Fungsi Surjektif dan Bilangan Stirling Je- nis Kedua

3.3 Fungsi Surjektif dan Bilangan Stirling Je- nis Kedua

De…nisi 3.9 Suatu fungsi f : A ! B disebut surjektif (onto), jika f(A) = B; artinya

(8y 2 B)(9x 2 A) y = f(x):

Contoh 3.12 Jika A = f1; 2; 3; 4g dan B = fx; y; zg; Jelaskan bahwa

f 1 = f(1; z); (2; y); (3; x); (4; y)g dan

f 2 = f(1; x); (2; x); (3; y); (4; z)g

adalah dua fungsi surjektif dari A ke B; sedangkan fungsi

g = f(1; x); (2; x); (3; y); (4; y)g

tidak surjektif.

Jawab. Perhatikan bahwa semua anggota B muncul sebagai komponen kedua di dalam keanggotaan f 1 dan f 2 , sehingga f 1 dan f 2 adalah fungsi surjektif. Sekarang perhatikan fungsi g; ada anggota B yaitu z yang tidak muncul sebagai komponen kedua di dalam keanggotaan g; sehingga g tidak surjektif.

Contoh 3.13 Jelaskan bahwa fungsi f : Z ! Z yang dide…nisikan dengan

f (x) = 3x + 1; 8x 2 Z;

dan fungsi g : R ! R yang dide…nisikan dengan

g(x) = x 2 ; 8x 2 Z;

adalah tidak surjektif. Jawab. Ambil y = 2; maka 3x + 1 = 2 tidak mempunyai solusi di dalam

Z: Ini berarti 9y 2 Z (dalam hal ini ditunjukkan y = 2) sehingga @x 2 Z yang berlaku y = f (x):

1 tidak mempunyai solusi di dalam R: Ini berarti 9y 2 R (dalam hal ini ditunjukkan y = 1) sehingga @x 2 R yang

Ambil y = 2 1; maka x =

berlaku y = g(x): z

Contoh 3.14 Buktikan bahwa fungsi g : Q ! Q yang dide…nisikan dengan

g(x) = 3x + 1; 8x 2 Q;

dan fungsi h : R ! R yang dide…nisikan dengan

h(x) = x 3 ; 8x 2 R;

adalah surjektif. y Bukti. Ambil sembarang y 2 Q; maka y = 3x + 1 , x = 1

3 dan jelas y bahwa x 2 Q: Dengan demikian, (8y 2 Q)(9x = 1

3 2 Q) sehingga berlaku

g(x) = g(

Kesimpulannya, g adalah surjektif.

Ambil sembarang y 2 R; maka y = x ,x= y dan jelas bahwa x 2 R:

Dengan demikian, (8y 2 R)(9x = y 2 R) sehingga berlaku

p h(x) = h( 3 y)

p 3 3 =( y)

= y:

Kesimpulannya, h adalah surjektif. z Dari de…nisi di atas jelas bahwa untuk A dan B himpunan berhingga, jika

f : A ! B adalah surjektif, maka jAj jBj : Dua contoh berikut ini akan mengarah ke konklusi tentang banyaknya cara pende…nisian fungsi surjektif.

Contoh 3.15 Jika A = fx; y; zg dan B = f1; 2g; jelaskan bahwa semua fungsi f : A ! B adalah surjektif kecuali f merupakan fungsi konstan. Selanjutnya, simpulkan bahwa ada 6 cara mende…nisikan fungsi surjektif dari

A ke B: Kemudian, nyatakan secara umum untuk A sembarang himpunan dengan jAj = m 2; sedangkan ditetapkan B = f1; 2g; maka ada

cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B: Jawab. Fungsi kosntan dari A ke B ada 2; yaitu

f 1 = f(x; 1); (y; 1); (z; 1)g dan f 1 = f(x; 2); (y; 2); (z; 2)g: Jika f : A ! B tidak kontan, maka jelas bahwa semua anggota B muncul

sebagai komponen kedua di dalam keanggotaan f; akibatnya f pasti surjektif. Dengan demikian, karena ada jBj jAj =2 3 = 8 cara mende…nisikan semua

fungsi dari A ke B; sedangkan hanya dua yang tidak surjektif, maka ada

8 2 = 6 cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B: z Contoh 3.16 Misalkan A = fx; y; z; wg dan B = f1; 2; 3g: Buktikan bahwa

ada

cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B: Kemudian, nyatakan se- cara umum untuk A sembarang himpunan dengan jAj = m

3; sedangkan ditetapkan B = f1; 2; 3g; maka ada

cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B:

