58 dimana
f
1 t
1 −
y
dan
f
2 t
2 −
y
masing-masing adalah fungsi mulus dari peubah lag-1 dan lag-2 dari PM
10
dan Ozon,
g
t
m
adalah fungsi mulus suhu udara atau kecepatan angin,
t
aa
adalah peubah indikator arah angin,
t
ch
adalah peubah indikator curah hujan. Pendugaan model aditif deret waktu pada model 25 dapat
dilakukan seperti pada model aditif 19 dengan pendekatan model linear campuran. Model aditif 25 mengandung hubungan fungsional nonparametrik
dan parametrik, dan disebut dengan model semiparametrik.
Bahan dan Metode Penelitian
Data yang digunakan penelitian ini adalah data konsentrasi PM
10
dan konsentrasi Ozon gm
3
di SUF-1 pada bulan Mei 2002 sampai Agustus 2002. Data lebih dulu ditransformasi logaritma agar bentuk sebarannya simetrik.
Berdasarkan hasil eksplorasi data pada Bab 2, peubah penjelas untuk PM
10
adalah kecepatan angin, arah angin, dan curah hujan. Sedangkan peubah penjelas untuk
Ozon adalah suhu udara, arah angin dan curah hujan. Tahapan pembentukan model aditif deret waktu PM
10
dan Ozon adalah : 1. Menentukan hubungan fungsional antara respon dengan peubah penjelas.
2. Pada peubah penjelas yang mempunyai hubungan fungsional nonparametrik dibangkitkan basis spline.
a. Menentukan jumlah simpul yaitu
[ ]
35 berbeda,
yang prediktor
nilai min
5, maks
K
4 1
=
dan simpul ke-k terletak pada kuantil
1 K
k +
Ruppert, 2002. b. Membangkitkan basis fungsi pangkat terpotong yaitu
w k
t p
w k
t p
w k
t
≥ −
− =
−
+
κ κ
κ w
w w
dengan
K 1
...
κ κ
adalah simpul tetap. 3. Pendugaan model aditif dimensi rendah dengan model linear campuran
a. Menentukan matriks desain X dan Z untuk model linear campuran.
[ ]
n t
1 t
t t
2 t
1 t
1
≤ ≤
− −
= ch
aa m
y y
X
, dan
[ ]
t 2
t
1 t
m y
y
Z Z
Z Z
−
−
=
dimana
[ ]
1 1
1 t
K k
1 ;
n t
1 k
1 t
y ≤
≤ ≤
≤ +
−
− =
−
y
y κ
Z
,
[ ]
2 2
2 t
K k
1 ;
n t
1 k
2 t
y ≤
≤ ≤
≤ +
−
− =
−
y
y κ
Z
dan
[ ]
m
m m
m
K k
1 ;
n t
1 k
t
t
≤ ≤
≤ ≤
+
− =
κ
Z
59 b. Pendugaan parameter dan komponen ragam
2
1 t
−
y
σ ,
2 2
t −
y
σ
,
2 t
m
σ , dan
2
σ
dengan menggunakan metode REML. Pendugaan model dilakukan dengan bantuan paket program SAS v8.2.
4. Pemilihan model terbaik berdasarkan kriteria : a. AIC
terendah b. Nilai ACF dan PACF sisaan model tidak nyata
Hasil dan Pembahasan
Model Aditif Deret Waktu untuk PM
10
Berdasarkan hasil eksplorasi data PM
10
pada Subbab 2.5.2 diketahui model deret waktu konsentrasi PM
10
adalah AR2, dan konsentrasi PM
10
dipengaruhi oleh jam dan kecepatan angin pada lag--1. Plot antara PM
10
dengan peubah Lag1-PM
10
dan Lag2-PM
10
masing-masing disajikan pada Gambar 31a dan 32a. Dari kedua plot ini tampak pola hubungan fungsionalnya kemungkinan
linear atau nonparametrik. Untuk hubungan nonparametrik dimodelkan spline dengan jumlah simpul K=1, 5, 10, dan 35 yang berjarak sama. Keempat bentuk
hubungan fungsional untuk peubah Lag1-PM
10
masing-masing disajikan pada Gambar 31b sampai 31e, dan untuk peubah Lag2-PM
10
disajikan pada Gambar 32b sampai 32e.
