Algoritme Euclid
2.4 Algoritme Euclid
Bahasan yang diberikan pada bagian ini dan pada bagian berikutnya meru- pakan landasan dasar dari teori bilangan. Berapa teorema dan sifat-sifat diberikan tanpa disertai bukti dengan alasan bahwa seluruh materinya akan dibahas lebih rinci di matakuliah Pengantar Teori Bilangan.
De…nisi 2.3 Untuk a; b 2 Z, suatu intejer positif x dikatakan pembagi bersama dari a dan b jika x j a dan x j b: Selanjutnya, untuk a dan b tidak keduanya nol, c 2 Z + disebut pembagi bersama terbesar dari a dan
b; dinotasikan dengan c = gcd (a; b) ; jika c adalah yang terbesar diantara semua pembagi bersama dari a dan b, atau dengan kata lain
c = maxfx 2 Z + (x j a) ^ (x j b)g:
Teorema 2.5 Misalkan c = gcd (a; b) : Jika pembagi bersama d dari a dan b; maka d j c:
Teorema 2.6 Untuk setiap a; b 2 Z + ; ada tepat satu c 2 Z sehingga c = gcd (a; b) : Selanjutnya ada x; y 2 Z sehingga c = xa + yb (c adalah suatu
kombinasi linear dari a dan b): Sifat-sifat dasar dari pembagi bersama terbersar dapat dirinci sebagai
berikut. Misalnya c = gcd (a; b) ; maka:
1. c adalah intejer positif terkecil dari himpunan fxa + yb=x; y 2 Zg:
2. Jika d = sa + tb untuk suatu s; t 2 Z; maka c j d:
3. gcd (a; b) = gcd ( a; b) = gcd (a; b) = gcd ( a; b) = gcd (b; a) :
4. gcd (a; 0) = jaj dan gcd (0; 0) tak terde…nisikan.
a 5. c = gcd (a; b) ) gcd b
c ; c = 1:
Intejer a dan bdisebut prima relatif jika gcd (a; b) = 1; selanjutnya ada x; y 2 Z sehingga xa + yb = 1:
Contoh 2.18 Karena gcd (42; 70) = 14; maka ada x; y 2 Z; sehingga
42x + 70y = 14 , 3x + 5y = 1:
Mudah diperiksa bahwa x = 2 dan y =
1 adalah solusinya. Kemudian untuk k 2 Z;
3(2 + 5k) + 5( 1 3k) = 1;
juga
42(2 5k) + 70( 1 + 3k) = 14:
Jadi nilai x dan y tidak tunggal. Teorema 2.7 (Algoritme Euclid) Misalkan a; b 2 Z + ; jika dengan algo- ritme pembagian berlaku langkah-langkah berikut ini:
Langkah ke-1 a=q 1 b+r 1 0<r 1 <b Langkah ke-2
b=q 2 r 1 +r 2 0<r 2 <r 1 Langkah ke-3
, Langkah ke-(i+2) r i =q i +2 r i +1 +r i +2
Langkah ke-k
r k 2 =q k r k 1 +r k
0<r k <r k 1
Langkah ke-(k+2) r k 1 =q k +1 r k :
maka r k = gcd (a; b) :
Contoh 2.19 Dengan algoritma Euclid, tentukan gcd(250; 111); kemudian tentukan x; y 2 Z sehingga gcd(250; 111) = 250x + 111y:
Jawab. Perhatikan langkah-langkah berikut ini. Langkah ke-1 250 = 2(111) + 28
0 < 28 < 111 Langkah ke-2 111 = 3 (28) + 27
0 < 27 < 28 Langkah ke-3 28 = 1(27) + 1
0 < 1 < 27 Langkah ke-4 27 = 27(1) + 0
Maka gcd(250; 111) = 1: Perhatikan bahwa langkah-langkah algotima Euclid bisa diringkas penulisannya dengan menggunakan sifat-sifat gcd berikut
gcd(250; 111) = gcd(111; 28) = gcd(28; 27)
= gcd(28; 27) = gcd(27; 1) = gcd(1; 0) = 1:
Selanjutnya, untuk mendapatkan kombinasi linearnya kita lakukan langkah balik. Perhatikan pada Langkah ke-3:
Secara umum, untuk k 2 Z;
1 = (4 111k) 250 + ( 9 + 250k) 111:
z Terkait dengan implementasi, algoritme Euclid dapat dirinci dalam Prose-
dur 6 untuk mencari gcd (a; b) dimana a; b 2 Z + :
PROSEDUR 6 procedure gcd(a; b: intejer positif, a b) begin
r := a mod b
d := b while r > 0 do begin
c := d
d := r r := c mod d end return(d) end
De…nisi 2.4 Misalkan a; b 2 Z: Suatu interjer positif x disebut kelipatan bersama dari a dan b jika x adalah kelipatan dari kedua a dan b; atau dengan
kata lain
(a j x) ^ (b j x)
Untuk a dan b semuanya tak nol, c disebut kelipatan bersama terkecil dari
a dan b; dinotasikan c = lcm (a; b) ; jika c adalah yang terkecil dari semua kelipatan bersama dari a dan b; atau dengan kata lain
c = minfx 2 Z + (a j x) ^ (b j x)g:
Sifat-sifat dasar dari kelipatan bersama terkecil dinyatakan sebagai berikut.