Bukti. Berdasarkan Konklusi 2, jumlah fungsi yang bisa kita de…nisikan dari A ke B adalah 3 4 : Berdasarkan Contoh 1.14, ada 3 2 = 3 subhimpunan

dari B yang berkardinalitas 2; yaitu f1; 2g; f1; 3g; dan f2; 3g: Jumlah fungsi dari A ke f1; 2g adalah 2 4 termasuk fungsi konstan dari A ke f1g dan dari

A ke f2g: Secara sama, jumlah fungsi dari A ke f1; 3g adalah 2 4 termasuk fungsi konstan dari A ke f1g dan dari A ke f3g: Demikian pula, jumlah fungsi

dari A ke f2; 3g adalah 2 4 termasuk fungsi konstan dari A ke f2g dan dari A ke f3g: Dengan demikian, total jumlah fungsi dari A ke semua subhimpunan

dari B yang berkardinalitas 1 atau 2 adalah

(Perhatikan bahwa fungsi konstan masing-masing terhitung 2 kali; dalam hal ini fungsi kontan ada 3

1 jenis, yaitu A ke f1g; A ke f2g; dan A ke f3g; dimana masing-masing berjumlah 1 jAj =1 4 ). Jelas bahwa jumlah tersebut

merupakan jumlah semua fungsi ini bukan merupakan fungsi surjektif dari

A ke B: Kesimpulannya, jumlah semua fungsi yang surjektif dari A ke B adalah

Dua contoh terakhir di atas mengarah ke suatu pola (generalisasi) yang di berikan berikut ini, tanpa pembuktian.

Konklusi 4 Untuk sembarang himpunan berhingga tak-kosong A dan B den- gan jAj = m dan jBj = n; maka ada sebanyak

cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B:

Contoh 3.17 Misalkan A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g dan B = fw; x; y; zg: Ada berapa cara mende…nisikan fungsi surjektif dari A ke B?

Jawab. Dengan menerapkan Konklusi 4, banyaknya fungsi surjektif dari

A ke B adalah

Contoh 3.18 Departemen Pertahanan mempunyai 7 proyek yang berkaitan dengan keamanan tingkat tinggi. Telah ditunjuk 4 perusahaan untuk menan- gani ketujuh proyek tersebut. Demi memaksimalkan tingkat keamanan, setiap proyek tidak boleh ditangani oleh lebih dari satu perusahaan. Ada berapa cara pemberian proyek agar keempat perusahaan terlibat?

Jawab. Contoh ini dapat dimodelkan ke dalam Contoh 3.17 dengan memisalkan A adalah himpunan proyek dan B adalah himpunan perusahaan. Banyaknya cara pemberian proyek merupakan merupakan banyaknya cara pende…nisian fungsi surjektif dari A ke B; sehingga jawabannya adalah 8400 cara.

Contoh 3.19 7 orang yang tidak saling kenal berada di lantai dasar sebuah gedung yang secara bersamaan akan menggunakan suatu lift untuk naik ke lantai atas. Jika gedung tersebut mempunyai 4 lantai (tingkat) diatas lantai dasar, tentukan probabilitas bahwa lift harus berhenti di setiap lantai lantaran ada diantara ketujuh orang tersebut yang keluar dari lift.

Jawab. Ukuran ruang contoh dari contoh soal ini adalah banyaknya cara 7 orang memilih 4 lantai (atau banyaknya cara pende…nisian fungsi dari domain berukuran 7 ke kodomain berukuran 4), yaitu 4 7 = 16384 cara.

Sedangkan ukuran ruang kejadiannya merupakan model Contoh 3.17, yaitu 8400 cara. Dengan demikian, probabilitas bahwa lift harus berhenti di setiap

lantai adalah 8400 16384 = 0; 5127:

Contoh 3.20 Staf TU Departemen Matematika terdiri dari Kepala TU dan

3 asisten administratif. Misalkan ada 7 dokumen Departemen yang harus diproses oleh staf TU dan diharuskan tidak ada staf yang nganggur. Ada berapa cara Sekretaris Departemen menugasi staf TU apabila:

1. tidak batasan lagi?

2. Kepala TU harus mengerjakan satu dokumen yang paling penting?

3. Selain mengerjakan satu dokumen yang paling penting, Kepala TU masih dibolehkan mengerjakan dokumen yang lain?

Jawab. Pertanyaan pada contoh soal ini merupakan model Contoh 3.17. Dengan demikian,

1. apabila tidak ada batasan lagi, jawabannya adalah 8400 cara.