Hubungan fungsional antara PM
10
dengan jam tidak mengikuti suatu fungsi parametrik tertentu sehingga didekati dengan nonparametrik. Pola sebaran
konsentrasi PM
10
terhadap jam antar bulan hampir sama hanya berbeda rataannya, sehingga jumlah simpul ditentukan berdasarkan waktu 24 jam yaitu K=8 dan
K=23 yang berjarak sama. Gambar kurva spline untuk jam dengan K=8 dan K=23 masing-masing disajikan pada Gambar 33a dan 33b.
Plot antara PM
10
dengan lag--1 kecepatan angin disajikan pada Gambar 34a. Dari Gambar ini tampak pola hubungan fungsional antara PM
10
dengan kecepatan angin kemungkinan dapat berbentuk parametrik atau nonparametrik.
Untuk hubungan parametrik dimodelkan kuadratik, sedangkan untuk hubungan nonparametrik dimodelkan spline dengan jumlah simpul K=1 dan K=5 yang
berjarak sama. Ketiga bentuk hubungan fungsional ini disajikan pada Gambar 34b sampai Gambar 34d.
60
1 2
3 4
5 6
lag-1 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
1 2
3 4
5 6
lag-1 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
1 2
3 4
5 6
lag-1 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
1 2
3 4
5 6
lag-1 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
1 2
3 4
5 6
lag-1 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
Gambar 31. a Plot tebaran ln PM
10
dengan lag-1 lnPM
10
, b-e Kurva spline untuk lnPM
10
dengan lag-1 lnPM
10
dengan jumlah simpul b K=1, c K=5, d K=10, e K=35.
1 2
3 4
5 6
lag-2 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
1 2
3 4
5 6
lag-2 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
1 2
3 4
5 6
lag-2 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
1 2
3 4
5 6
lag-2 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
1 2
3 4
5 6
lag-2 ln PM
10
1 2
3 4
5 6
ln P
M
1
Gambar 32. a Plot tebaran ln PM
10
dengan lag-2 lnPM
10
, b-e Kurva spline untuk lnPM
10
dengan lag-2 lnPM
10
dengan jumlah simpul b K=1, c K=5, d K=10, e K=35.
a b
e c
d
a b
c
e d
61
5 10
15 20
25 J a m
1 2
3 4
5 6
ln PM
-1
5 10
15 20
25 J a m
1 2
3 4
5 6
ln PM
-1
Gambar 33. Kurva spline untuk lnPM
10
dengan jam, a K=8 simpul, b K=23 simpul.
1 2
3 4
lag-1 Kecepatan Angin 1
2 3
4 5
6
ln P
M
1
1 2
3 4
lag-1 Kecepatan Angin 1
2 3
4 5
6
ln P
M
1
1 2
3 4
lag-1 Kecepatan Angin 1
2 3
4 5
6
ln P
M
1
1 2
3 4
lag-1 Kecepatan Angin 1
2 3
4 5
6
ln P
M
1
Gambar 34. a Plot tebaran lnPM
10
dengan lag--1 kecepatan angin, b-d kurva untuk lnPM
10
dengan lag--1 kecepatan angin, b kuadratik,
c spline K=1 simpul, d spline K= 5 simpul.
