Konsep Dasar Graf

5.1 Konsep Dasar Graf

De…nisi 5.1 Misalkan V adalah himpunan takkosong dan berhingga, dan misalkan pula E

V V . Pasangan (V; E) disebut graph berarah (di- rected graph – digraph) pada V , dimana V disebut himpunan verteks atau node, dan E disebut himpunan (directed) edge atau arc. Selanjutnya un- tuk menyatakan graph seperti ini ditulis G = (V; E). Jika E himpunan edge takberarah, G = (V; E) disebut graph takberarah.

Contoh 5.1 Dide…nisikan suatu graf berarah G = (V; E) dengan

V = fa; b; c; d; eg dan E = f(a; a); (a; b); (a; d); (b; c)g: Graf ini direpresenratasikan pada Gambar 5.1.

Gambar 5.1

Untuk sembarang edge, misalkan e = (x; y), maka e disebut insiden (inci- dent) dengan verteks x dan y; x disebut adjacent ke y; dan y disebut adjacent dari x: Suatu verteks yang adjacent ke dirinya sendiri disebut loop. Suatu verteks yang tidak adjacent dengan verteks apapun termasuk dirinya sendiri disebut verteks terisolasi. Pada Gambar 5.1, edge (a; a) adalah loop dan verteks e adalah verteks yang terisolasi.

Contoh 5.2 Dide…nisikan suatu graf takberarah G = (V; E) dengan

V = fa; b; c; dg dan E = ffa; bg; fa; dg; fb; cgg Graf ini direpresenratasikan pada Gambar 5.2.

Gambar 5.2

Perhatikan bahwa pada pede…nisian graf takberarah edge-nya diberikan dalam bentuk himpunan, misalnya saja fa; bg: Sesuai dengan pengertian him- punan, ini berarti urutannya tidak diperhatikan, sehingga fa; bg = fb; ag:

Sedangkan pada pede…nisian graf berarah, edge-nya menggunakan pasangan terurut, sehingga (a; b) 6= (b; a): Di dalam diktat ini, jika diberikan suatu graf

G tanpa keterangan apapun (berarah atau takberarah), maka yang dimaksud adalah graf takberarah dan tanpa loop.

De…nisi 5.2 Misalkan x dan y (tidak perlu berbeda) adalah verteks di dalam suatu graph takberarah G = (V; E). Suatu walk x y di dalam G adalah barisan berhingga (bebas loop)

x=x 0 ;e 1 ;x 2 ;e 2 ;:::;e n 1 ;x n 1 ;e n ;x n =y dari verteks dan edge (selang-seling) yang diawali dan diakhiri oleh verteks.

Panjang dari suatu walk, dinotasikan dengan n, adalah banyaknya edge yang terdapat di dalam walk itu. Jika n = 0; berati walk tidak memuat edge, maka walk disebut trivial.

Jika x = y; walk disebut tertutup. Jika x 6= y; walk disebut terbuka. Catatan bahwa bahwa barisan pada de…nisi walk di atas, verteks dan

edge boleh diulang. De…nisi 5.3 Pandang sembarang walk x y dalam suatu graph takberarah

G = (V; E). Jika tidak ada edge yang diulang di dalam barisan x y; maka walk

disebut trail x y: Trail yang tertutup (verteks awal dan akhir sama) disebut sirkuit (circuit). Catatan bahwa di dalam trail, verteks boleh berulang.

Jika setiap verteks hanya muncul sekali (tidak boleh berulang) di dalam barisan x y; maka walk disebut path x y: Path yang tertutup (verteks awal dan akhir sama) disebut cycle.

