Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang dengan daerah definisi interval [-1,1], maka
1 1
1 K x dx
−
=
∫
. Karena K simetrik, maka
1 1
xK x dx
−
=
∫
dan
1 3
1
x K x dx
−
=
∫
. Akibatnya diperoleh,
1 1
2 2
4 4
4 4
1 ,
1 1
1 1
ˆ E
= + 2
24
n K n
n n
n
s s
s h x K x dx
s h x K x dx
o h O
λ λ
λ λ
− −
+ +
+
∫ ∫
jika
n → ∞
. Karena
4 n
nh → ∞ , maka
4
1
n
O o h
n ⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
untuk
n → ∞
. Akhirnya diperoleh persamaan 9.
■
3.3 Aproksimasi Asimtotik untuk Ragam
,
ˆ
n K
s λ
Teorema 2.
Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik dengan periode dan terintegralkan
lokal. Jika h
n
0 untuk
n → ∞
dan fungsi Kernel K memenuhi K.1-K.3, maka
1 2
, 1
s 1
ˆ Var
=
n K n
n
s K
x dx o
n h n h
τ λ λ
−
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
15 jika
n → ∞
, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi λ Helmers et al. 2005.
Bukti : Lihat juga Mangku 2006b.
Kita perhatikan
, n K
s λ
yang diberikan pada persamaan 3. Karena h
n
0, jika
n → ∞
, maka untuk nilai n yang cukup besar, selang
[ ]
,
n n
s k
h s k
h
τ τ
+ −
+ +
dan
[ ]
,
n n
s j
h s j
h
τ τ
+ −
+ +
, untuk k ≠ j tidak saling tumpang-tindih tidak
overlap. Sehingga
[ ]
,
n n
N s k
h s k
h
τ τ
+ −
+ +
dan
[ ]
,
n n
N s j
h s j
h
τ τ
+ −
+ +
adalah bebas, untuk k ≠ j. Jadi
,
ˆ Var
n K
s λ
dapat ditentukan sebagai berikut.
,
1 Var
Var
n n K
k n
n
x s
k s
K N dx
n h
h τ
τ λ
∞ =
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∑ ∫
2 2
2
Var
n k
n n
x s
k K
N dx n h
h τ
τ
∞ =
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∑ ∫
2 2
2 2
0 0
Var
n k
n n
x s
k K
N dx n h
h
τ τ
∞ =
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∫
2 2
2 2
0 0
E
n k
n n
x s
k K
N dx n h
h
τ τ
∞ =
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∫
2 2
2 2
0 0 n
k n
n
x s
k K
x dx
n h h
τ τ λ
∞ =
⎛ ⎞
− + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∫
2 2
2 2
I [0, ]
k n
n
x K
x s
x s
k n
dx n h
h
τ λ
τ
∞ =
ℜ
⎛ ⎞
= +
+ + ∈
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
.
Perhatikan bahwa I
[0, ] 1,
1
k
n n
s k
n τ
τ τ
∞ =
⎡ ⎤
+ ∈
∈ −
+ ⎢
⎥ ⎣
⎦
∑
. Akibatnya diperoleh
2 2
, 2
2
Var 1
n K n
n
n x
s O
K x
s dx n h
h
τ λ
λ τ
ℜ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠
∫
2 2
2 2
1
n n
n
x O
K x
s dx n h
n h h
τ λ
ℜ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
∫
2 2
2
1
n n
n
x K
x s dx
O n h
h n h
τ λ
ℜ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠
∫
2 2
2 2
2
1
n n
n n
n
x x
K s dx
K x
s s
dx O
n h h
n h h
n h
τ τ
λ λ
λ
ℜ ℜ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= +
+ − +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∫ ∫
. 16
Karena s merupakan titik Lebesgue dari fungsi λ dan fungsi kernel K terbatas,
maka diperoleh bahwa integral bagian kedua ruas kanan persamaan 16 menjadi
2
1 1
n n
n n
x K
x s
s dx
o nh h
h nh
τ λ
λ
ℜ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
+ − =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∫
. Sehingga diperoleh,
2 ,
2 2
1 1
ˆ Var
n K n
n n
n
x s
K s dx
o O
n h h
nh n h
τ λ
λ
ℜ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
∫
2 2
1
n n
n
x K
s dx o
n h h
nh
τ λ
ℜ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∫
,
jika
n → ∞
. Misalkan
n
x y
h =
atau
n
x y h
= , maka
n
dx h dy
= . Berdasarkan asumsi K.3,
didapat
1 2
, 2
1
1 ˆ
Var
n K n
n n
s h
K y
s dy o
n h nh
τ λ
λ
−
⎛ ⎞
= + ⎜
⎟ ⎝
⎠
∫
1 2
1
1
n n
s K
x dx o
n h nh
λ τ
−
⎛ ⎞
= + ⎜
⎟ ⎝
⎠
∫
, jika
n → ∞
. ■
3.4 Perumusan Penduga Bagi