Dari kombinasi peubah penjelas dan jumlah simpul akan didapatkan beberapa kemungkinan model aditif yang disajikan pada Tabel 3. Mode-1 adalah
model deret waktu AR2. Model-2 sampai Model-5 masing-masing adalah model AAR2 dengan jumlah simpul K=1, 5, 10, 35 pada setiap komponen
modelnya. Model-6 sampai Model-9 adalah AAR2 ditambah peubah penjelas jam dengan jumlah simpul K=8. Model-10 sampai Model-13 adalah AAR2
a b
c d
a b
62 ditambah peubah penjelas jam dengan jumlah simpul K=23. Model-14 sampai
Model-25 adalah Model-10 sampai Model-13 ditambah dengan tiga macam hubungan fungsional peubah penjelas lag--1 kecepatan angin, peubah indikator
arah angin, dan peubah indikator curah hujan. Hasil selengkapnya pendugaan model aditif untuk PM
10
disajikan pada Tabel 3. Bila diperhatikan pada nilai AIC antara Model-1 sampai Model-5,
tampak Model-3 mempunyai nilai AIC yang terkecil. Penambahan jumlah simpul untuk peubah Lag1-PM dan Lag2-PM dari K=5 menjadi K=10 pada model 4 atau
K=35 pada model 5 tidak menurunkan nilai AIC. Pada Model-6 sampai Model- 13, tampak penambahan peubah penjelas Jam dengan K=8 atau K=23
terhadap Model-2 sampai Model-5 dapat menurunkan nilai AIC. Model dengan JamK=23 mempunyai nilai AIC lebih kecil dari pada model dengan JamK=8.
Nilai AIC Model-11 sampai Model-13 hampir sama dan terkecil. Kontribusi penambahan peubah penjelas faktor meteorologis terhadap penurunan nilai AIC
dapat dilihat pada Model-14 sampai Model-25. Pada umumnya bentuk hubungan fungsional dan jumlah simpul untuk kecepatan angin pengaruhnya kecil terhadap
nilai AIC. Semakin banyak jumlah simpul pada komponen Lag1-PM
dan Lag2- PM, semakin besar nilai parameter pemulusnya, kecuali untuk untuk Lag1-PMK=1
nilainya terbesar bahkan tak hingga. Hal ini berarti ragam dari Lag1-PMK=1 sangat kecil dibandingkan dengan MSE. Jumlah simpul pada komponen Jam
pengaruhnya kecil terhadap nilai parameter pemulusnya. Pada kecepatan angin, bertambahnya jumlah simpul maka bertambah besar nilai parameter pemulusnya.
Penentuan model terbaik untuk PM
10
ditentukan berdasarkan nilai AIC, plot ACF dan PACF dari galat model, bentuk hubungan fungsional yang
sederhana dengan jumlah simpul yang sedikit. Model-15, Model-19, Model-23, Model-24 dan Model-25 mempunyai nilai AIC hampir sama, akan tetapi jumlah
simpul untuk Lag1-PM dan Lag2-PM pada Model-24 dan Model-25 lebih banyak. Model-15, Model-19, dan Model-23 mempunyai Lag1-PM dan Lag2-PM dengan
jumlah simpul yang sama, sedangkan hubungan fungsional dan jumlah simpul pada Lag-1-KA berbeda. Dari ketiga model ini, Model-15 mempunyai hubungan
fungsional KA yang sederhana. Dengan demikian model aditif deret waktu terbaik
63 untuk PM
10
mempunyai komponen Lag1-PMK=5, Lag2-PMK=5, JamK=23, Lag-1-KA
2
, AAI, dan HJI. Plot ACF dan PACF dari galat model terbaik PM
10
masing-masing disajikan pada Gambar 35a dan 35b. Dari kedua plot ini tampak nilai
autokorelasi galat model sudah sangat kecil dan tidak berpola. Untuk mengetahui kedekatan antara hasil pendugaan dengan data asli dapat dilihat pada Gambar 36.
Rasio beda MSE antara model deret waktu dengan model aditif deret waktu PM
10
sebesar
316 .
1274 .
0871 .
1274 .
= −
, artinya model aditif deret waktu dapat menurunkan keragaman galat dari model deret waktu sebesar 31.6 .
