36
3.2. Model Linear Campuran
Bentuk umum model linear campuran adalah
u Z
X y
+ +
=
dengan
R G
u
, ~
1
dimana X adalah matriks desain dari efek tetap yang teramati, adalah vektor parameter pengaruh efek tetap yang tidak diketahui, Z adalah matriks desain efek
acak yang teramati, u adalah vektor efek acak yang tidak diketahui, dan adalah
vektor galat acak yang tidak diketahui. Sehingga nilaitengah dan matriks ragam-
peragam untuk y adalah
X y
= E
dan
R ZGZ
V y
+ =
= var
.
Pendugaan Efek Tetap dan Efek Acak
Persamaan model linear campuran didefinisikan sebagai :
= +
− −
− −
− −
−
y R
Z y
R X
u G
Z R
Z X
R Z
Z R
X X
R X
1 1
1 1
1 1
1
2 Jika
ˆ
dan
uˆ
adalah solusi dari persamaan 2 maka baris kedua dari persamaaan 2 adalah
[ ]
y R
Z u
G Z
R Z
X R
Z
1 1
1 1
ˆ ˆ
− −
− −
= +
+
atau
[ ]
X y
R Z
G Z
R Z
u
ˆ ˆ
1 1
1 1
− +
=
− −
− −
3 Sedangkan baris pertama dari persamaan 2 adalah
y R
X u
Z R
X X
R X
1 1
1
ˆ ˆ
− −
−
= +
4 substitusi
uˆ
pada persamaan 4 menghasilkan
[ ]
y R
X X
y R
Z G
Z R
Z Z
R X
X R
X
1 1
1 1
1 1
1
ˆ ˆ
− −
− −
− −
−
= −
+ +
atau
[ ]
[ ]
y R
Z G
Z R
Z Z
R X
y R
X X
R Z
G Z
R Z
Z R
X X
R X
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
ˆ ˆ
− −
− −
− −
− −
− −
− −
+ −
= +
−
atau
y V
X X
V X
1 -1
ˆ
−
=
sehingga
y V
X X
V X
1 1
1 -
ˆ
− −
=
5 Penduga efek tetap
ˆ
adalah penduga GLS generalized least squares dan
Xˆ
adalah BLUE best linear unbiased estimator untuk
X
. Bila y mempunyai
sebaran normal, maka
ˆ
adalah MLE maximum likelihood estimator. Penduga efek acak
uˆ
pada persamaan 3 dapat dinyatakan sebagai
X y
V GZ
u
ˆ ˆ
1
− =
−
37
yang merupakan BLUP best linear unbiased prediction dari u Christensen,
1987. Salah satu cara yang paling sederhana untuk mendapatkan BLUP adalah menggunakan justifikasi Henderson Henderson’s justification dengan
menggunakan asumsi sebaran, yaitu
N ~
R Zu,
X u
y +
dan
, N
~ G
u
maksimisasi fungsi kemungkinan bersama y,u pada dan u yang tidak diketahui
akan menghasilkan kriteria :
u G
u Zu
X y
R Zu
X y
1 1
− −
+ −
− −
−
6 Suku pertama pada persamaan 6 adalah jumlah kuadrat tertimbang dan suku
keduanya adalah penalti. Hal ini menunjukkan bahwa kriteria BLUP dari ,u terdiri dari GLS ditambah dengan satu suku penalti. BLUP dari ,u dapat ditulis
sebagai
y R
C B
C R
C u
1 1
1
ˆ ˆ
− −
−
+ =
dimana
[ ]
Z X
C ≡
dan
≡
−1
G B
sehingga
y R
C B
C R
C C
u Z
X y
1 1
1
ˆ ˆ
BLUP
− −
−
+ =
+ =
Pendugaan Komponen Ragam
Metode yang paling banyak digunakan dalam pendugaan matriks ragam- peragam pada model linear campuran adalah metode ML dan REML, di samping
metode lain seperti metode MINQUE dan MIVQUE minimum variance quadratic unbiased
. Metode REML menghasilkan penduga takbias bagi parameter matriks ragam-peragam, sedangkan ML menghasilkan penduga yang
bias. Penduga ML dari V ditentukan berdasarkan model sebaran
N ~
V ,
Zu X
y +
Fungsi log-kemungkinan log-likelihood dari y berdasarkan model sebaran di
atas adalah :
{ }
2 nlog
log ,
1 2
1 ML
+ −
− +
− =
−
X y
V X
y V
V
7 MLE bagi
, V
diperoleh dengan memaksimumkan
,
ML
V
. Jika
dilakukan optimasi terhadap dengan menganggap V tetap, maka akan diperoleh
bahwa
,
ML
V
maksimum pada
y V
X X
V X
1 1
1 -
ˆ
− −
=
, yang sama dengan
38 BLUE pada persamaan 5. Substitusi
ˆ
pada persamaan 7 menghasilkan profil
log-kemungkinan profile log-likelihood untuk V yaitu :
+ −
− +
− =
−
2 log
n ˆ
ˆ log
1 2
1 P
X y
V X
y V
V
[ ]
2 log
log
2 n
1 1
1 1
2 1
− −
Ι +
− =
− −
− −
y V
X X
V X
X V
y V
8
Penduga ML bagi parameter-parameter dalam V dapat diperoleh dengan
maksimisasi persamaan 8 terhadap parameter-parameternya. Prosedur iteratif pendugaan komponen ragam terdapat pada Searle et al 1992.
Penurunan kriteria REML lebih rumit, yaitu meliputi maksimisasi fungsi
kemungkinan dari kombinasi linear elemen y yang tidak tergantung pada .
Uraian lengkap tentang metode REML dapat dijumpai pada Christensen 1987 dan Searle et al 1992. Fungsi kriteria dari REML adalah
− +
− −
+ +
− =
− −
2 log
p n
ˆ ˆ
log log
1 1
2 1
REML
X y
V X
y X
V X
V V
2 log
log
2 p
1 2
1 P
+ −
=
−
X V
X V
Keuntungan utama dari REML dibanding ML adalah REML memperhitungkan derajat bebas dari efek tetap dalam model linear campuran.
3.3 Pemulusan dengan Model Linear Campuran
Kategori