3.2 Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan
,
ˆ
n K
s λ
Teorema 1.
Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik dengan periode dan terintegralkan
lokal. Misalkan pula h
n
0 untuk
n → ∞
, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi K.1-K.3.
i Jika
n
nh → ∞ dan
λ memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka
,
ˆ E
= +
n K n
s s
o h λ
λ 6
ii Jika
2 n
nh → ∞ dan
λ memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
1 2
2 2
, 1
1 ˆ
E = +
2
n K n
n
s s
s h x K x dx
o h λ
λ λ
−
+
∫
7 iii
Jika
3 n
nh → ∞ dan
λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka
1 2
2 3
, 1
1 ˆ
E = +
2
n K n
n
s s
s h x K x dx
o h λ
λ λ
−
+
∫
8 iv
Jika
4 n
nh → ∞ dan λ memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka
1 1
2 2
4 4
4 4
, 1
1
1 1
ˆ E
= + 2
24
n K n
n n
s s
s h x K x dx
s h x K x dx
o h λ
λ λ
λ
− −
+ +
∫ ∫
9 jika
n → ∞
Helmers et al. 2005.
Bukti : Lihat juga Mangku 2006b.
Berdasarkan Teorema Fubini Lema 6 dalam Lampiran 1, kita dapat menukarkan urutan penentuan nilai harapan dan penjumlahan. Sehingga nilai
harapan di ruas kiri persamaan 6-9 dapat dinyatakan sebagai berikut :
,
1 ˆ
E E
n n K
k n
n
x s
k s
K N dx
n h
h τ
τ λ
∞ =
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
1 E
n k
n n
x s
k K
N dx n
h h
τ τ
∞ =
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
1 I
[0, ]
k n
n
x s
k K
x x
n dx n
h h
τ τ λ
∞ ℜ
=
⎛ ⎞
− + =
∈ ⎜
⎟ ⎝
⎠
∑ ∫
I [0, ]
k n
n
x K
x s
k x
s k
n dx n h
h τ
λ τ
τ
∞ ℜ
=
⎛ ⎞
= + +
+ + ∈
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
I [0, ]
k n
n
x K
x s
x s
k n
dx n h
h
τ λ
τ
∞ ℜ
=
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= +
+ + ∈
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∑ ∫
.
Perhatikan bahwa I
[0, ] 1,
1
k
n n
s k
n τ
τ τ
∞ =
⎡ ⎤
+ ∈
∈ −
+ ⎢
⎥ ⎣
⎦
∑
. Akibatnya diperoleh
1 ,
1 ˆ
E 1
n K n
n n
x s
O K
x s dx
h h
λ λ
ℜ
⎛ ⎞
= + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
1
1
n n
n
x K
x s dx
O h
h
λ
ℜ
⎛ ⎞
= +
+ ⎜
⎟ ⎝
⎠
∫
. 10
Misalkan
n
x y
h =
atau
n
x y h
= , maka
n
dx h dy
= . Sehingga suku pertama ruas
kanan persamaan 10 menjadi
n n
K y yh
s dy K x
xh s dx
λ λ
ℜ ℜ
+ =
+
∫ ∫
1 1
n
K x xh
s dx λ
−
= +
∫
. 11 Untuk membuktikan persamaan 6, digunakan Formula Young Lema 7 dalam
Lampiran 1 hingga derajat 1, sehingga diperoleh 1
n n
n
s s
xh s
xh o h
λ λ
λ ′
+ =
+ +
untuk h
n
→ 0 . Akibatnya persamaan 11 dapat ditulis sebagai
1 1
1 1
1 1
1
n n
n n
s K x
s xh
o h dx
s K x dx
s h xK x dx
o h λ
λ λ
λ
− −
−
′ ⎛
⎞ ′
+ +
= +
+ ⎜
⎟ ⎝
⎠
∫ ∫
∫
jika
n → ∞
. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi pada
[-1,1], maka
1 1
1 K x dx
−
=
∫
. Dan juga karena K simetrik, maka
1 1
xK x dx
−
=
∫
. Akibatnya diperoleh,
1 ,
ˆ E
n K n
n
s s
o h O
λ λ
= +
+ 12
jika
n → ∞
. Karena
n
nh → ∞ , maka
1
n
O o h
n ⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
untuk
n → ∞
. Akhirnya diperoleh persamaan 6.
■
Untuk membuktikan persamaan 7, digunakan Formula Young Lema 7 dalam Lampiran 1 hingga derajat 2, sehingga diperoleh
2 2
2
1 2
n n
n n
s s
s xh
s xh
x h o h
λ λ
λ λ
′ ′′
+ =
+ +
+ untuk h
n
→ 0 . Akibatnya persamaan 11 dapat ditulis sebagai
1 2
2 2
1
1 2
n n
n
s s
K x s
xh x h
o h dx
λ λ
λ
−
′ ′′
⎛ ⎞
+ +
+ ⎜
⎟ ⎝
⎠
∫
1 1
1 2
2 2
1 1
1
1 2
n n
n
s K x dx
s h xK x dx
s h x K x dx
o h λ
λ λ
− −
−
′ ′′
= +
+ +
∫ ∫
∫
, jika
n → ∞
. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi pada
[-1,1], maka
1 1
1 K x dx
−
=
∫
. Dan juga karena K simetrik, maka
1 1
xK x dx
−
=
∫
. Akibatnya diperoleh,
1 2
2 2
1 ,
1
1 ˆ
E 2
n K n
n n
s s
s h x K x dx
o h O
λ λ
λ
−
′′ =
+ +
+
∫
13
jika
n → ∞
. Karena
2 n
nh → ∞ , maka
2
1
n
O o h
n ⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
untuk
n → ∞
. Akhirnya diperoleh persamaan 7.
■
Untuk membuktikan persamaan 8, digunakan Formula Young Lema 7 dalam Lampiran 1 hingga derajat 3, sehingga diperoleh
2 2
3 3
3
1 2
3
n n
n n
n
s s
s s
xh s
xh x h
x h o h
λ λ
λ λ
λ ′
′′ ′′′
+ =
+ +
+ +
untuk h
n
→ 0 . Sehingga persamaan 11 dapat ditulis sebagai
1 2
2 3
3 3
1
1 2
3
n n
n n
s s
s K x
s xh
x h x h
o h dx
λ λ
λ λ
−
′ ′′
′′′ ⎛
⎞ +
+ +
+ ⎜
⎟ ⎝
⎠
∫
1 1
1 2
2 1
1 1
1 3
3 3
1
1 2
1 6
n n
n n
s K x dx
s h xK x dx
s h x K x dx
s h x K x dx
o h
λ λ
λ λ
− −
− −
′ ′′
= +
+ ′′′
+ +
∫ ∫
∫ ∫
jika
n → ∞
. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi
pada [-1,1], maka
1 1
1 K x dx
−
=
∫
. Karena K simetrik, maka
1 1
xK x dx
−
=
∫
dan
1 3
1
x K x dx
−
=
∫
. Akibatnya diperoleh,
1 2
2 3
1 ,
1
1 ˆ
E 2
n K n
n n
s s
s h x K x dx
o h O
λ λ
λ
−
′′ =
+ +
+
∫
, 14
jika
n → ∞
. Karena
3 n
nh → ∞ , maka
3
1
n
O o h
n ⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
untuk
n → ∞
. Akhirnya diperoleh persamaan 8.
■
Untuk membuktikan persamaan 9, digunakan Formula Young Lema 7 dalam Lampiran 1 hingga derajat 4, sehingga diperoleh
4 2
2 3
3 4
4 4
1 2
3 4
n n
n n
n n
s s
s s
s xh
s xh
x h x h
x h o h
λ λ
λ λ
λ λ
′ ′′
′′′ +
= +
+ +
+ +
untuk h
n
→ 0 . Sehingga persamaan 11 dapat ditulis sebagai
1 4
2 2
3 3
4 4
4 1
1 2
3 4
n n
n n
n
s s
s s
K x s
xh x h
x h x h
o h dx
λ λ
λ λ
λ
−
′ ′′
′′′ ⎛
⎞ +
+ +
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
1 1
1 2
2 1
1 1
1 1
3 3
4 4
4 4
1 1
1 2
1 1
6 24
n n
n n
n
s K x dx
s h xK x dx
s h x K x dx
s h x K x dx
s h x K x dx
o h
λ λ
λ λ
λ
− −
− −
−
′ ′′
= +
+ ′′′
+ +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫
jika
n → ∞
.
Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi interval [-1,1], maka
1 1
1 K x dx
−
=
∫
. Karena K simetrik, maka
1 1
xK x dx
−
=
∫
dan
1 3
1
x K x dx
−
=
∫
. Akibatnya diperoleh,
1 1
2 2
4 4
4 4
1 ,
1 1
1 1
ˆ E
= + 2
24
n K n
n n
n
s s
s h x K x dx
s h x K x dx
o h O
λ λ
λ λ
− −
+ +
+
∫ ∫
jika
n → ∞
. Karena
4 n
nh → ∞ , maka
4
1
n
O o h
n ⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
untuk
n → ∞
. Akhirnya diperoleh persamaan 9.
■
3.3 Aproksimasi Asimtotik untuk Ragam