L A G A
C F
6 0 4 8
3 6 2 4
1 2 1
1 . 0 0 . 5
0 . 0 - 0 . 5
- 1 . 0 L A G
P A
C F
6 0 4 8
3 6 2 4
1 2 1
1 . 0 0 . 5
0 . 0 - 0 . 5
- 1 . 0
Gambar 35. a Plot ACF galat model aditif terbaik PM
10
b Plot ACF galat model aditif terbaik PM
10
J A M ln
P M
-1 6
4 2
6 4
2 6
4 2
744 672
576 480
384 288
192 96
1 6
4 2
B u l an = 5
B u l an = 6
B u l an = 7
B u l an = 8
Gambar 36. Plot tebaran data dan hasil pendugaan model aditif deret waktu terbaik PM
10
dengan jam
a b
Tabel 3. Beberapa Model Aditif untuk PM
10
dan Nilai Statistik Model
Nilai Parameter Pemulus
Nomor Model PM
10
AIC MSE
Lag1-PM Lag2-PM
Jam Lag-1-KA
1 Lag1-PM +Lag2-PM
2280.7 0.1274
- -
- -
2 Lag1-PM K=1 +Lag2-PM K=1
2115.8 0.1196
1.33 1.48
- -
3 Lag1-PM K=5 +Lag2-PM K=5
2092.4 0.1185
1.61 1.62
- -
4 Lag1-PM K=10 +Lag2-PM K=10
2093.8 0.1185
2.27 2.32
- -
5 Lag1-PM K=35 +Lag2-PM K=35
2093.2 0.1185
4.00 4.21
- -
6 Lag1-PM K=1 + Lag2-PM K=1 + Jam K=8
1746.4 0.1030
1.50 1.38
2.47 -
7 Lag1-PM K=5 + Lag2-PM K=5 + Jam K=8
1734.8 0.1026
1.95 1.61
2.49 -
8 Lag1-PM K=10 + Lag2-PM K=10 + Jam K=8
1734.6 0.1026
2.47 2.33
2.48 -
9 Lag1-PM K=35 + Lag2-PM K=35 + Jam K=8
1734.0 0.1025
4.49 4.18
2.48 -
10 Lag1-PM K=1 + Lag2-PM K=1 + Jam K=23
1692.4 0.1002
1.91 1.30
2.55 -
11 Lag1-PM K=5 + Lag2-PM K=5 + Jam K=23
1677.6 0.0996
1.95 1.55
2.52 -
12 Lag1-PM K=10 + Lag2-PM K=10 + Jam K=23
1677.9 0.0996
2.45 2.27
2.52 -
13 Lag1-PM K=35 + Lag2-PM K=35 + Jam K=23
1677.1 0.0996
4.36 4.10
2.52 -
14 Lag1-PM K=1 + Lag2-PM K=1 + Jam K=23 + Lag-1-KA
2
+ AA I + HJ I 1368.3
0.0876 1.96
2.77 -
15 Lag1-PM K=5 + Lag2-PM K=5 + Jam K=23 + Lag-1-KA
2
+ AA I + HJ I 1355.5
0.0871 2.26
1.90 2.74
- 16
Lag1-PM K=10 + Lag2-PM K=10 + Jam K=23 + Lag-1-KA
2
+ AA I + HJ I 1356.0
0.0871 2.97
2.60 2.75
- 17
Lag1-PM K=35 + Lag2-PM K=35 + Jam K=23 + Lag-1-KA
2
+ AA I + HJ I 1355.7
0.0871 5.43
4.68 2.74
- 18
Lag1-PM K=1 + Lag2-PM K=1 + Jam K=23 + Lag-1-KA K=1 + AA I + HJ I 1367.9
0.0875 1.32E+09
1.97 2.74
1.32 19
Lag1-PM K=5 + Lag2-PM K=5 + Jam K=23 + Lag-1-KA K=1 + AA I + HJ I 1355.6
0.0870 2.29
1.90 2.71
1.37 20
Lag1-PM K=10 + Lag2-PM K=10 + Jam K=23 + Lag-1-KA K=1 + AA I + HJ I 1356.1
0.0870 3.01
2.60 2.72
1.37 21
Lag1-PM K=35 + Lag2-PM K=35 + Jam K=23 + Lag-1-KA K=1 + AA I + HJ I 1355.8
0.0870 5.50
4.69 2.72
1.37 22
Lag1-PM K=1 + Lag2-PM K=1 + Jam K=23 + Lag-1-KA K=5 + AA I + HJ I 1363.9
0.0875 6.10E+26
1.95 2.73
3.94 23
Lag1-PM K=5 + Lag2-PM K=5 + Jam K=23 + Lag-1-KA K=5 + AA I + HJ I 1351.7
0.0870 2.30
1.88 2.70
4.06 24
Lag1-PM K=10 + Lag2-PM K=10 + Jam K=23 + Lag-1-KA K=5 + AA I + HJ I 1352.2
