; b)=a 2 A; b 2 Bg:

Setiap anggota dari A B; misalnya (a; b); disebut pasangan terurut (ordered pair), kemudian a dan b disebut komponen pertama dan kedua dari (a; b). Sembarang dua anggota dari A B; misalnya (a; b) dan (c; d); dikatakan sama (notasinya: (a; b) = (c; d)) jika dan hanya jika a = c dan

b = d: Jika A dan B berhingga dengan jAj = m dan jBj = n, berdasarkan aturan

kali jelas bahwa

jA Bj = mn:

De…nisi produk Cartesian dapat diperumum dengan melibatkan lebih dari dua himpunan. Jika n 2 Z + ;n 3; dan A

1 ;A 2 ; :::; A n adalah n himpunan, maka produk lipat-n dari A 1 ;A 2 ; :::; A n ; notasinya: A 1 A 2 ::: A n ;

dide…nisikan sebagai

A 1 A 2 ::: A n := f(a 1 ;a 2 ; :::; a n )=a i 2A i ;1 i ng:

Sembarang anggota (a 1 ;a 2 ; :::; a n )2A 1 A 2 ::: A n disebut rangkai- n terurut (ordered n-tuple). Kesamaan dua anggota A 1 A 2 ::: A n dide…nisikan sebagai

(a 1 ;a 2 ; :::; a n ) = (b 1 ;b 2 ; :::; b n ),a i =b i ;1 i n:

A A dinotasikan dengan A 2 ; dan secara umum produk lipat-n dari A dinota- sikan dengan A n ; juga

jA n j = jAj :

Contoh 3.1 Misalkan A = fa; bg dan B = f1; 2; 3g; tentukan A B; B A;

2 2 A 3 ;B ; dan A : Jawab. Berdasarkan de…nisinya, maka

A B = f(a; 1); (a; 2); (a; 3); (b; 1); (b; 2); (b; 3)g;

B A = f(1; a); (1; b); (2; a); (2; b); (3; a); (3; b)g;

A 2 = f(a; a); (a; b); (b; a); (b; b)g

B 2 = f(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)g

A 3 = f(a; a; a); (a; a; b); (a; b; a); (a; b; b); (b; a; a); (b; a; b); (b; b; a); (b; b; b)g

Dari contoh di atas terlihat bahwa secara umum A B tidak sama dengan

B A; namun aturan kali menjamin bahwa jA Bj = jB Aj : R 2 R=R dikenal sebagai bidang (bilangan nyata) dari koordinat geometri

atau kalkulus berdimensi dua. +

R + R adalah interior dari kuadran pertama dari bidang yang bersangkutan. Secara sama, 3 R merupakan ruang-3 Euclid-

ean. De…nisi 3.2 Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sembarang

subhimpunan dari A

A disebut relasi biner pada A:

B: Sembarang subhimpunan dari A

Dari Contoh 3.1, beberapa contoh relasi dari A ke B adalah: R 1 = f(a; 1); (b; 3)g; R 2 = f(a; 1); (a; 3); (b; 2); (b; 3)g;

R 3 = f(b; 2)g; R 4 = ?; R 5 =A B:

Karena jA Bj = 6; berdasarkan Contoh 1.14, maka banyaknya semua sub- himpunan dari A 6 B adalah 2 : Ini berarti banyaknya semua relasi yang

bisa dide…nisikan dari A ke B adalah 2 6 : Secara umum, fakta ini dinyatakan konklusi berikut ini.

Konklusi 1 Untuk sembarang himpunan berhingga A dan B dengan jAj = m dan jBj = n; maka ada sebanyak 2 mn relasi dari A ke B; termasuk di

dalamnya relasi kosong dan A

B tidak sama dengan B A; tetapi jA Bj = jB Aj: Akibatnya, banyaknya relasi dari

B sendiri. Secara umum, A

B ke A juga 2 mn : Contoh 3.2 Misalkan A = f0; 1; 2; 3; 4g: Relasi biner R pada A dide…n-

isikan sebagai: xRy (dibaca: x berrelasi dengan y) jika dan hanya jika x y: Tentukan relasi R:

Jawab. Berdasarkan de…nisi relasi R; maka

R = f(x; y) 2 A Ax yg; atau R = f(0; 0); (0; 1); (0; 2); (0; 3); (0; 4); (1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4);

(2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 3); (3; 4); (4; 4)g: Gambarkan R dalam sistem koordinat bidang!

Contoh 3.3 Misalkan B = fx 2 Z j 0 x 10g: Jika relasi biner R pada

B dide…nikan: xRy jhj y = 3x

1: Tentukan relasi R:

Jawab. Berdasarkan de…nisi relasi R; maka

R = f(x; y) 2 B 2 y = 3x 1g = f(1; 2); (2; 5); (3; 8)g

Teorema 3.1 Untuk sembarang himpunan A; B; dan C; berlaku:

Soal 3.1.1 Misalkan A = f1; 2; 3; 4g; B = f2; 5g; dan C = f3; 4; 7g; ten- tukan A B; B A; A (B [ C); (A [ B) C; dan (A

C) [ (B C):

Soal 3.1.2 Jika A = f1; 2; 3g dan B = f2; 4; 5g;

1. buatlah tiga contoh relasi tak-nol dari A ke B:

2. buatlah tiga contoh relasi biner tak-nol pada A:

3. tentukan jA Bj :

4. tentukan banyaknya semua relasi dari A ke B:

5. tentukan banyaknya semua relasi biner pada A:

6. tentukan banyaknya relasi dari A ke B yang memuat (1; 2) dan (1; 5):

7. tentukan banyaknya relasi dari A ke B yang memuat tepat lima pasan- gan terurut.

8. tentukan banyaknya relasi biner pada A yang memuat sedikitnya 7 anggota.