Pengertian pada de…nisi di atas juga berlaku untuk graph berarah. Hanya saja peristilahannya menjadi: trail berarah, sirkuit berarah, path berarah, dan cycle berarah.

e Gambar 5.3

Contoh 5.3 Dari Gambar 5.3, buatlah suatu contoh:

1. walk a

c dengan panjang 5:

2. trail a

d dengan panjang 5:

3. sirkuit a

a dengan panjang 6:

4. path a

c dengan panjang 4:

a dengan panjang 5: Jawab. Berdasarkan de…nisinya, berikut ini diberikan masing-masing

5. cycle a

satu contoh untuk:

1. walk a

c dengan panjang 5 : fa; bg; fb; dg; fd; ag; fa; bg; fb; cg:

2. trail a

d dengan panjang 5 : fa; bg; fb; eg; fe; cg; fc; bg; fb; dg:

3. sirkuit a

a dengan panjang 6 : fa; bg; fb; eg; fe; cg; fc; bg; fb; dg; fd; ag:

4. path a

c dengan panjang 4 :

fa; bg; fb; dg; fd; eg; fe; cg:

5. cycle a

a dengan panjang 5 : fa; bg; fb; dg; fd; eg; fe; cg; fc; ag:

Teorema 5.1 Misalkan G = (V; E) adalah graph takberarah dengan a; b 2 V dan a 6= b: Jika ada trail di dalam G dari a ke b, maka ada path di dalam G dari a ke b.

b di dalam G; maka dapat dipilih satu yang terpendek, sebut saja

Bukti. Karena ada trail a

(5.1) Jika trail ini tidak mempunyai path, maka ia pasti mempunyai bentuk fa; x 1 g; fx 1 ;x 2 g; :::; fx k 1 ;x k g; fx k ;x k +1 g; fx k +1 ;x k +2 g; :::;

fa; x 1 g; fx 1 ;x 2 g; :::; fx n ; bg:

fx m 1 ;x m g; fx m ;x m +1 g; fx m +1 ;x m +2 g; :::; fx n ; bg;

dimana k < m dan x k =x m ; bisa terjadi k = 0 dan a(= x 0 )=x m ; atau, m = n + 1 dan x k = b(= x n +1 ): Ini adalah suatu kontradiksi, karena barisan

fa; x 1 g; fx 1 ;x 2 g; :::; fx k 1 ;x k g; fx m ;x m +1 g; :::; fx n ; bg merupakan trail yang lebih pendek dari trail (5.1).

De…nisi 5.4 Graph takberarah G disebut terhubung (connected) jika untuk setiap dua verteks yang berbeda terdapat suatu path yang menghubungkan keduanya. Jika tidak demikian G disebut takterhubung (disconnected).

Gambar 5.4

Contoh 5.4 Gambar 5.2 dan Gambar 5.3 merupakan contoh graf terhubung. Sedangkan Gambar 5.4 merupakan contoh graf takterhubung.

Gambar 5.4 merepresentasikan graf takterhubung G = (V; E); dimana V dapat dipartisikan dalam dua subhimpunan V 1 = fa; b; c; dg dan V 2 = fe; fg sedemikian sehingga tidak ada edge fx; yg 2 E dengan x 2 V 1 dan y 2

V 2 . Dalam hal ini Graf G terpartisikan menjadi 2 graf yaitu G 1 = (V 1 ;E 1 ) dan G 2 = (V 2 ;E 2 ), dimana E 1 = ffa; bg; fa; dg; fb; cgg dan E 2 = ffe; fgg: Anggota partisi dari suatu graf takterhubung disebut dengan komponen.

Secara umum, suatu graf dikatakan takterhubung jika ia terpartisikan menjadi lebih dari satu komponen, sedangkan suatu graf dikatakan terhubung jika ia terdiri dari hanya satu komponen. Banyaknya komponen dari suatu graf G dinotasikan dengan K(G): Misalnya, untuk graf G pada Gambar 5.4, K(G) = 2:

De…nisi 5.5 Misalkan V himpunan takkosong dan berhingga. Pasangan (V; E) menentukan multigraf G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E, jika untuk suatu x; y 2 V , ada dua atau lebih edge dalam E berben- tuk:

(x; y) untuk multigraph berarah, atau fx; yg untuk multigrapah takberarah.

Gambar 5.5

Gambar 5.5 merupakan contoh representasi dari suatu multigraf berarah.