0.0870 3.02
2.58 2.71
4.06 25
Lag1-PM K=35 + Lag2-PM K=35 + Jam K=23 + Lag-1-KA K=5 + AA I + HJ I 1351.9
0.0869 5.51
4.63 2.71
4.06
6 4
65
Model Aditif Deret Waktu untuk Ozon
Berdasarkan hasil eksplorasi data Ozon pada Subbab 2.5.3 diketahu model deret waktu konsentrasi Ozon adalah AR2, dan konsentrasi Ozon dipengaruhi
oleh jam dan suhu udara. Plot antara Ozon dengan peubah Lag1-Ozon dan
Lag2-Ozon masing-masing disajikan pada Gambar 37a dan 38b. Dari kedua
plot ini tampak pola hubungan fungsionalnya kemungkinan linear atau nonparametrik. Untuk hubungan nonparametrik dimodelkan spline dengan jumlah
simpul K=1, 5, 10, dan 35 yang berjarak sama. Keempat hubungan fungsional untuk peubah Lag1-Ozon masing-masing disajikan pada Gambar 37b sampai
37e, dan untuk peubah Lag2-Ozon disajikan pada Gambar 38b sampai 38e
1 2
3 4
5 lag-1 ln Ozon
1 2
3 4
5
ln O
zo n
1 2
3 4
5 lag-1 ln Ozon
1 2
3 4
5
ln O
zo n
1 2
3 4
5 lag-1 lnOzon
1 2
3 4
5 ln
O zo
n
1 2
3 4
5 lag-1 lnOzon
1 2
3 4
5 ln
O zo
n
1 2
3 4
5 lag-1 lnOzon
1 2
3 4
5 ln
O zo
n
Gambar 37. a Plot tebaran lnOzon dengan lag-1 lnOzon, b-e Kurva spline
untuk lnOzon dengan lag-1 lnOzon dengan jumlah simpul b K=1,
c K=5, d K=10, e K=35. Seperti pada PM
10
, hubungan fungsional antara Ozon dengan waktu didekati dengan nonparametrik. Pola sebaran konsentrasi Ozon terhadap jam
antar bulan hampir sama hanya berbeda rataannya, sehingga jumlah simpul ditentukan berdasarkan waktu 24 jam, yaitu K=8 dan K=23 yang berjarak sama.
Gambar kurva spline untuk jam dengan K= 8 dan K=23 masing-masing disajikan pada Gambar 39a dan Gambar 39b.
a b
e c
d
66
1 2
3 4
5 lag-2 ln Ozon
1 2
3 4
5
ln O
zo n
1 2
3 4
5 lag-2 ln Ozon
1 2
3 4
5
ln O
zo n
1 2
3 4
5 lag-2 lnOzon
1 2
3 4
5 ln
O zo
n
1 2
3 4
5 lag-2 lnOzon
1 2
3 4
5 ln
O zo
n
1 2
3 4
5 lag-2 lnOzon
1 2
3 4
5 ln
O zo
n
Gambar 38. a Plot tebaran lnOzon dengan lag-2 lnOzon, b-e Kurva spline
untuk lnOzon dengan lag-2 lnOzon dengan jumlah simpul b K=1,
c K=5, d K=10, e K=35
5 10
15 20
25 J a m
1 2
3 4
5 ln
O zo
n
5 10
15 20
25 J a m
1 2
3 4
5 ln
O zo
n
Gambar 39. Kurva spline untuk lnOzon dengan jam, a K=8 simpul, b K=23
simpul. Plot antara Ozon dengan suhu udara disajikan pada Gambar 40a. Dari
Gambar tampak pola hubungan fungsional antara Ozon dengan suhu udara dapat
berbentuk parametrik atau nonparametrik. Untuk hubungan parametrik dimodelkan kuadratik, sedangkan untuk hubungan nonparametrik dimodelkan
spline dengan K=1 dan K=5 yang berjarak sama. Ketiga bentuk hubungan fungsional ini disajikan pada Gambar 40b sampai Gambar 40d.
a b
e c
d
a b
67
20 22
24 26
28 30
32 34
S uhu Udara 1
2 3
4 5
ln O
zo n
20 22
24 26
28 30
32 34
S uhu Udara 1
2 3
4 5
ln O
zo n
20 22
24 26
28 30
32 34
S uhu Udara 1
2 3
4 5
ln O
zo n
20 22
24 26
28 30
32 34
S uhu Udara 1
2 3
4 5
ln O
zo n
Gambar 40. a Plot tebaran lnOzon dengan suhu udara, b-d kurva untuk
lnOzon dengan suhu udara, b kuadratik c spline K=1 simpul,
d spline K= 5 simpul.
Dari kombinasi peubah penjelas dan jumlah simpul akan didapatkan beberapa kemungkinan model aditif seperti pada PM
10
. Hasil selengkapnya pendugaan model aditif untuk Ozon
disajikan pada Tabel 4. Bila diperhatikan pada nilai AIC antara Model-1 sampai Model-5, tampak Model-5 mempunyai
nilai AIC terkecil. Penambahan jumlah simpul untuk peubah Lag1-Ozon dan Lag2-Ozon menurunkan nilai AIC. Pada Model-6 sampai Model-13, tampak
penambahan peubah penjelas jam dengan K=8 atau K=23 terhadap Model-2 sampai Model-5 dapat menurunkan nilai AIC. Model dengan JamK=23
mempunyai nilai AIC lebih kecil dari pada model dengan JamK=8. Pada Model-14 sampai Model-25 tampak kontribusi penambahan peubah penjelas
faktor meteorologis pada Model-10 sampai Model-13 terhadap penurunan nilai AIC. Pada umumnya bentuk hubungan fungsional dan jumlah simpul untuk suhu
udara pengaruhnya kecil terhadap nilai AIC.
a b
c d
65
Tabel 4. Beberapa Model Aditif untuk Ozon dan Nilai Statistik Model
Nilai Parameter Pemulus
Nomor Model Ozon
AIC MSE
Lag1-Ozon Lag2-Ozon
Jam SH
1 Lag1-Ozon +Lag2-Ozon
2973.1 0.1725
- -
- -
2 Lag1-Ozon K=1 +Lag2-Ozon K=1
2950.1 0.1697
4.42 2.65
- -
3 Lag1-Ozon K=5 +Lag2-Ozon K=5
2921.9 0.1676
1.22 1.86
- -
4 Lag1-Ozon K=10 +Lag2-Ozon K=10
2919.3 0.1665
1.69 0.68
- -
5 Lag1-Ozon K=35 +Lag2-Ozon K=35
2852.2 0.1596
0.82 0.46
- -
6 Lag1-Ozon K=1 + Lag2-Ozon K=1 + Jam K=8
2178.8 0.1253
1.42 -
7 Lag1-Ozon K=5 + Lag2-Ozon K=5 + Jam K=8
2172.6 0.1253
9.03 16.93
1.43 -
8 Lag1-Ozon K=10 + Lag2-Ozon K=10 + Jam K=8
2172.4 0.1253
12.48 21.27
1.43 -
9 Lag1-Ozon K=35 + Lag2-Ozon K=35 + Jam K=8
2157.8 0.1228
18.14 0.67
1.44 -
10 Lag1-Ozon K=1 + Lag2-Ozon K=1 + Jam K=23
2043.5 0.1171
19.92 1.23
- 11
Lag1-Ozon K=5 + Lag2-Ozon K=5 + Jam K=23 2037.1
0.1172 6.46
35.12 1.24
- 12
Lag1-Ozon K=10 + Lag2-Ozon K=10 + Jam K=23 2036.4
0.1171 8.24
38.26 1.23
- 13
Lag1-Ozon K=35 + Lag2-Ozon K=35 + Jam K=23 2020.8
0.1148 16.13
0.66 1.27
- 14
Lag1-Ozon K=1 + Lag2-Ozon K=1 + Jam K=23 + SH
2
+ AA I + HJ I 1926.2
0.1092 23.31
4.10 1.32
- 15
Lag1-Ozon K=5 + Lag2-Ozon K=5 + Jam K=23 + SH
2
+ AA I + HJ I 1910.1
0.1088 4.32
6.19 1.34
- 16
Lag1-Ozon K=10 + Lag2-Ozon K=10 + Jam K=23 + SH
2
+ AA I + HJ I 1906.9
0.1081 9.60
0.92 1.35
- 17
