Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

3.4 Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

De…nisi 3.10 Suatu fungsi f : A ! B disebut bijektif (korespondensi satu- satu), jika f injektif dan sekaligus bijektif.

Contoh 3.23 Jika A = f1; 2; 3; 4g dan B = fw; x; y; zg; perhatikan bahwa

f = f(1; z); (2; y); (3; w); (4; x)g

adalah dua fungsi bijektif dari A ke B; sedangkan

g = f(w; 3); (x; 4); (y; 2); (z; 1)g

adalah dua fungsi bijektif dari B ke A: Dari de…nisi di atas jelas bahwa jika f : A ! B adalah bijektif, maka

jAj = jBj: Terkait dengan konsep pencacahan, sisi kombinatorik dari de…nisi fungsi bijektif diberikan dalam konklusi berikut.

Konklusi 6 Untuk sembarang himpunan berhingga tak-kosong A dan B den- gan jAj = n dan jBj = n; maka ada sebanyak

n! = n(n 1)(n 2):::1

cara mende…nisikan fungsi bijektif dari A ke B: De…nisi 3.11 Jika suatu fungsi f : A ! A adalah bijektif , maka f disebut

permutasi pada A. Contoh 3.24 Misalkan A = f1; 2; 3; 4; 5g; suatu permutasi p : A ! A

dide…nisikan sebagai:

p(1) = 3; p(2) = 5; p(3) = 4; p(4) = 2; p(5) = 1:

Permutasi dapat dinyatakan dalam berbagai macam cara. Salah satu cara penulisan yang cukup sering dipakai adalah sebagai berikut:

dimana baris yang atas adalah larik (array) sebagai domain dari p; sedangkan baris yang bawah adalah larik sebagai imej dari p:

De…nisi 3.12 Fungsi bijektif 1 A : A ! A yang dide…nisikan dengan 1 A (a) = a; 8a 2 A; disebut fungsi (permutasi) identitas pada A:

De…nisi 3.13 Dua fungsi f; g : A ! B dikatakan sama, ditulis f = g; jika

f (a) = g(a), 8a 2 A: Contoh 3.25 Perhatikan dua fungsi f; g : R ! Z yang dide…nisikan dengan

x;

jika x 2 Z

f (x) =

bxc + 1; jika x 2 R r Z

g(x) = dxe; 8x 2 R: Jika x 2 Z; maka f(x) = x = dxe = g(x): Untuk x 2 R r Z; dapat ditulis

x = n + r; dimana n 2 Z dan 0 < r < 1;

maka

f (x) = bxc + 1 = n + 1 = dxe = g(x):

Kesimpulannya, walaupun f dan g mempunyai rumus yang berbeda, f = g: De…nisi 3.14 Misalkan f : A ! B dan g : B ! C; fungsi komposit dari

f dan g; dinotasikan g f : A ! C; dide…nisikan dengan

(g f )(a) = g(f (a)); 8a 2 A:

Contoh 3.26 Misalkan A = f1; 2; 3; 4g; B = fa; b; cg, dan C = fw; x; y; ; zg dengan f : A ! B dan g : B ! C dirumuskan

f = f(1; a); (2; a); (3; b); (4; c)g dan g = f(a; x); (b; y); (c; z)g: Untuk setiap a 2 A; diperoleh (g f )(1) = g(f (1)) = g(a) = x

(g f )(2) = g(f (2)) = g(a) = x (g f )(3) = g(f (3)) = g(b) = y

(g f )(4) = g(f (4)) = g(c) = z; Jadi

g f = f(1; x); (2; x); (3; y); (4; z)g:

Dengan mudah dapat dilihat bahwa secara umum fungsi komposit tidak komutatif. Dalam hal ini, ada pasangan fungsi f dan g sehingga g f 6= f g:

Teorema 3.4 Jika fungsi f : A ! B dan g : B ! C keduanya bijektif, maka g f juga bijektif.

Bukti. Asumsikan bahwa f dan g bijektif. Akan dibuktikan bahwa g f bijektif, yaitu:

1. g f injektif. Untuk sembarang x; y 2 A (g f ) (x) = (g f ) (y) ) g (f (x)) = g (f (y)) ) f (x) = f (y) ) x = y

2. g

f surjektif. Ambil sembarang z 2 C: Karena g surjektif, maka 9y 2 B sehingga z = g (y) : Dari adanya y 2 B; karena f surjektif, maka 9x 2 B sehingga y = f (x) : Akibatnya,

z = g (y) = g (f (x)) = (g f ) (x) : z

Teorema 3.5 (Hukum Asosiatif) Jika fungsi f : A ! B, g : B ! C, dan

h : C ! D; maka

(h g) f = h (g f ):

Bukti. Ambil sembarang x 2 A; maka

[(h g) f ] (x) = (h g) (f (x)) = h (g (f (x))) = h ((g f ) (x)) = [h (g f )] (x)