Gambar 5.6

Soal 5.1.1 Untuk suatu graf G = (V; E) yang direpresentasikan pada Gam- bar 5.6, tentukan:

1. contoh suatu walk b

d di dalam G yang bukan suatu trail.

2. contoh suatu trail b

d di dalam G yang bukan suatu path.

3. contoh suatu path b

d di dalam G.

4. contoh suatu walk tertutup b

b di dalam G yang bukan suatu sirkuit.

5. contoh suatu sirkuit b

b di dalam G yang bukan suatu cycle.

6. contoh suatu cycle b

d di dalam G.

7. banyaknya semua path b f:

Gambar 5.7

Soal 5.1.2 Misalkan a dan b adalah dua verteks yang berbeda di dalam su- atu graf takberarah dan terhubung. Jarak dari a ke b dide…nisikan sebagai panjang path terpendek dari a ke b (jika a = b; jaraknya dide…nisikan sebagai 0). Untuk suatu graf G yang direpresentasikan pada Gambar 5.7, tentukan jarak dari verteks d ke verteks yang lain di dalam G:

Soal 5.1.3 Untuk n 2; misalkan G = (V; E) adalah graf tak berarah tanpa loop dimana V adalah himpunan semua bitstring dengan panjang n; dan

E = ffu; vg u; v 2 V dan u; v berbeda di tepat 2 posisig: Ilustrasi, misalkan n = 4; u = 1011; v = 0010; dan w = 1010; maka fu; vg 2

E; fu; wg = 2 E; dan fv; wg = 2 E: Tentukan K(G): Soal 5.1.4 Tujuh kota a; b; c; d; e; f; dan g dihubungkan oleh suatu sistem

jalan bebas hambatan sebagai berikut: I-22 menghubungkan dari a ke c melalui b:

I-33 menghubungkan dari c ke d melalui b dan dilanjutkan ke f:

I-44 menghubungkan dari d ke a melalui e: I-55 menghubungkan dari f ke b melalui g: I-66 menghubungkan dari g ke d:

Terkait dengan sistem tersebut, jawablah 6 pertanyaan berikut ini.

1. Dengan merepresentasikan kota sebagai verteks, segmen jalan bebas hambatan sebagai edge berarah, gambarkan graf berarah yang merep- resentasikan sistem di atas.

2. Daftarkan semua path dari g ke a:

3. Tentukan jumlah terkecil segmen jalan yang diharuskan tertutup agar perjalanan dari b ke d terhalang.

4. Apakah mungkin berangkat dari c dan kembali lagi ke c; dan mengun- jungi semua kota yang lain masing-masing hanya sekali.

5. Jawablah Pentanyaan 4: jika tidak diharuskan kembali lagi ke c:

6. Apakah mungkin berangkat dari suatu kota melalui semua jalan masing- masing hanya sekali. (Pada pertanyaan ini dibolehkan mengunjungi suatu kota lebih dari satu kali, dan tidak diharuskan kota terakhir sama dengan kota saat berangkat.)

Soal 5.1.5 Misalkan G = (V; E) adalah graf takberarah dan tanpa loop, dan misalkan pula fa; bg adalah suatu edge di dalam G: Buktikan bahwa fa; bg

adalah anggota dari suatu cycle di dalam G jika dan hanya jika penghapusan fa; bg (verteks a dan b tidak ikut terhapus) tidak menghasilkan graf takter-

hubung. Soal 5.1.6 Berikan suatu contoh graf G yang apabila dihapus sembarang

edge-nya menghasilkan graf takterhubung. Soal 5.1.7 Jawablah 2 pertanyaan berikut ini.

1. Jika G = (V; E) adalah graf takberarah dan tanpa loop, dengan jV j = v dan jEj = e; buktikan bahwa

2e 2 v v:

2. Nyatakan rumusan seperti Pertanyaan 1: untuk kasus graf berarah. Soal 5.1.8 Misalkan G = (V; E) adalah graf takberarah. De…nisikan suatu

relasi R pada V dengan aRb jika dan hanya jika ada suatu path a

b di dalam G. Buktikan bahwa R adalah relasi ekuivalensi. Terangkan bertuk partisi dari V yang disebabkan oleh R:

5.1.1 Subgraf, Komplemen, dan Isomor…sma

De…nisi 5.6 Misalkan G = (V; E) sembarang graf berarah maupun tidak.

G 1 = (V 1 ;E 1 ) disebut subgraf dari G jika ? 6= V 1 V dan E 1 E, dimana setiap edge dalam E 1 insiden dengan verteks di dalam V 1 .

Dari de…nisi ini jelas bahwa G adalah subgraf dari dirinya sendiri, atau

G disebut subgraf trivial dari G:

Gambar 5.8

Contoh 5.5 Misalkan Gambar 5.6 merepresentasikan graf G = (V; E), maka

V = fa; b; c; d; e; f; gg dan

E = ffa; bg; fa; cg; fb; cg; fb; eg; fc; dg; fd; eg; fe; fg; fe; gg; ff; ggg: Berdasarkan de…nisinya, graf G 1 = (V 1 ;E 1 ) yang direpresentasikan pada

Gambar 5.8 merupakan subgraf dari G: Dalam hal ini

V 1 = fa; b; c; d; e; fg

V dan

E 1 = ffa; cg; fb; eg; fc; dg; fd; eg; fe; fg E:

Perhatikan bahwa subgraf taktrivial dari graf G = (V; E) diperoleh den- gan cara menghapus beberapa verteks atau edge dari G: Yang dimaksud meng- hapus edge, misalnya fx; yg; adalah menghilangkan fx; yg dari keanggotaan E; sedangkan verteks x dan y tidak terhapus dari keanggotaan V: Sedangkan yang dimaksud dengan menghapus verteks, misalkan a; adalah menghapus

a dari keanggotaan V dan menghapus semua edge yang inseden dengan a dari keanggotaan E: Pada Contoh 5.5, subgraf G 1 diperoleh dari menghapus verteks g (otomatis fe; gg dan ff; gg terhapus), edge fa; bg dan fb; cg:

De…nisi 5.7 Misalkan G = (V; E) graph berarah maupun tidak. Misalkan pula G 1 = (V 1 ;E 1 ) subgraph dari G. Jika V 1 = V , maka G 1 disebut subgraph spanning dari G.

Dari de…nisi ini, perhatikan bahwa subgraf spanning G 1 diperoleh dari hanya menghapus beberapa edge (tanpa verteks) di dalam G: Graf pada Gam- bar 5.9 merupakan subgraf spanning dari graf pada Gambar 5.7.

Gambar 5.9

De…nisi 5.8 Misalkan G = (V; E) adalah graf berarah atau tidak. Jika ? 6= U

V , subgraf dari G yang dibangkitkan oleh U; dinotasikan hUi; adalah subgraf dengan himpunan verteks U dimana jika x; y 2 U dan (x; y) (atau fx; yg) 2 E, maka (x; y) (atau fx; yg) merupakan edge dari hUi:

Subgraf G 0 dari graf G = (V; E) disebut subgraf induced jika ada ? 6= U

V sehingga G 0 = hUi:

V dan U 6= ?; subgraf induced hUi dari G merupakan graf yang diperoleh dari menghapus semua verteks didalam V yang bukan anggota U: Dengan demikian, subgraf induced dari G diperoleh dari hanya mengapus verteks dari G:

Dari de…nisi ini, perhatikan bahwa jika diberikan U

Contoh 5.6 Diberikan graf G = (V; E) yang direpresentasikan pada Gambar

5.6. Jika U = fa; b; d; f; gg; tentukan subgraf induced G 0 = hUi dari G:

Jawab. Nyatakan G 0 = (U; E 0 ); dan hapuslah verteks c dan e dari G; maka

E 0 = ffa; bg; ff; ggg:

G 0 direpresentasikan pada Gambar 5.10 z

Gambar 5.10

De…nisi 5.9 Misalkan V himpunan n verteks. Graph lengkap pada V , ditulis K n , adalah graph takberarah bebas loop dimana untuk semua a; b 2 V ,

a 6= b, ada suatu edge fa; bg. Dari de…nisi ini, perhatikan bahwa jumlah edge dari K n

n adalah 2 : Gam- bar 5.11 mencontohkan representasi dari K 1 ;K 2 ;K 3 ; dan K 4 :

Gambar 5.11

De…nisi 5.10 Misalkan G adalah graf takberarah bebas loop dengan n verteks. Komplemen dari G, dinotasikan G, adalah subgraph dari K n yang memuat semua verteks dari G dan semua edge dari K n yang tidak termuat dalam G. Jika G = K n , maka G hanya mempunyai n verteks tetapi tidak mempunyai edge sama sekali. Graph seperti ini disebut graf null.

Contoh 5.7 Misalkan G = (V; E) dengan V = fa; b; c; dg dan

E = ffa; bg; fa; cg; fc; dgg:

Tentukan G: Jawab. Nyatakan G = (V; E): Karena himpunan semua edge dari K 4

adalah

ffa; bg; fa; cg; fa; dg; fb; cg; fb; dg; fc; dgg;

maka

E = ffa; dg; fb; cg; fb; dgg:

Gambarkan representasi dari G dan G: z

De…nisi 5.11 Misalkan G 1 = (V 1 ;E 1 ) dan G 2 = (V 2 ;E 2 ) adalah dua graf takberarah. Suatu fungsi f : V 1 !V 2 disebut suatu isomor…sme graf jika:

1. f bijektif.

2. untuk semua a; b 2 V 1 ; fa; bg 2 E 1 jhj ff(a); f(b)g 2 E 2 . Jika fungsi semacam ini ada, G 1 dan G 2 disebut isomor…k.

Gambar 5.12

Contoh 5.8 Tunjukkan bahwa graf G 1 = (V 1 ;E 1 ) dan G 2 = (V 2 ;E 2 ) yang direpresentasikan pada Gambar 5.12 adalah isomo…k.

Jawab. Karena jV 1 j = jV 2 j ; maka syarat pertama dipenuhi, yaitu ada fungsi bijektif dari V 1 ke V 2 : Dari 4! fungsi bijektif yang bisa (mungkin)

dide…nisikan dari V 1 ke V 2 , dipilih fungsi bijektif yang memenuhi syarat kedua. Dengan melihat struktur graf G 1 dan G 2 ; dipilih fungsi bijektif h:V 1 !V 2 yang de…nisinya

h(a) = w; h(b) = u; h(c) = v; dan h(d) = t:

Perhatikan bahwa syarat kedua dipenuhi oleh h; yaitu fa; bg 2 V 1 $ fh(a); h(b)g = fw; ug 2 V 2 ;

fa; cg 2 V 1 $ fh(a); h(c)g = fw; vg 2 V 2 ; fc; dg 2 V 1 $ fh(c); h(d)g = fv; tg 2 V 2 ; dan fb; dg 2 V 1 $ fh(b); h(d)g = fu; tg 2 V 2 :

Jadi, h adalah isomor…sme dari G 1 ke G 2 ; sehingga G 1 dan G 2 isomor…k. z Syarat pertama pada De…nisi 5.11 menunjukkan bahwa jika jV 1 j 6= jV 2 j;

maka langsung dapat kita simpulkan bahwa G 1 dan G 2 tidak isomor…k (karena tidak akan ada fungsi bijektif dari V 1 ke V 2 ). Demikian pula un- tuk syarat yang kedua, apabila jE 1 j 6= jE 2 j ; maka dapat dipastikan bahwa

G 1 dan G 2 tidak isomor…k (karena tidak akan mungkin ada padanan 1 1 antar edge dari G 1 dan G 2 ). Walaupun demikian, seandainya telah dipenuhi bahwa jV 1 j = jV 2 j dan jE 1 j = jE 2 j ; kita masih belum bisa menentukan bahwa

G 1 dan G 2 isomor…k. Dalam hal ini kita hanya bisa mende…nisikan fungsi G 1 dan G 2 isomor…k. Dalam hal ini kita hanya bisa mende…nisikan fungsi

Gambar 5.13

Contoh 5.9 Jelaskan bahwa graf G 1 = (V 1 ;E 1 ) dan G 2 = (V 2 ;E 2 ) yang direpresentasikan pada Gambar 5.13 adalah tidak isomo…k.