Lag1-Ozon K=35 + Lag2-Ozon K=35 + Jam K=23 + SH
2
+ AA I + HJ I 1881.0
0.1063 17.81
0.61 1.40
- 18
Lag1-Ozon K=1 + Lag2-Ozon K=1 + Jam K=23 + SH K=1 + AA I + HJ I 1926.2
0.1092 23.31
4.10 1.32
19 Lag1-Ozon K=5 + Lag2-Ozon K=5 + Jam K=23 + SH K=1 + AA I + HJ I
1910.1 0.1088
4.32 6.19
1.34 20
Lag1-Ozon K=10 + Lag2-Ozon K=10 + Jam K=23 + SH K=1 + AA I + HJ I 1906.9
0.1081 9.60
0.92 1.35
21 Lag1-Ozon K=35 + Lag2-Ozon K=35 + Jam K=23 + SH K=1 + AA I + HJ I
1881.0 0.1063
17.81 0.61
1.40 22
Lag1-Ozon K=1 + Lag2-Ozon K=1 + Jam K=23 + SH K=5 + AA I + HJ I 1906.2
0.1083 9.12
4.11 1.36
4.28 23
Lag1-Ozon K=5 + Lag2-Ozon K=5 + Jam K=23 + SH K=5 + AA I + HJ I 1888.8
0.1079 3.27
7.90 1.38
4.09 24
Lag1-Ozon K=10 + Lag2-Ozon K=10 + Jam K=23 + SH K=5 + AA I + HJ I 1886.2
0.1072 7.71
0.93 1.39
4.20 25
Lag1-Ozon K=35 + Lag2-Ozon K=35 + Jam K=23 + SH K=5 + AA I + HJ I 1860.9
0.1054 14.49
0.61 1.43
4.27
6 8
69 Pada Model-1 sampai Model-5 tampak semakin banyak jumlah simpul
pada komponen Lag1-Ozon dan Lag2-Ozon, semakin kecil nilai parameter pemulusnya. Penambahan peubah penjelas JamK=23 dan faktor meteorologis
terhadap Model-2 sampai Model-5, menunjukkan bahwa semakin banyak jumlah simpul untuk Lag1-Ozon dan Lag2-Ozon maka nilai parameter pemulus
Lag1-Ozon semakin besar sedangkan nilai parameter pemulus Lag2-Ozon semakin kecil, kecuali pada K=1. Hal ini menunjukkan bahwa penambahan
jumlah simpul pada Lag1-Ozon cenderung menambah kemulusan kurva, sedangkan pada Lag2-Ozon terjadi hal sebaliknya. Jumlah simpul pada komponen
Jam tidak banyak berpengaruh terhadap nilai parameter pemulusnya. Penambahan jumlah simpul pada suhu udara cenderung menurunkan nilai parameter
pemulusnya. Nilai parameter pemulus untuk suhu udara pada Model-18 sampai Model-21 tak berhingga, hal ini menunjukkan bahwa ragam SHK=1 sangat kecil
dibandingkan dengan MSE. Penentuan model terbaik untuk Ozon sama seperti pada PM
10
, yaitu ditentukan
berdasarkan nilai AIC, plot ACF dan PACF dari galat, dan bentuk hubungan fungsional yang sederhana dengan jumlah simpul yang sedikit.
Model- 17, Model-21, Model-23, Model-24, dan Model-25 mempunyai nilai AIC terkecil. Dari ke lima model ini, tampak pada Model-17, Model-21, Model-24,
dan Model-25 mempunyai parameter pemulus pada Lag1-Ozon bernilai besar dan pada Lag2-Ozon bernilai kecil. Model-23 mempunyai jumlah simpul terkecil
untuk Lag1-Ozon dan Lag2-Ozon, dengan nilai parameter pemulusnya tidak terlalu besar atau terlalu kecil. Dengan demikian model aditif deret waktu terbaik
untuk Ozon adalah Model-23 dengan komponen Lag1-OzonK=5, Lag2- OzonK=5, JamK=23, SHK=5, AAI, HJI.