De…nisi 3.15 Jika f : A ! A; dide…nisikan f n = f; dan 8n 2 Z ;f +1 =

f n f : Contoh 3.27 Misalkan A = f1; 2; 3; 4g dan f : A ! A dide…nisikan dengan

f = f(1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 3)g;

maka

f 2 =f

f = f(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 1)g

f 3 =f f 2 =f f f = f(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 2)g: De…nisi 3.16 Jika R adalah relasi dari himpunan A ke B; maka konvers

dari R; dinotasikan R c ; dide…nisikan

R c := f(b; a)=(a; b) 2 Rg:

Contoh 3.28 Misalkan A = f1; 2; 3g dan B = fw; x; yg; fungsi f : A ! B dirumuskan

f = f(1; w); (2; x); (3; y)g;

maka

f c = f(w; 1); (x; 2); (y; 3)g

adalah fungsi dari B ke A, dan perhatikan bahwa

c f c f=1

A dan f f =1 B :

De…nisi 3.17 Misalkan f : A ! B; maka f dikatakan invertibel apabila ada fungsi g : B ! A sedemikian sehingga

gf=1 A dan f g=1 B :

Contoh 3.29 Misalkan f; g : R ! R dirumuskan dengan

f (x) = 2x + 5 dan g(x) = (x 5);

maka

(g f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 5) = ((2x + 5)

5) = x = 1 R (x)

1 1 (f g)(x) = f (g(x)) = f ( (x 5)) = 2( (x 5)) + 5 = x = 1 R (x):

Kesimpulannya, f dan g adalah dua fungsi yang saling invertibel. Teorema 3.6 Jika f : A ! B adalah invertibel dan g : B ! A memenuhi

gf=1 A dan f g=1 B ;

maka g adalah tunggal (unik). Dalam hal ini g disebut invers dari f; dino- tasikan g = f 1 ; selanjutnya

1 c 1 f 1 =f dan (f ) = f:

Bukti. Misalkan fungsi h : B ! A juga memenuhi

hf=1 A dan f h=1 B ;

maka

h=h1 B = h (f

g) = (h f ) g = 1 A g=g z

Teorema 3.7 f : A ! B invertibel jika dan hanya jika f bijektif.

Bukti. ()) Misalkan f invertibel, maka ada tepat satu f 1 sehingga

1 f 1 f=1

A dan f f =1 B :

Akan dibuktikan f bijektif, yaitu:

1. f injektif. Untuk sembarang x; y 2 A,

1 f (x) = f (y) ) f 1 (f (x)) = f (f (y)) ) 1

A (x) = 1 A (y) ) x = y

2. f surjektif. Ambil sembarang y 2 B; maka ada x 2 A; yaitu x =

f 1 (y) ; sehingga

B (y) = y: (() Asumsikan bahwa f bijektif, maka (8y 2 B) (9!x 2 A) sehingga y =

f (x) = f f 1 (y) = 1

f (x) : Akibatnya, dapat dide…nisikan fungsi g : B ! A dengan g (y) = x sehingga

g (f (x)) = x , (g f) (x) = x , 1 A (x) = x dan

f (g (y)) = f (x) = y , (f g) (y) = y , 1 B (y) = y Jadi, g = f 1 sehingga f invertibel.

z Contoh 3.30 Fungsi f : 2 R ! R yang dirumuskan dengan f(x) = x tidak

invertibel karena f tidak bijektif. Akan tetapi fungsi g : A ! B dimana

A = B = [0; +1) dan g dirumuskan dengan g(x) = x 2 adalah invertibel.

p Dalam hal ini, g 1 (x) = x:

Teorema 3.8 Jika fungsi f : A ! B dan g : B ! C keduanya invertibel, maka g f : A ! C adalah invertibel dan

1 1 (g f ) 1 =f g :

Bukti. Asumsikan f dan g invertibel, maka ada funsi f 1 : B ! A dan

g 1 : C ! B sehingga

1 f 1 f=1

A dan f f =1 B :

1 g 1 g=1

B dan g g =1 C

Berdasarkan Teorema 3.4, g f juga invertibel dengan invers (g f ) 1 dan

(g f ) 1 (g f ) = 1

Di lain pihak,

1 1 1 1 (f 1 g ) (g f ) = f g g f=f 1

=f 1 f=1

Jadi, (g f ) 1 =f 1 g 1 :

Contoh 3.31 Untuk m; b 2 R; m 6= 0; fungsi f : R ! R dide…nisikan den- gan f = f(x; y) y = mx + bg merupakan fungsi invertibel, karena jelas f

bijektif. Untuk mendapatkan f 1 ; perhatikan bahwa

1 f c = f(x; y) y = mx + bg = f(y; x) y = mx + bg

= f(x; y) x = my + bg = f(x; y) y = (x bg:

Jadi, f 1 : R ! R dide…nisikan dengan f 1 (x) = 1 m (x bg:

De…nisi 3.18 Jika f : A ! B dan B 1 B; maka

f 1 (B

1 ) = fx 2 A f(x) 2 B 1 g

disebut preimej dari B 1 oleh f:

Contoh 3.32 Misalkan A; B 2 Z + dimana A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g dan B = f6; 7; 8; 9; 10g: Jika f : A ! B dengan

f = f(1; 7); (2; 7); (3; 8); (4; 6); (5; 9); (6; 9)g;

maka perhatikan contoh-contoh berikut.