Jawab. Pada contoh ini dipenuhi bahwa jV 1 j = jV 2 j dan jE 1 j = jE 2 j; sehingga jelas ada fungsi bijektif dari V 1 ke V 2 : Kemudian, adakah fungsi

bijektif yang memenuhi syarat kedua pada de…nisi? Jika dilihat dari strutur

G 1 ; graf ini memuat subgraf K 4 : Seandainya ada isomor…sme dari G 1 ke G 2 ; maka isomor…sme ini akan memetakan K 4 dari dalam G 1 ke K 4 di dalam

G 2 : Akan tetapi, faktanya struktur G 2 tidak mempunyai subgraf K 4 : Kes- impulannya, tidak ada isomor…sme dari G 1 ke G 2 ; berarti G 1 dan G 2 tidak isomor…k.

yz

Gambar 5.14

Soal 5.1.9 Misalkan graf G 1 dan G 2 direpresentasikan pada Gambar 5.14. Periksalah apakah G 1 dan G 2 isomor…k.

Gambar 5.15

Soal 5.1.10 Misalkan graf G; G 1 ; dan G 2 direpresentasikan pada Gambar

1. Terangkan (berdasarkan pengertian penghapusan) mengapa G 1 meru- pakan subgraf induced dari G:

2. Terangkan (berdasarkan pengertian penghapusan) mengapa G 2 meru- pakan subgraf induced dari G:

3. Tentukan banyaknya subgraf terhubung dari G yang mempunyai 4 verteks dan satu cycle.

4. Gambarkan subgraf dari G yang dibangkitkan oleh himpunan verteks U = fb; c; d; f; i; jg:

5. Misalkan edge e = fc; fg: Jika G e dimaknai menghapus edge e di

dalam G; gambarkan subgraf G e :

6. Berikan suatu contoh subgraf dari G yang bukan subgraf induced.

7. Tentukan banyaknya subgraf spanning dari G:

8. Tentukan banyaknya subgraf spanning dari G yang terhubung.

9. Tentukan banyaknya subgraf spanning dari G yang mempunyai verteks

a sebagai verteks terisolasi. Soal 5.1.11 Misalkan G = (V; E) adalah suatu graf takberarah.

1. Tentukan banyaknya subgraf spanning yang juga merupakan subgraf in- duced dari G:

2. Jika jV j

2 dan setiap subgraf induced dari G terhubung, jelaskan bagaimana struktur dari G:

Soal 5.1.12 Tentukan semua graf takberarah tanpa loop yang mempunyai 4 verteks dan saling tidak isomor…k. Kemudian, ada berapa banyak diantara jawaban tersebut yang terhubung.

Soal 5.1.13 Tentukan banyaknya path yang panjangnya 4 di dalam K 7 : Se- lanjutnya, jika m; n 2 Z + dengan m < n; tentukan banyaknya path yang

panjangnya m di dalam K n : Soal 5.1.14 Misalkan G adalah graf takberarah tanpa loop yang mempunyai

v verteks dan e edge. Tentukan jumlah semua edge di dalam G:

Soal 5.1.15 Misalkan G 1 dan G 2 adalah graf takberarah tanpa loop. Buk- tikan bahwa G 1 dan G 2 isomor…k jika dan hanya jika G 1 dan G 2 isomor…k.

Gambar 5.16

Soal 5.1.16 Perluaslah De…nisi 5.11 untuk graf berarah. Kemudian, perik- salah apakah graf G 1 dan G 2 yang direpresentasikan pada Gambar 5.15 adalah isomor…k.

5.1.2 Derajat Verteks

De…nisi 5.12 Misalkan G graf takberarah atau multigraph. Untuk setiap verteks v dari G, derajat v, dinotasikan deg(v), adalah banyaknya edge dalam

G yang insiden dengan v. Suatu loop dipandang sebagai dua edge insiden untuk v.

