BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik
Definisi 1 Proses Stokastik
Proses stokastik X = {Xt, t
∈
T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh
Ω ke suatu ruang state S.
Ross 2003 Jadi untuk setiap t pada himpunan indeks T, Xt adalah suatu peubah acak.
Kita sering menginterpretasikan t sebagai waktu dan Xt sebagai state keadaan dari proses pada waktu t.
Definisi 2 Proses Stokastik Waktu Kontinu
Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.
Ross 2003
Definisi 3 Inkremen Bebas
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt, t
∈
T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t
t
1
t
2
… t
n
, peubah acak Xt
1
– Xt ,
Xt
2
– Xt
1
, …, Xt
n
– Xt
n-1
adalah bebas. Ross 2003
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih tidak overlap adalah bebas.
Definisi 4 Inkremen Stasioner
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt, t ∈T} disebut memiliki
inkremen stasioner jika Xt+s – Xt memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.
Ross 2003
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran distribusi dari perubahan nilai antara
sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap
bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu [0, ∞].
Definisi 5 Proses Pencacahan
Suatu proses stokastik {Nt, t ≥ 0} disebut proses pencacahan jika Nt
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan Nt harus memenuhi syarat-
syarat berikut: i Nt
≥ 0 untuk semua t
∈
[0, ∞.
ii Nilai Nt adalah integer. iii Jika s t maka Ns
≤ Nt, s, t
∈
[0, ∞.
iv Untuk s t maka Nt – Ns, sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang s,t].
Ross 2003
Definisi 6 Proses Poisson
Suatu proses pencacahan {Nt, t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju , 0,
jika dipenuhi tiga syarat berikut. i N0 = 0.
ii Proses tersebut memiliki inkremen bebas. iii
Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran distribusi Poisson dengan nilai harapan t.
Jadi untuk semua t, s 0,
k t
e t
N t s
N s k
k
λ
λ
−
Ρ + −
= =
, k = 0, 1, …
Ross 2003
Dari syarat iii dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh E Nt = t .
Definisi 7 Proses Poisson Tak Homogen
Suatu proses Poisson {Nt, t ≥ 0} disebut proses Poisson tak homogen jika laju
pada sembarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu t. Ross 2003
Definisi 8 Fungsi Intensitas
Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {Nt, t ≥ 0}, yaitu t disebut fungsi
intensitas proses Poisson pada t.
Definisi 9 Fungsi Periodik
Suatu fungsi disebut periodik jika
s k
s
λ τ
λ
+ =
untuk semua
s ∈
dan
k ∈
. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut.
Browder 1996
Definisi 10 Proses Poisson Periodik
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Mangku 2001 Definisi 11 Intensitas Lokal
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas
pada titik
s ∈
adalah s, yaitu nilai fungsi di s.
Definisi 12 Fungsi Intensitas Global
Misalkan
[ ]
0, N
n adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas
global θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai
[ ]
0, lim
n
N n
n
θ
→ ∞
Ε =
jika limit di atas ada. Mangku 2001
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Kategori