1. 8n 2 Z + ; berlaku
lcm(1; n) = lcm(n; 1) = n:
2. 8a; n 2 Z + ; berlaku
lcm(a; na) = na:
3. Jika a; m; n 2 Z + dengan m n; maka
lcm(a m ;a )=a dan gcd(a ;a )=a : Teorema 2.8 Misalnya c = lcm (a; b) : Jika y adalah kelipatan bersama dari
a dan b; maka c j y:
Teorema 2.9 Untuk a; b 2 Z + ;
ab = lcm (a; b) : gcd (a; b) :
Jelas bahwa, jika a dan b adalah prima relatif, maka
lcm (a; b) = ab:
Contoh 2.20 Tentukan lcm(168; 456): Jawab. Periksalah bahwa gcd(168; 456) = 24: Akibatnya,
z Algoritme Euclid dapat diperluas sehingga tidak hanya mengasilkan pem-
bagi bersama terbesar dari dua intejer a dan b; tetapi juga menghasilkan intejer x dan y yang memenuhi ax + by = d; diberikan dalam Prosedur 7.
PROSEDUR 7 procedure gcd(a; b: intejer positif, positif, a b) begin
if b = 0 then begin
d := a; x := 1; y := 0 return(d; x; y) end
x 2 := 1; x 1 := 0; y 2 := 0; y 1 := 1
while b > 0 do begin q := b a
return(d; x; y) end
Contoh 2.21 Gunakan Prosedur 7 untuk untuk menentukan gcd(a; b), x, dan y, sehingga gcd(a; b) = ax + by jika diketahui a = 4864 dan b = 3458:
Jawab. Tabel berikut menunjukkan langkah-langkah Prosedur 7 dengan input a = 4864 dan b = 3458; diperoleh gcd(4864; 3458) = 38 sehingga
Catatan bahwa jawaban dengan tabel pada contoh di atas dapat diseder- hanakan sebagai berikut, demi perhitungan menggunakan pensil dan kertas.
Perhatikan bahwa isian awal tabel ini adalah r 0 = a; x 0 = 1; y 0 = 0; r 1 = b; x 1 = 0; dan y 1 = 1: Isian selanjutnya dihitung:
q i =b
c; untuk i 1;
x i =x i 2 q i 1 :x i 1 ; untuk i 2; dan y i =y i 2 q i 1 :y i 1 ; untuk i 2:
Jika r s = 0; maka proses berhenti. Dalam hal ini gcd(a; b) = r s 1 ;x=x s 1 , dan y = y s 1 :
De…nisi 2.5 Intejer positif p disebut prima jika faktor dari p hanyalah 1 dan dirinya sendiri p: Intejer positif yang bukan prima disebut komposit.