2. Kepala TU harus mengerjakan satu dokumen yang paling penting, be- rarti 6 dokumen tersisa harus dikerjakan oleh 3 staf, sehingga jawaban- nya adalah

(3 k) = 540 cara.

k =0

3. apabila Kepala TU masih dibolehkan mengerjakan dokumen yang lain, berarti 6 dokumen tersisa harus dikerjakan oleh 4 staf, sehingga jawa- bannya adalah

(4 k) = 1560 cara.

k =0

Contoh berikut ini akan mengarah generalisasi bilangan Stirling jenis ke- dua.

Contoh 3.21 Jika A = fa; b; c; dg dan B = f1; 2; 3g; maka ada 36 fungsi surjektif dari A ke B: Bentuk verbal dari pernyataan ini adalah ada 36

cara mendistribusikan 4 obyek yang berbeda ke dalam 3 wadah “yang da- pat dibedakan” (urutan wadah diperhatikan), dengan syarat tidak ada wadah yang kosong. Dari 36 cara tersebut, perhatikan 6 contoh berikut ini:

dimana, misalnya, notasi fcg 2 diartikan sebagai c ada di dalam wadah kedua. Sekarang, jika wadah “tidak lagi dapat dibedakan” (urutan wadah tidak diper-

hatikan), maka keenam (3!) contoh tersebut dianggap identik (tidak dibedakan).

Dengan demikian, ada 36 3! = 6 cara mendistribusikan 4 obyek yang berbeda ke dalam 3 wadah “yang identik” (urutan wadah tidak diperhatikan), dengan

syarat tidak ada wadah yang kosong. Konklusi 5 Untuk m n; banyaknya cara mendistribusikan m obyek yang

berbeda ke dalam n wadah yang identik, dengan tidak dibolehkan ada wadah yang kosong, adalah

n ( 1) m (n k) :

n! k =0

Bilangan ini dinotasikan dengan S(m; n); dan disebut bilangan Stirling jenis kedua. Perhatikan bahwa jika jAj = m n = jBj ; maka banyaknya

fungsi surjektif dari A ke B adalah n!:S(m; n): Teorema 3.3 Bilangan Stirling jenis kedua S(m; n) dapat dirumuskan se-

cara rekursif dengan S(m; 1) = 1; S(m; m) = 1;

S(m; n) = S(m 1; n

1) + n:S(m 1; n); untuk 2 n m 1: Bukti. Dari Konklusi 5, jelas bahwa S(m; 1) = 1 dan S(m; m) = 1: Mis-

alkan A = fa 1 ;a 2 ; ::; a m g; banyaknya cara mendistribusikan anggota-anggota

A ke dalam n wadah yang identik adalah S(m; n): Dari S(m; n) cara pendis- tribusian ini hanya ada dua kemungkinan, yaitu:

1. a m berada di dalam suatu wadah sedirian, atau

2. a m berada di dalam suatu wadah tidak sedirian. Pencacahan kasus yang pertama. Tempatkan a m pada salah satu wadah,

kemudian anggota A yang tersisa didistribusikan ke dalam wadah yang ter- sisa, dengan tidak ada wadah yang kosong, sehingga ada S(m 1; n

1) cara pendistribusian.

Pencacahan kasus yang kedua. Distribusikan anggota A yang tersisa (tanpa a m ) ke dalam ke dalam n wadah tanpa ada yang kosong, sehingga ada S(m 1; n) cara pendistribusian. Pada setiap cara ini, kemudian diikuti pen- empatan a m pada n wadah, sehingga ada n cara penempatan. Bedasarkan Aturan Kali, secara keseluruhan n:S(m 1; n) cara pendistribusian.

Akhirnya, berdasarkan Aturan Jumlah, S(m; n) = S(m 1; n

1) + n:S(m 1; n): 1) + n:S(m 1; n):

Stirling dapat disusun berdasarkan segitiga Pascal. m

21 1 Dari tabel di atas, perhatikan perhitungan berikut.

S(5; 3) = S(4; 2) + 3:S(4; 3) = 7 + 3:6 = 25: S(7; 5) = S(6; 4) + 5:S(6; 5) = 65 + 5:15 = 140: S(8; 4) = S(7; 3) + 4:S(7; 4) = 101 + 4:350 = 1501:

Contoh 3.22 Untuk m n; S(m; i) adalah banyaknya cara yang mungkin

i =1

untuk mendistribusikan m obyek yang berbeda ke dalam n wadah yang iden- tik dengan ada wadah yang kosong diperbolehkan. Perhatikan dari baris ke-4 dalam tabel bilangan Stirling di atas, bahwa ada 1 + 6 + 7 = 14 cara mendis- tribusikan 4 obyek yang berbeda ke dalam 3 wadah yang identik, dengan ada wadah yang kosong diperbolehkan.