1. Untuk B

1 = f6; 8g B; diperoleh f (B 1 ) = f3; 4g; karena f (3) = 8 dan f (4) = 6; dan untuk sembarang a 2 A; f(a) = 2B 1 kecuali jika

a = 3 atau a = 4: Dalam hal ini jf 1 (B

1 )j = 2 = jB 1 j:

2. Dalam hal B 2 = f7; 8g

B; karena f (1) = f (2) = 7 dan f (3) = 8;

maka kita dapatkan bahwa f 1 (B

2 ) = f1; 2; 3g: Dalam hal ini, jf (B 2 )j =

3 > 2 = jB 2 j:

3. Untuk B 3 = f8; 9g B; maka f 1 (B 3 ) = f3; 5; 6g karena f (5) =

f (6) = 9 dan f (3) = 8: Dalam hal ini, jf 1 (B

3 )j = 3 > 2 = jB 3 j:

4. Untuk B 1

4 = f8; 9; 10g B; maka f (B 3 ) = f3; 5; 6g karena f (5) =

1 f (6) = 9 dan f (3) = 8: Perhatikan bahwa jf 1 (B

4 )j = jf (B 3 )j walaupun B 4 B 3 : Hal ini karena tidak ada a 2 A sehingga f(a) = 10; berarti f 1 (f10g) = ?:

Teorema 3.9 Jika f : A ! B dan B 1 ;B 2 B; maka

Teorema 3.10 Misalkan f : A ! B untuk A dan B himpunan berhingga dimana jAj = jBj ; maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen:

1. f fungsi injektif,

2. f fungsi surjektif, dan

3. f fungsi invertibel. Soal 3.4.1

1. Untuk A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g; ada berapa banyak fungsi bijektif f : A !

A yang memenuhi f (1) 6= 1?

2. Jika A = fx x 2 Z + ;1

ng untuk suatu n 2 Z + ; ada berapa banyak fungsi bijektif f : A ! A yang memenuhi f(1) 6= 1?

Soal 3.4.2

1. Untuk A = f 2; 7g R dide…nisikan fungsi g; f : A ! R dengan

Periksalah bahwa f = g:

2. Dari Pertanyaan 1 apakah masih tetap f = g apabila g; f : A ! B dimana B = f 7; 2g:

Soal 3.4.3 Misalkan f; g; h : Z ! Z dide…nisikan dengan f(x) = x 1; g(x) = 3x; dan

0; jika x genap h(x) = 1; jika x ganjil.

Soal 3.4.4 Misalkan f : A ! B dan g : B ! C. Buktikan bahwa:

1. Jika g f surjektif, maka g surjektif.

2. Jika g f injektif, maka f injektif. Soal 3.4.5 Pada masing-masing fungsi f : R ! R yang dide…nisikan berikut

ini, tentukan apakah f invertibel, jika ya, tentukan f 1 :

1. f = f(x; y) 2x + 3y = 7g:

2. f = f(x; y) ax + by = c; b 6= 0g:

3. f = f(x; y) y = x 3 g:

4. f = f(x; y) y = x 4 + xg: Soal 3.4.6 Jika A; B

Z + dengan A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g, B = f2; 4; 6; 8; 10; 12g; dan f : A ! B dimana

f = f(1; 2) ; (2; 6) ; (3; 6) ; (4; 8) ; (5; 6) ; (6; 8) ; (7; 12)g;

tentukan preimej B 1 oleh f yang diketahui berikut ini.

d )B 1 = f6; 8; 10g e) B 1 = f6; 8; 10; 12g f) B 1 = f10; 12g Soal 3.4.7 Misalkan f : R ! R dide…nisikan dengan

8 < x + 7;

f (x) =

2x + 5; 0<x 3 :

: x 1;

Tentukan:

1 1 1 1 1 1. f 1 ( 10); f (0); f (4); f (6); f (7); dan f (8):

2. preimej oleh f dari selang

a ) [ 5; 1] b) [ 5; 0] c) [ 2; 4] d) [5; 10] e) [11; 17] Soal 3.4.8 Misalkan f :

R ! R dide…nisikan dengan f (x) = x 2 ; Untuk setiap subhimpunan B

R berikut ini, carilah f 1 (B):

a ) B = f0; 1g b) B = f 1; 0; 1g c) B = [0; 1]

f ) B = (0; 1] [ (4; 9) Soal 3.4.9

d ) B = [0; 1) e ) B = [0; 4]

1. Misalkan A = f1; 2; 3; 4; 5g dan B = f6; 7; 8; 9; 10; 11; 12g: Ada berapa cara mende…nisikan fungsi f : A ! B sehingga f 1 (f6; 7; 8g) = f1; 2g?

2. Jika jAj = jCj = 5; ada berapa cara mende…nisikan fungsi f : A ! C sehingga f invertibel.

Soal 3.4.10 Buktikan semua teorema di didalam subbab ini!