Sebagai contoh untuk graf pada Gambar 5.9,

deg(a) = deg(d) = deg(e) = deg(l) = deg(m) = deg(i) = 1; deg(g) = deg(h) = 2; deg(k) = deg(f ) = 3; dan deg(j) = 0:

Teorema 5.2 Jika G = (V; E) adalah graph takberarah atau multigraph, maka

deg(v) = 2 jEj :

v 2V

Bukti. Perhatikan bahwa setiap edge fa; bg di dalam G memberikan hitungan 1 pada deg(a) dan deg(b): Akibatnya, untuk setiap edge di dalam

G menyumbangkan hitungan 2 pada v P

2V deg(v): Dengan demikian, 2 jEj = v 2V deg(v):

Akibat 5.1 Untuk sembarang graph atau multigraph, jumlah semua verteks berderajat ganjil adalah genap.

Bukti. Jelas bahwa jumlah semua verteks berderajat genap adalah genap. Sedangkan menurut Teorema 5.2, jumlah derajat adalah semua verteks adalah genap. Akibatnya, jumlah semua verteks berderajat ganjil haruslah genap.

De…nisi 5.13 Suatu graf takberarah (atau multigraf) disebut reguler jika setiap verteksnya berderajat sama. Jika deg(v) = k untuk setiap verteks v; maka grafnya disebut reguler-k: Graf lengkap K n merupakan graf reguler- (n 1):

Misalkan graf G = (V; E) adalah reguler-k; berdasarkan Teorema 5.2, maka

X deg(v) = 2 jEj , k jV j = 2 jEj ,

Contoh 5.10 Misalkan graf G = (V; E) adalah reguler-k. Jelaskan hubun- gan antara jumlah verteks dan edge yang mungkin, yang terkait dengan pen- de…nisian dan struktur G, untuk nilai 1 k 3:

Jawab. Kita gunakan Persamaan (5.2) untuk menjawab pertanyaan ini. Untuk k = 1; berarti jV j = 2 jEj. Graf reguler-1 mempunyai jumlah

verteks genap, terpartisikan menjadi jvj

2 komponen (untuk jvj > 2; graf ini takterhubung), dan masing-masing komponen berupa graf reguler-1 dengan

2 verteks. Untuk k = 2; berarti jV j = jEj. Graf reguler-2 mempunyai jumlah verteks

dan edge yang sama. Untuk jvj = 1; graf reguler-2 mempunyai 1 loop. Untuk jvj = 2; graf reguler-2 merupakan multigraf dengan 2 edge paralel. Untuk jvj > 2, graf reguler-2 merupakan cycle dengan panjang jvj :

3 . Agar graf reguler-3 terde…nisikan, nilai jV j dan jEj harus intejer positif. Dengan demikian, jEj haruslah kelipatan

2 Untuk k = 3; berarti jV j = jEj 2 Untuk k = 3; berarti jV j = jEj

bisa berupa K 4 , atau merupakan multigraf (merupakan cycle dengan panjang

4 dan masing-masing verteks mempunyai 1 loop). Terangkan lebih jauh untuk jvj > 6 (cukup banyak kemunkinan).

Soal 5.1.17 Tentukan jV j untuk graf atau multigraf berikut.

1. G mempunyai 9 edge dan semua verteks berderajat 3:

2. G adalah reguler dengan 15 edge.

3. G mempunyai 10 edge dengan 2 verteks berderajat 4 dan verteks lainnya berderajat 3:

Soal 5.1.18 Jika G = (V; E) adalah graf terhubung dengan jEj = 17 dan deg(v)

3 untuk setiap v 2 V; tentukan nilai maksimum dari jV j :

Soal 5.1.19 Misalkan G = (V; E) adalah garf takberarah dan terhubung.

1. Tentukan nilai terbesar dari jV j jika jEj = 19 dan deg(v)

4 untuk setiap v 2 V: