Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan

3.2 Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan

, ˆ n K s λ Teorema 1. Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik dengan periode dan terintegralkan lokal. Misalkan pula h n 0 untuk n → ∞ , fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi K.1-K.3. i Jika n nh → ∞ dan λ memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka , ˆ E = + n K n s s o h λ λ 6 ii Jika 2 n nh → ∞ dan λ memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka 1 2 2 2 , 1 1 ˆ E = + 2 n K n n s s s h x K x dx o h λ λ λ − + ∫ 7 iii Jika 3 n nh → ∞ dan λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka 1 2 2 3 , 1 1 ˆ E = + 2 n K n n s s s h x K x dx o h λ λ λ − + ∫ 8 iv Jika 4 n nh → ∞ dan λ memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka 1 1 2 2 4 4 4 4 , 1 1 1 1 ˆ E = + 2 24 n K n n n s s s h x K x dx s h x K x dx o h λ λ λ λ − − + + ∫ ∫ 9 jika n → ∞ Helmers et al. 2005. Bukti : Lihat juga Mangku 2006b. Berdasarkan Teorema Fubini Lema 6 dalam Lampiran 1, kita dapat menukarkan urutan penentuan nilai harapan dan penjumlahan. Sehingga nilai harapan di ruas kiri persamaan 6-9 dapat dinyatakan sebagai berikut : , 1 ˆ E E n n K k n n x s k s K N dx n h h τ τ λ ∞ = ⎛ ⎞ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ 1 E n k n n x s k K N dx n h h τ τ ∞ = ⎛ ⎞ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ 1 I [0, ] k n n x s k K x x n dx n h h τ τ λ ∞ ℜ = ⎛ ⎞ − + = ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ I [0, ] k n n x K x s k x s k n dx n h h τ λ τ τ ∞ ℜ = ⎛ ⎞ = + + + + ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ I [0, ] k n n x K x s x s k n dx n h h τ λ τ ∞ ℜ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + ∈ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∫ . Perhatikan bahwa I [0, ] 1, 1 k n n s k n τ τ τ ∞ = ⎡ ⎤ + ∈ ∈ − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ . Akibatnya diperoleh 1 , 1 ˆ E 1 n K n n n x s O K x s dx h h λ λ ℜ ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 1 n n n x K x s dx O h h λ ℜ ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . 10 Misalkan n x y h = atau n x y h = , maka n dx h dy = . Sehingga suku pertama ruas kanan persamaan 10 menjadi n n K y yh s dy K x xh s dx λ λ ℜ ℜ + = + ∫ ∫ 1 1 n K x xh s dx λ − = + ∫ . 11 Untuk membuktikan persamaan 6, digunakan Formula Young Lema 7 dalam Lampiran 1 hingga derajat 1, sehingga diperoleh 1 n n n s s xh s xh o h λ λ λ ′ + = + + untuk h n → 0 . Akibatnya persamaan 11 dapat ditulis sebagai 1 1 1 1 1 1 1 n n n n s K x s xh o h dx s K x dx s h xK x dx o h λ λ λ λ − − − ′ ⎛ ⎞ ′ + + = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ jika n → ∞ . Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi pada [-1,1], maka 1 1 1 K x dx − = ∫ . Dan juga karena K simetrik, maka 1 1 xK x dx − = ∫ . Akibatnya diperoleh, 1 , ˆ E n K n n s s o h O λ λ = + + 12 jika n → ∞ . Karena n nh → ∞ , maka 1 n O o h n ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ untuk n → ∞ . Akhirnya diperoleh persamaan 6. ■ Untuk membuktikan persamaan 7, digunakan Formula Young Lema 7 dalam Lampiran 1 hingga derajat 2, sehingga diperoleh 2 2 2 1 2 n n n n s s s xh s xh x h o h λ λ λ λ ′ ′′ + = + + + untuk h n → 0 . Akibatnya persamaan 11 dapat ditulis sebagai 1 2 2 2 1 1 2 n n n s s K x s xh x h o h dx λ λ λ − ′ ′′ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 n n n s K x dx s h xK x dx s h x K x dx o h λ λ λ − − − ′ ′′ = + + + ∫ ∫ ∫ , jika n → ∞ . Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi pada [-1,1], maka 1 1 1 K x dx − = ∫ . Dan juga karena K simetrik, maka 1 1 xK x dx − = ∫ . Akibatnya diperoleh, 1 2 2 2 1 , 1 1 ˆ E 2 n K n n n s s s h x K x dx o h O λ λ λ − ′′ = + + + ∫ 13 jika n → ∞ . Karena 2 n nh → ∞ , maka 2 1 n O o h n ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ untuk n → ∞ . Akhirnya diperoleh persamaan 7. ■ Untuk membuktikan persamaan 8, digunakan Formula Young Lema 7 dalam Lampiran 1 hingga derajat 3, sehingga diperoleh 2 2 3 3 3 1 2 3 n n n n n s s s s xh s xh x h x h o h λ λ λ λ λ ′ ′′ ′′′ + = + + + + untuk h n → 0 . Sehingga persamaan 11 dapat ditulis sebagai 1 2 2 3 3 3 1 1 2 3 n n n n s s s K x s xh x h x h o h dx λ λ λ λ − ′ ′′ ′′′ ⎛ ⎞ + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 3 1 1 2 1 6 n n n n s K x dx s h xK x dx s h x K x dx s h x K x dx o h λ λ λ λ − − − − ′ ′′ = + + ′′′ + + ∫ ∫ ∫ ∫ jika n → ∞ . Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka 1 1 1 K x dx − = ∫ . Karena K simetrik, maka 1 1 xK x dx − = ∫ dan 1 3 1 x K x dx − = ∫ . Akibatnya diperoleh, 1 2 2 3 1 , 1 1 ˆ E 2 n K n n n s s s h x K x dx o h O λ λ λ − ′′ = + + + ∫ , 14 jika n → ∞ . Karena 3 n nh → ∞ , maka 3 1 n O o h n ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ untuk n → ∞ . Akhirnya diperoleh persamaan 8. ■ Untuk membuktikan persamaan 9, digunakan Formula Young Lema 7 dalam Lampiran 1 hingga derajat 4, sehingga diperoleh 4 2 2 3 3 4 4 4 1 2 3 4 n n n n n n s s s s s xh s xh x h x h x h o h λ λ λ λ λ λ ′ ′′ ′′′ + = + + + + + untuk h n → 0 . Sehingga persamaan 11 dapat ditulis sebagai 1 4 2 2 3 3 4 4 4 1 1 2 3 4 n n n n n s s s s K x s xh x h x h x h o h dx λ λ λ λ λ − ′ ′′ ′′′ ⎛ ⎞ + + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3 4 4 4 4 1 1 1 2 1 1 6 24 n n n n n s K x dx s h xK x dx s h x K x dx s h x K x dx s h x K x dx o h λ λ λ λ λ − − − − − ′ ′′ = + + ′′′ + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ jika n → ∞ . Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi interval [-1,1], maka 1 1 1 K x dx − = ∫ . Karena K simetrik, maka 1 1 xK x dx − = ∫ dan 1 3 1 x K x dx − = ∫ . Akibatnya diperoleh, 1 1 2 2 4 4 4 4 1 , 1 1 1 1 ˆ E = + 2 24 n K n n n n s s s h x K x dx s h x K x dx o h O λ λ λ λ − − + + + ∫ ∫ jika n → ∞ . Karena 4 n nh → ∞ , maka 4 1 n O o h n ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ untuk n → ∞ . Akhirnya diperoleh persamaan 9. ■

3.3 Aproksimasi Asimtotik untuk Ragam