Dari de…nisi tersebut jelas bahwa suatu intejer positif p adalah prima jika memenuhi
p = ab ) a = 1 _ b = 1:
Suatu intejer positif n adalah komposit jika (9n 1 ;n 2 2 Z; 1 < n 1 < n; 1 < n 2 < n) n = n 1 n 2 :
Sebagai ilutrasi, barisan prima dapat ditulikan
Lemma 2.1 Jika n 2 Z + adalah komposit, maka ada prima p sehingga p j n: Bukti. Andaikan ada komposit n yang tidak mempunyai faktor prima,
dan de…nisikan himpunan S yang anggotanya semua komposit ini, maka jelas bahwa S 6= ?: Berdasarkan prinsip keterurutan dengan baik, maka S memuat
unsur terkecil, sebut saja s: Karena s komposit, maka 9s 1 ;s 2 2 Z; dengan 1<s 1 < s dan1 < s 2 < s sehingga s = s 1 s 2 : Karena s tidak mepunyai
faktor prima, maka s 1 dan s 2 haruslah juga tidak mempunyai faktor prima. Akibatnya, s 1 ;s 2 2 S; suatu kontradiksi, karena s adalah terkecil di dalam S: Kesimpulannya, S = ? atau n mempunyai faktor prima.
Lemma 2.2 Jika p prima dan p j ab; maka p j a atau p j b: Lemma 2.3 Misalkan a i
n: Jika p prima dan pja 1 a 2 :::a n ; maka p j a i untuk suatu 1 i n:
2Z + untuk setiap 1
Teorema 2.10 (Teorema Dasar Aritmatika) Setiap intejer n
2 dapat di- faktorisasikan secara tunggal sebagai produk kuasa prima:
e 1 e 2 e n=p k
1 p 2 :::p k ;
dimana p i
i prima berbeda dan e intejer positif. Ilustrasi untuk teorema di atas: 63 = 3 2 :7; 100 = 2 2 :5 2 ; 4864 = 2 8 :19;
3458 = 2:7:13:19: Contoh 2.22 Tentukan faktorisasi intejer 980220:
Jawab. Perhatikan langkah-langkah berikut ini
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 =2 2 3 5 (16337) = 2 3 5 17 (961) = 2 3 5 17 31 : z
Contoh 2.23 Misalkan n 2 Z + dan
10:9:8:7:6:5:4:3:2:n = 21:20:19:17:16:15:14:
Tunjukkan bahwa 17 j n: Jawab. Perhatikan bahwa karena 17 membagi ruas kanan, maka
17 j 10:9:8:7:6:5:4:3:2:n:
Dari fakta ini dan karena 17 - 10; 17 - 9; 17 - 8; 17 - 7; 17 - 6; 17 - 5; 17 - 4;
17 - 3; dan 17 - 2; berdasarkan Lemma 2.3 maka dapat disimpulkan bahwa
17 j n: z Soal 2.4.1 Untuk masing-masing dari pasangan a; b 2 Z + berikut ini, ten-
tukan gcd(a; b) dan nyatakan sebagai kombinasi linear dari a; b:
c) a = 2689; b = 4001. Soal 2.4.2
a) a = 231; b = 1820
b) a = 1369; b = 2597
1. Untuk a; b 2 Z + dan d = gcd(a; b); buktikan bahwa
a b gcd( ; )=1
2. Untuk a; b; n 2 Z + dan d = gcd(a; b); buktikan bahwa
gcd(na; nb) = n: gcd(a; b)
3. Misalkan a; b; c 2 Z + dengan c = gcd(a; b); buktikan bahwa
c 2 j ab:
4. Untuk a; b; c; d 2 Z + ; buktikan bahwa jika d = a + bc; maka
gcd(b; d) = gcd(a; b):
5. Misalkan a; b; c 2 Z + dengan gcd(a; b) = 1: Jika a j bc; buktikan bahwa
a j c: Soal 2.4.3 Misalkan n 2 Z + ;
1. Buktikan bahwa gcd(n; n + 2) = (1 _ 2):
2. Berapa nilai yang mungkin dari gcd(n; n+3)? Bagaimana dengan gcd(n; n+ 4)?
3. Secara umum, untuk k 2 Z + ; berapa nilai yang mungkin dari gcd(n; n+
k)? Buktikan dengan induksi matematik. Soal 2.4.4 Tentukan nilai-nilai dari c 2 Z + ; 10 < c < 20; sedemikian se-
hingga persamaan Diophantine 84x+990y = c tidak mempunyai solusi. Ten- tukan solusi untuk nilai-nilai c yang lainnya (nilai c dalam kasus persamaan mempunyai solusi).
Soal 2.4.5
1. Jika a; b 2 Z + dengan a = 630; gcd(a; b) = 105; dan lcm(a; b) =
242550; tentukan b:
2. Untuk setiap n 2 Z + ; tentukan gcd(n; n + 1) dan lcm(n; n + 1):