BAB III KEKONSISTENAN
3.1 Perumusan Penduga Bagi λs
Misalkan N adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval [0,n]. Pembahasan hanya dibatasi untuk kasus
periode dari fungsi intensitas yang diketahui. Karena N adalah suatu proses Poisson periodik yang memiliki fungsi intensitas
λ dengan periode 0, dimana diketahui, maka berlaku
s k
s λ
τ λ
+ =
1 untuk semua
dan s
k ∈
∈ , dengan menyatakan himpunan bilangan bulat. Misalkan h
n
adalah barisan dari bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu
h
n
0 jika n ∞ . 2
Kita perhatikan keadaan terjelek, yaitu kita hanya memiliki sebuah realisasi dari proses Poisson N yang diamati pada selang [0,n]. Karena
λ adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah untuk menduga
λ pada titik s dengan
s ∈
, dapat direduksi menjadi masalah menduga
λ pada titik s dengan [0,
s τ
∈ .
Penduga dari fungsi intensitas λ pada titik
[0, s
τ ∈
, yaitu
,
ˆ
n K
s λ
dapat didefinisikan sebagai:
,
1 ˆ
n n K
k n
n
x s
k s
K N dx
n h
h
τ τ
λ
∞ =
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
3 dimana :
[0, K
→ ∞ yang memenuhi sifat-sifat berikut :
K.1 K merupakan fungsi kepekatan peluang K.2 K terbatas
K.3 K memiliki daerah definisi pada [-1,1] Lihat Helmers et al. 2003, 2005.
Ide di balik perumusan dari penduga
,
ˆ
n K
s λ
dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai fungsi s di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari
banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu pada interval [s - h
n
, s + h
n
], untuk h
n
0. Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai:
[ ]
1 ,
2
n n
n
N s
h s h
h −
+ . 4
Karena fungsi adalah periodik, dengan periode , maka untuk menduga nilai fungsi s dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar
titik
s k
τ
+
, asalkan [0, ]
s k
n τ
+ ∈
. Sehingga untuk setiap k ∈ , nilai
rataannya dapat dinyatakan sebagai:
[ ]
1 ,
[0, ] 2
n n
n
N s
k h s
k h
n h
τ τ
+ −
+ +
∩ . 5
Banyaknya k sehingga [0, ]
s k
n τ
+ ∈
adalah mendekati
n
τ . Jadi nilai rata-rata dari semua rataan di atas untuk semua k sehingga
[0, ] s
k n
τ +
∈
,
adalah 1
[ ,
] [0, ]
2
n n
k n
N s
k h s
k h
n h
s n
τ τ
λ τ
∞ =
+ −
+ +
∩ ≈
∑
1 [-1,1]
2
1 I
[ ,
]
n n
n k
n
s k
h s k
h N dx
n h
τ τ
τ
∞ =
= +
− +
+
∑ ∫
1
1
n k
n n
x s
k K
N dx n
h h
τ τ
∞ =
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
dimana
[ ]
1 1
2 1,1
: I
K
−
= . Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi
kernel umum K yang memenuhi K.1 – K.3. Akhirnya kita peroleh persamaan 3.
3.2 Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan
Kategori