Mengenal Beberapa Graf Khusus

5.2 Mengenal Beberapa Graf Khusus

Pada bagian ini akan diperkenalkan pengertian dan beberapa sifatnya ten- tang: graf Euler, Graf graf planar, dan graf Hamilton. Sifat-sifat diberikan dalam bentuk teorema tanpa disertai pembuktian.

5.2.1 Graf Euler

De…nisi 5.14 Misalkan G = (V; E) adalah graph atau multigrpah takberarah tanpa verteks terisolasi. G dikatakan mempunyai sirkuit Euler jika ada sirkuit dalam G yang melalui setiap edge tepat sekali. Jika ada trail terbuka dari a ke b di dalam G dan trail ini melalui setiap edge dalam G tepat sekali, maka trail ini disebut trail Euler. Graf yang mempunyai sirkuit atau trail Euler disebut graf Euler.

Teorema dan akibat berikut ini digunakan untuk mendeteksi apakah su- atu graf adalah Euler.

Teorema 5.3 Misalkan G = (V; E) graph atau multigraph takberarah tanpa verteks terisolasi. G mempunyai sirkuit Euler jhj G terhubung dan setiap verteks di dalam G berderajat genap.

Dengan teorema ini, konstruksi suatu sirkuit Euler bisa di mulai dari sembarang verteks.

Akibat 5.2 Jika G = (V; E) graph atau multigraph takberarah tanpa verteks terisolasi, maka dapat dikonstruksi trail Euler dalam G jhj G terhubung dan mempunyai tepat dua verteks berderajat ganjil.

Berdasarkan akibat ini, kontruksi suatu trail Euler harus dimulai dari salah satu verteks berderajat ganjil, dan pasti berakhir di verteks berderajat ganjil yang satunya lagi.

Contoh 5.11 Jelaskan bahwa graf yang direpresentasikan pada Gambar 5.14 merupakan graf Euler.

Jawab. Perhatikan Gambar 5.14. Karena hanya ada dua verteks yang berderajat ganjil (verteks b dan f ), maka G 1 pasti memuat trail Euler, seba- gai contoh:

fb; ag; fa; eg; fe; bg; fb; cg; fc; eg; fe; fg; ff; cg; fc; dg; fd; fg:

Karena semua verteks berderajat genap, maka G 2 memuat sirkuit Euler, sebagai misal:

fv; wg; fw; yg; fy; vg; fv; xg; fx; yg; fy; zg; fz; wg; fw; ug; fu; vg:

De…nisi 5.15 Misalkan G = (V; E) adalah graph atau multigraph berarah dan v 2 V .

1. Derajat masuk (in degree) dari v adalah banyaknya edge dalam G yang insiden ke v, dan dinotasikan dengan id(v).

2. Derajat keluar (out degree) dari v adalah banyaknya edge dalam G yang insident dari v, dan dinotasikan dengan od(v):

Teorema 5.4 Misalkan G = (V; E) adalah graph atau multigraph berarah tanpa verteks terisolasi. Graph G mempunyai sirkuit Euler jhj G terhubung dan id(v) = od(v) untuk semua v 2 V .

Soal 5.2.1 Buatlah suatu contoh graf atau multigraf berarah dengan jumlah verteks 10 dan mempunyai sirkuit Euler.

5.2.2 Graf Planar

De…nisi 5.16 Suatu grapah atau multigraph disebut planar jika G dapat digambarkan pada bidang datar sedemikian sehingga setiap interseksi dari edge hanya terjadi pada verteks dari G.

Gambar 5.17

Contoh 5.12 Dengan mudah dapat kita gambarkan bahwa K 1 ;K 2 ; dan K 3 adalah graf planar. Jelaskan bahwa K 4 planar, sedangkan K 5 tidak planar.

Jawab. Gambar 5.17 cukup menunjukkan bahwa K 4 adalah planar. Us- aha untuk menggambarkan bahwa K 5 adalah planar hanya sampai pada 9 edge pertama, sedangkan edge yang ke-10 tidaklah mungkin digambarkan tanpa memotong edge salah satu dari 9 edge yang pertama.

z De…nisi 5.17 Suatu graph G = (V; E) disebut bipartisi (bipartite) jika V =

V 1 \V 2 dengan V 1 [V 2 = ?, dan setiap edge dari G berbentuk fa; bg dengan a2V 1 dan b 2 V 2 . Jika setiap verteks dalam V 1 berkawan dengan semua

verteks dalam V 2 , disebut graf bipartisi lengkap. Dalam hal ini, jika jV 1 j= m dan jV 2 j = n, grafnya dinotasikan dengan K m;n .

Contoh 5.13 Contoh utk bipartisi De…nisi 5.18 Misalkan G = (V; E) adalah graph takberarah tanpa loop, den-

gan E 6= ?. Subdivisi elementer dari G adalah suatu graf yang diperoleh dari penghapusan edge e = fu; wg dalam G, dan kemudian edge fu; vg dan fv; wg ditambahkan pada G

e, dimana v = 2V.

Graf tak berarah tanpa loop G 1 = (V 1 ;E 1 ) dan G 2 = (V 2 ;E 2 ) disebut homeomor…k (homeomor…c) jika keduanya isomor…s, atau jika keduanya da- pat diperoleh dari graph suatu takberarah tanpa loop yang sama, sebut saja H; melalui serangkaian subdivisi elementer.

Contoh 5.14 Contoh homeomor…k. Teorema 5.5 (Teorema Kuratowski) Suatu graf adalah takplanar jika

dan hanya jika ia memuat suatu subgraf yang homeomor…k dengan K 5 atau K 3;3 :

Bukti teorema ini didemonstrasikan pada contoh berikut ini. Contoh 5.15 Contoh kuratowski.

5.2.3 Graf Hamilton

De…nisi 5.19 Jika G = (V; E) graph atau multigraph dengan jV j

3, G disebut mempunyai cycle Hamilton jika ada cycle dalam G yang memuat semua verteks dalam V . Path Hamilton adalah path dalam G yang memuat semua verteks.

Contoh 5.16 Contoh untuk def di atas. Teorema 5.6 Misalkan G = (V; E) adalah graph tanpa loop dengan jV j =

1 untuk semua x; y 2 V dengan x 6= y, maka G mempunyai path Hamilton.

2. Jika deg(x) + deg(y) n

Akibat 5.3 Misalkan G = (V; E) graph tanpa loop dengan jV j = n

2. n Jika deg(v) 1

2 untuk semua v 2 V , maka G mempunyai path Hamilton. Teorema 5.7 Misalkan G = (V; E) graph tanpa loop dengan jV j = n

3. Jika deg(x) + deg(y) n untuk semua x; y yang tak adjacent, maka G mempunyai cycle Hamilton.

Akibat 5.4 Misalkan G = (V; E) graph tanpa loop dengan jV j = n

3. Jika deg(y) n

2 untuk semua v 2 V , maka G mempunyai cycle Hamilton.