Soal 3.3.1 Berikan suatu contoh himpunan berhingga A dan B dengan jAj ; jBj

4 dan fungsi f : A ! B sedemikian sehingga

1. f bukan fungsi injektif maupun surjektif.

2. f fungsi injektif tetapi tidak surjektif.

3. f surjektif tetapi tidak injektif.

4. f surjektif maupun injektif. Soal 3.3.2 Untuk setiap fungsi f : Z ! Z berikut ini, tentukan apakah f

merupakan fungsi injektif dan apakah surjektif. Jika f bukan fungsi surjektif, tentukan imejnya.

a ) f (x) = x + 7

b ) f (x) = 2x 3 c ) f (x) = x+5

d ) f (x) = x 2

e 2 ) f (x) = x 3 +x f ) f (x) = x

Soal 3.3.3 Misalkan A = f1; 2; 3; 4g dan B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g:

1. Ada berapa banyak fungsi dari A ke B?

2. Ada berapa banyak fungsi dari A ke B yang injektif?

3. Ada berapa banyak fungsi dari A ke B yang surjektif?

4. Ada berapa banyak fungsi dari B ke A?

5. Ada berapa banyak fungsi dari B ke A yang injektif?

6. Ada berapa banyak fungsi dari B ke A yang surjektif? Soal 3.3.4

1. Periksalah bahwa

n ( 1) m (n k) =0

k =0

untuk n = 5 dan m = 2; 3; 4:

7 P 5 2. Periksalah bahwa 5 m =

i (i!)S(7; i):

i =1

3. Berilah argumen kombinatorial untuk membuktikan bahwa

(i!)S(n; i);

1. Misalkan A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g dan B = fv; w; x; y; zg: Tentukan banyaknya fungsi f : A ! B dimana

(a) f (A) = fv; xg; (b) jf(A)j = 2; (c) f (A) = fw; x; yg; (d) jf(A)j = 3; (e) f (A) = fv; x; y; zg; dan

(f) jf(A)j = 3:

2. Misalkan A dan B adalah himpunan dengan jAj = m n = jBj : Jika k 2 Z + dengan 1

n; berapa banyaknya fungsi f : A ! B sehingga jf(A)j = k:

Soal 3.3.6 Seorang instruktur laboratorium komputasi mempunyai 5 orang asisten yang diminta untuk menyelesaikan suatu program yang terdiri atas 9 modul. Ada berapa cara sang instruktur menugasi asistennya dengan syarat semua asisten mendapat tugas dan setiap modul tidak boleh dikerjakan oleh lebih dari satu asisten?

Soal 3.3.7 Misalkan kita mempunyai 8 bola dengan warna yang berbeda dan

3 wadah yang diberi nomor I; II; III:

1. Ada berapa cara kita dapat mendistribusikan bola ke dalam wadah se- hingga tidak ada wadah yang kosong?

2. Diketahui salah satu bola berwarna biru. Ada berapa cara kita dapat mendistribusikan bola ke dalam wadah sehingga tidak ada wadah yang kosong dan bola biru ada di wadah nomor II?

3. Jika nomor wadah kita hapus sehingga kita tidak mampu membedakan- nya, ada berapa cara kita dapat mendistribusikan bola ke dalam wadah sehingga tidak ada wadah yang kosong?

4. Jika nomor wadah kita hapus sehingga kita tidak mampu membedakan- nya, ada berapa cara kita dapat mendistribusikan bola ke dalam wadah, dengan ada wadah yang kosong diperbolehkan?

Soal 3.3.8

1. Tentukan dua baris berikutnya (yaitu m = 8 dan m = 9) dalam tabel bilangan Stirling.

2. Tuliskan program komputer (atau membuat algoritme) untuk menghi- tung bilangan Stirling S(m; n) jika 1 m

12 dan 1 n m: Soal 3.3.9

1. Untuk m; n:r 2 Z + dengan m nr; misalkan S r (m; n) menotasikan banyaknya cara mendistribusikan m obyek yang berbeda ke dalam n obyek yang identik, dimana setiap wadah menerima sedikitnya r obyek. Periksalah bahwa

S r (m; n) =

:S r (m r; n

1) + n:S r (m 1; n):

2. Untuk S(m; n) bilangan Stirling dengan m 2; buktikan bahwa m 1 X 1

S(m; 2) = (m 1)!

i =1 i