Aritmatik Intejer Modulo n

2.5 Aritmatik Intejer Modulo n

Misalkan n adalah intejer positif. De…nisi 2.6 Jika a dan b adalah intejer, maka a disebut kongruen ke b

modulo n; ditulis a b(mod n); apabila n membagi (a b): Intejer n disebut modulus dari kongruensi.

Contoh 2.24 24

9 = 3:5; dan 11 17(mod 7) karena 11 17 = ( 4)(7):

9(mod 5) karena 24

Teorema 2.11 (Sifat-sifat kongruensi) Untuk semua a; a 1 ; b; b 1 ; c 2 Z; maka berlaku berikut ini.

1. a b(mod n) , a dan b mempunyai sisa yang sama apabila dibagi n:

2. Re‡eksif.: a a(mod n):

3. Simetrik: jika a b(mod n); maka b a(mod n):

4. Transitif: jika a b(mod n) dan b c(mod n); maka a c(mod n):

5. Jika a a 1 (mod n) dan b

b 1 (mod n); maka a + b a 1 +b 1 (mod n) dan ab a 1 b 1 (mod n):

De…nisi 2.7 Intejer modulo n; dinotasikan Z n ; adalah himpunan (kelas ekuavalensi) intejer f0; 1; 2; :::; n 1g yang dikenai operasi: jumlah dan kali

diperlakukan dalam modulo n. Untuk a; b; c 2 Z n ;

a+b=c,a+b c(mod n)

ab = c , ab c(mod n) Contoh 2.25 Z 10 = f0; 1; 2; :::; 9g: Di dalam Z 10 ; 6+7=3

De…nisi 2.8 Misalkan a 2 Z n ; Invers multiplikatif dari a modulo n adalah suatu intejer x 2 Z n sehingga ax

1(mod n): Faktanya tidak se- mua anggota Z n mempunyai invers (x belum tentu ada). Dalam hal x yang bersangkutan ada, maka a disebut invertibel dan x disebut invers dari a;

dinotasikan x = a 1 : Selanjutnya, a dibagi b modulo n diartikan sebagai a kali b 1 modulo n:

Teorema 2.12 Misalkan a 2 Z n ; a adalah invertible jika dan hanya jika gcd(a; n) = 1:

Contoh 2.26 Di dalam Z 9 ; unsur-unsur yang invertibel adalah 1; 2; 4; 5; 7; dan 8: Dalam hal ini, 7 1 = 4 karena 7:4

1 (mod 9):

Catatan 2.1 Berdasarkan Teorema 2.6, gcd(a; n) = 1 jika dan hanya jika ada intejer x dan y sehingga

ax + ny = 1 , ax 1= ny , ax

1 (mod n):

Ini berarti x adalah invers dari a modulo n dan untuk menghitung x dapat digunakan Prosedur 7, dengan input a dan n:

327 1 mod 500

: (263 162) mod 500 = 106 De…nisi 2.9 Grup multiplikatif dari Z n adalah himpunan

Z n = fa 2 Z n = gcd(a; n) = 1g

Contoh: Z 10 = f1; 3; 7; 9g, Z 15 = f1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14g, dan Z 5 = f1; 2; 3; 4g: Kardinalitas dari Z n ; yaitu jZ n j; disebut dengan bilangan Phi Euler dinotasikan dengan (n) ;

(n) = jZ n j:

Teorema 2.13 (Teorema Fermat) Misalkan p adalah prima. Jika gcd(a; p) = 1; maka

p a 1 1 (mod p):

Khususnya, untuk sembarang intejer a;

a p a (mod p)

Teorema 2.14 (Teorema Euler) Jika a 2 Z n ; maka

a (n) 1 (mod n):

Teorema 2.15 Jika p dan q adalah dua intejer positif dengan gcd(p; q) = 1; maka

(pq) = (p): (q):

Khususnya, jika p dan q keduanya prima, maka

(pq) = (p 1)(q 1)

Soal 2.5.1 Tanpa melakukan “perkalian yang panjang”, tunjukkan bahwa:

1. 1234567 90123 1(mod 10):

3(mod 25):

Soal 2.5.2 Misalkan diberikan intejer x dan m

2: Apabila x dibagi m, maka ada intejer r yang memenuhi

x r(mod m); 0 r<m

dan sering kali disebut residu tak-negatif terkecil dari x (mod m): Ten- tukan residu tak-negatif terkecil dari

15 3 81 (mod 17) dan 15 (mod 13):

Soal 2.5.3 Misalkan (x n x n 1 :::x 0 ) 10 adalah representasi basis 10 dari intejer positif x: Tunjukkan bahwa

0 x 1 +x 2 x 3 + ::: + ( 1) x n (mod 11); dan gunakan hasil ini untuk memeriksa apakah 1213141516171819 habis dibagi

11: Soal 2.5.4 Tentukan invers dari

a) 2 di dalam Z 11 ;

b) 7 di dalam Z 15 ;

d) 5 di dalam Z 13 : Soal 2.5.5 Gunakan Prosedur 7 untuk menentukan invers dari

c) 7 di dalam Z 16 ;

a) 37 di dalam Z 120 ;

b) 123 di dalam Z 550 ;

d) 1115 di dalam Z 2664 : Soal 2.5.6 Gunakan teorema Fermat untuk

c) 400 di dalam Z 1923 ;

1. menghitung sisa apabila 3 47 dibagi 23:

2. membuktikan bahwa

(a + b) p a +b (mod p)

dimana a; b; p 2 Z dan p prima. Soal 2.5.7 Misalkan p prima, dengan memperhatikan produk semua unsur