Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam

BAB IV SIFAT-SIFAT STATISTIKA

4.1 Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam

, ˆ n K λ′ Teorema 7 : Aproksimasi Asimtotik untuk Nilai Harapan , ˆ n K λ′ Misalkan fungsi intensitas adalah periodik dengan periode dan terintegralkan lokal. Jika h n 0 dan nh n 3 ∞ untuk n → ∞ , fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi K.1-K.3 serta λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka 1 2 2 2 2 , 1 1 1 ˆ E = 6 2 n K n n n s s h s h s x K x dx o h λ λ λ λ − ′ ′ ′′′ ′′′ + + + ∫ 67 jika n → ∞ . Bukti : Untuk membuktikan persamaan 67, dari persamaan 8 dan 21 diperoleh , 1 2 2 3 1 1 ˆ E 2 1 2 n n n K n n n n n s s h s h h h s h s h x K x dx o h λ λ λ λ λ − = + − − ⎞ + + − − + ⎟ ⎠ ∫ . 68 Dengan Deret Taylor 2 3 3 1 2 3 n n n n n s s s s h s h h h o h λ λ λ λ λ ′ ′′ ′′′ + = + + + + 69 2 3 3 1 2 3 n n n n n s s s s h s h h h o h λ λ λ λ λ ′ ′′ ′′′ − = − + − + 70 n n n s h s h s o h λ λ λ ′′ ′′ ′′′ + = + + 71 n n n s h s h s o h λ λ λ ′′ ′′ ′′′ − = − + . 72 Dengan mensubstitusikan 69 - 72 ke 68, maka dihasilkan 1 3 3 2 3 , 1 1 1 ˆ E 2 2 3 n n n n n K n s h s h s h s x K x dx o h h λ λ λ λ − ⎛ ⎞ ′ ′′′ ′′′ = + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 2 2 2 2 1 1 1 6 2 n n n s h s h s x K x dx o h λ λ λ − ′ ′′′ ′′′ = + + + ∫ . ▄ Teorema 8 : Aproksimasi Asimtotik untuk Ragam , ˆ n K λ′ Misalkan fungsi intensitas adalah periodik dengan periode dan terintegralkan lokal. Jika h n 0 , fungsi kernel K memenuhi asumsi K.1-K.3 serta memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka 4 1 2 , 3 3 1 1 ˆ Var 2 4 48 n K n n n n s s s s h K x dx o nh nh n nh τλ τλ τλ λ − ′′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ 73 jika n →∞. Bukti : Dari persamaan 35 dan dengan mensubstitusikan 69-70 yang diperluas hingga derajat 4 diperoleh, 1 2 4 4 4 2 , 2 1 1 1 1 ˆ Var 2 4 12 n K n n n n n n s s s h s h o h K x dx o h nh nh τ λ λ λ λ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ 4 1 2 3 3 1 4 1 2 3 3 1 1 48 2 4 1 . 48 2 4 n n n n n n n n n s s s h h o K x dx o n n nh nh nh s s s h K x dx o n nh nh nh τλ τλ τλ τλ τλ τλ − − ′′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ′′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ Berdasarkan Definisi 34 Lihat Lampiran 1 serta menggunakan Teorema 7 dan 8, maka akan diperoleh Mean-Squared-Errors MSE dari , ˆ n K λ′ yang diberikan pada Corollary di bawah ini. Corollary 1 : Aproksimasi Asimtotik untuk MSE , ˆ n K λ′ Misalkan fungsi intensitas adalah periodik dengan periode dan terintegralkan lokal. Jika h n 0 dan nh n 3 ∞ untuk n → ∞ , fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi K.1-K.3 serta λ memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka 2 1 2 2 2 , 1 4 1 2 4 3 3 1 1 1 ˆ MSE = 6 2 1 2 4 48 n K n n n n n n n s h s h s x K x dx s s s h K x dx o o h nh nh n nh λ λ λ τλ τλ τλ − − ⎛ ⎞ ′ ′′′ ′′′ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ′′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 74 jika n → ∞ . Untuk memperoleh nilai h n optimum, maka dilakukan minimisasi persamaan 74 dengan mencari turunan pertama persamaan 74 terhadap h n , kemudian dievaluasi saat turunan pertamanya tersebut bernilai nol. , ˆ MSE = 0 n K n d s dh λ′ 1 1 2 2 2 2 1 1 4 1 2 4 2 1 1 1 1 2 6 2 3 3 2 4 48 n n n n n n h s h s x K x dx h s h s x K x dx s s s K x dx nh nh n λ λ λ λ τλ τλ τλ − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ′′ ⎛ ⎞ − + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 2 3 2 2 1 1 2 4 4 1 2 4 1 1 2 9 3 72 12 48 n n n n h s x K x dx x K x dx s h s h s K x dx nh λ τλ τ λ τ λ − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′′′ + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ′′ ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 2 7 2 2 1 1 1 2 4 4 2 1 1 2 48 9 3 72 12 n n n nh s x K x dx x K x dx s h s h s K x dx λ λ λ λ τ − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′′′ + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ′′ + − ∫ ∫ ∫ 75 Nilai h n yang memenuhi persamaan 75 merupakan h n optimum dalam aproksimasi asimtotik untuk , ˆ n K λ′ dengan tingkat penurunan nilai , ˆ MSE n K s λ′ yang memiliki derajat 6 7 O n − jika n →∞.

4.2 Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam