Perumusan Penduga Bagi KEKONSISTENAN

jika n → ∞ . Misalkan n x y h = atau n x y h = , maka n dx h dy = . Berdasarkan asumsi K.3, didapat 1 2 , 2 1 1 ˆ Var n K n n n s h K y s dy o n h nh τ λ λ − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 2 1 1 n n s K x dx o n h nh λ τ − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ , jika n → ∞ . ■

3.4 Perumusan Penduga Bagi

s λ′ Jika , ˆ n K s λ adalah penduga bagi s, maka penduga bagi s λ′ dapat dirumuskan sebagai berikut: , , , ˆ ˆ ˆ 2 n K n n K n n K n s h s h s h λ λ λ + − − = 17 Helmers dan Mangku 2007. Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h 0 yang cukup kecil, maka 2 s h s h s h λ λ λ + − − ′ ≈ . Teorema 3 : Kekonsistenan dari , ˆ n K s λ Misalkan fungsi intensitas adalah periodik dengan periode dan terintegralkan lokal. Jika h n 0, nh n 3 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi K.1-K.3 dan memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka , ˆ p n K s s λ λ′ ⎯⎯ → , 18 jika n →∞. Dengan kata lain, , ˆ n K s λ adalah penduga konsisten bagi s λ′ . Untuk membuktikan Teorema 3 diperlukan dua lema berikut. Lema 1: Ketakbiasan Asimtotik Bagi , ˆ n K s λ Misalkan fungsi intensitas adalah periodik dengan periode dan terintegralkan lokal. Jika h n 0 , nh n ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi K.1-K.3 dan memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka , ˆ n K s s λ λ′ Ε → , 19 jika n →∞. Dengan kata lain, , ˆ n K s λ adalah penduga tak bias asimtotik bagi s λ′ . Bukti : Untuk membuktikan 19, akan diperlihatkan bahwa , ˆ lim n K n s s λ λ →∞ ′ Ε = . 20 Nilai harapan di ruas kiri 20 dapat dinyatakan sebagai berikut. , , , ˆ ˆ ˆ 2 n K n n K n n K n s h s h s h λ λ λ ⎛ ⎞ + − − Ε =Ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , , 1 ˆ ˆ 2 n K n n K n n s h s h h λ λ = Ε + −Ε − . 21 Ingat kembali persamaan 6, pernyataan ini mengakibatkan: , ˆ E n K n n n s h s h o h λ λ + = + + , 22 jika n →∞, dan , ˆ E n K n n n s h s h o h λ λ − = − + , 23 jika n →∞ . Dengan Deret Taylor maka suku pertama pada 22 menjadi 1 n n n s s h s h o h λ λ λ ′ + = + + . 24 Dengan mensubstitusikan 24 ke 22, maka , ˆ E 1 n K n n n s s h s h o h λ λ λ ′ + = + + 25 jika n →∞. Dengan Deret Taylor maka suku pertama pada 23 menjadi 1 n n n s s h s h o h λ λ λ ′ − = − + . 26 Dengan mensubstitusikan 26 ke 23, maka , ˆ E 1 n K n n n s s h s h o h λ λ λ ′ − = − + 27 jika n →∞. Dengan mensubstitusikan 25 dan 27 ke 21, maka persamaan 21 menjadi , 1 ˆ E 2 1 2 n K n n n s s h o h s o h λ λ λ = + = + . 28 jika n →∞. Maka Lema 1 terbukti. ▄ Lema 2 : Kekonvergenan Ragam Bagi , ˆ n K s λ Misalkan fungsi intensitas adalah periodik dengan periode dan terintegralkan lokal. Jika h n 0 dan nh n 3 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K memenuhi asumsi K.1-K.3 serta memiliki nilai berhingga di sekitar s, maka ˆ Var n s λ ′ → , 29 jika n →∞, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi λ . Bukti : , ˆ Var n K s λ dapat ditentukan sebagai berikut. , , , ˆ ˆ ˆ Var Var 2 n K n n K n n K n s h s h s h λ λ λ ⎛ ⎞ + − − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , , 2 1 ˆ ˆ Var Var 4 ˆ ˆ 2Cov , . n K n n K n n n n n n s h s h h s h s h λ λ λ λ = + + − − + − 30 Ingat kembali pernyataan 3 yang mengakibatkan: , 1 ˆ n n n K n k n n x s h k s h K N dx n h h τ τ λ ∞ = ⎛ ⎞ − + + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ dan , 1 ˆ n n n K n k n n x s h k s h K N dx n h h τ τ λ ∞ = ⎛ ⎞ − − + − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ . Dari h n 0, untuk nilai n yang besar, maka selang [ ] , 2 n s k s k h τ τ + + + dan [ ] 2 , n s k h s k τ τ + − + tidak saling tumpang tindih tidak overlap. Sehingga [ ] , 2 n N s k s k h τ τ + + + dan [ ] 2 , n N s k h s k τ τ + − + adalah bebas. Dengan demikian , , ˆ ˆ Cov , n K n n K n s h s h λ λ + − = , sehingga 30 menjadi , , , 2 1 ˆ ˆ ˆ Var Var Var 4 n K n K n n K n n s s h s h h λ λ λ = + + − . 31 Kemudian ingat kembali pernyataan 15 yang mengakibatkan: 1 2 , 1 1 ˆ Var n n K n n n s h s h K x dx o nh nh τλ λ − + ⎛ ⎞ + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ , 32 jika n →∞ dan 1 2 , 1 1 ˆ Var n n K n n n s h s h K x dx o nh nh τλ λ − − ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ , 33 jika n →∞. Dengan mensubstitusikan 32 dan 32 ke 31, maka 1 2 , 2 1 1 1 ˆ Var 4 n K n n n n n s s h s h K x dx o h nh nh τ λ λ λ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ . 34 Dengan mensubstitusikan 24 dan 26 ke 34, maka 1 2 , 2 1 1 1 ˆ Var 2 4 n K n n n n s s o h K x dx o h nh nh τ λ λ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ 1 2 3 2 3 1 1 1 2 n n n s K x dx o o nh nh nh τλ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ . 35 Maka untuk membuktikan 29 cukup ditunjukkan 1 2 3 3 1 1 1 2 n n s K x dx o o nh nh τλ − ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ , 36 jika n →∞. Karena adalah konstanta, h n 0 dipenuhi dan nh n 3 ∞ untuk n→∞, maka didapatkan 37. Sehingga Lema 2 terbukti. ▄ Bukti Teorema 3 : Untuk membuktikan 18, maka akan diperlihatkan untuk setiap ε 0 berlaku , ˆ n K s s λ λ ε ′ Ρ − → , 37 jika n →∞. Ruas kiri 37 dapat dinyatakan sebagai berikut: , , , , ˆ ˆ ˆ ˆ n K n K n K n K s s s s s s λ λ ε λ λ λ λ ε ′ ′ Ρ − =Ρ −Ε + Ε − . 38 Dengan ketaksamaan segitiga maka persamaan 38 menjadi , , , ˆ ˆ ˆ n K n K n K s s s s λ λ λ λ ε ′ ≤Ρ − Ε + Ε − , , , ˆ ˆ ˆ n K n K n K s s s s λ λ ε λ λ ′ =Ρ −Ε − Ε − . 39 Berdasarkan 19 yakni , ˆ n K s s λ λ′ Ε → , jika n →∞, maka ada N sehingga , ˆ 2 n K s s ε λ λ′ Ε − ≤ , 40 untuk semua n N. Dengan mensubstitusikan 40 ke ruas kanan 39 maka ruas kanan 39 menjadi , , ˆ ˆ 2 n K n K s s ε λ λ ⎛ ⎞ ≤Ρ −Ε ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Kemudian dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev Lema 8 dalam Lampiran 1, maka peluang di atas , 2 ˆ 4 Var n K s λ ε ≤ . Berdasarkan 29 yakni , ˆ Var n K s λ → , jika n →∞, maka , 2 ˆ 4 Var n K s λ ε → . Sehingga 37 terbukti benar. Teorema 3 terbukti. ▄ Teorema 4 : Kekonvergenan MSE Bagi , ˆ n K s λ Misalkan fungsi intensitas adalah periodik dengan periode dan terintegralkan lokal. Jika h n 0 dan nh n 3 ∞ untuk n→∞, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi K.1-K.3 serta memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka ˆ n MSE s λ ′ → , 41 jika n →∞. Bukti : Berdasarkan Definisi 34 Lihat Lampiran 1, teorema di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik bagi , ˆ n K s λ dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam bagi , ˆ n K s λ . Karena , ˆ n K s s λ λ′ Ε → , yang berarti jika n →∞, maka , ˆ n K s s λ λ′ Ε − → , dan karena , ˆ Var n K s λ → , akibatnya 2 , , , ˆ ˆ ˆ MSE Bias Var n K n K n K s s s λ λ λ = + → jika n →∞. Maka Teorema 4 terbukti. ▄

3.5 Perumusan Penduga Bagi