Plot ACF dan PACF dari galat model terbaik Ozon masing-masing disajikan pada Gambar 41a dan 41b. Dari kedua plot ini tampak nilai
autokorelasi galat model sudah sangat kecil. Kedekatan antara hasil pendugaan dengan data asli dapat dilihat pada Gambar 42. Rasio beda MSE antara model
deret waktu
dengan model
aditif deret
waktu Ozon
sebesar
374 .
1725 .
1079 .
1725 .
= −
artinya model aditif deret waktu dapat menurunkan MSE dari model deret waktu sebesar 37.4.
70
L A G A
C F
6 0 4 8
3 6 2 4
1 2 1
1 . 0 0 . 5
0 . 0 - 0 . 5
- 1 . 0
L A G P
A C
F
6 0 4 8
3 6 2 4
1 2 1
1 . 0 0 . 5
0 . 0 - 0 . 5
- 1 . 0
Gambar 41. a Plot ACF galat model aditif terbaik Ozon b Plot ACF galat model aditif terbaik Ozon
J A M ln
O zo
n 4
2 4
2 4
2
744 672
576 480
384 288
192 96
1 4
2
Bulan = 5
Bulan = 6
Bulan = 7
Bulan = 8
Gambar 42. Plot tebaran data dan hasil pendugaan model aditif deret waktu terbaik Ozon dengan Jam
Simpulan
Nilai AIC model aditif deret waktu lebih kecil dibandingkan dengan model deret waktu. Penambahan faktor meteorologis terhadap model aditif deret waktu
dapat menurunkan AIC, meskipun bentuk hubungan fungsional dan jumlah simpulnya kurang berpengaruh terhadap AIC. Jumlah simpul pada komponen
model Lag1-PMOzon, Lag2-PMOzon, dan Jam berpengaruh besar terhadap nilai AIC model.
a b
71
Daftar Pustaka
Djuraidah A, Aunuddin. 2006a Pendugaan Regresi Spline Terpenalti dengan Pendekatan Model Linear Campuran. Statistika Jurnal Statistika FMIPA-
UNISBA 6: 39-46. Djuraidah A, Aunuddin. 2006b. Pendugaan Model Aditif untuk Data Deret
Waktu dengan Pendekatan Model Linear Campuran. Inferensi Jurnal Statistika FMIPA-ITS 2:76-92.
Eilers PHC, Marx BD. 1996. Flexible smoothing with B-splines and penalties with discussion. Stat Sci 11: 89-121.
Fan J, Yao Q. 2003. Nonlinear Time Series. Nonparametric and Parametric Methods.
New York : Springer-Verlag Hastie TJ, Tibshirani RJ. 1990. Generalized Additive Models. London: Chapman
Hall. Huang JZ, Shen H. 2004. Functional Coefficient Regression Models for Nonlinear
Time series: A Polynomial Spline Approach. Scand J Stat 31: 515-534 Ruppert D, Carroll RJ. 1997. Penalized regression splines. Unpublished
manuscript. [terhubung berkala]. http:www.orie.cornell.edu~davidr
papers index index.html
Ruppert D. 2002. Selecting the number of knots for penalized splines. J Comp Graph Stat
11: 735–757. Stone CJ. 1985. Additive Regression and Other Nonparametric Models. Ann Stat
13: 689–705.
Wand M. 2003. Smoothing and mixed models. Comp Stat 18:223–249.
85
2 -0.4
-0.2 0.0
0.2 7.3
0.4 0.6
112.78 7.27
112.73 7.22
Latitude 112.68
Longitude
2 -0 .1
0 .0 0 .1
7 .3 0 .2
1 1 2 .7 8 0 .3
7 .2 7 1 1 2 .7 3
7 .2 2 1 1 2 .6 8
Latitu de Lo ngitu de
1 -0 .1
0 .0 0 .1
0 .2 7 .3 2
0 .3 0 .4
1 2 .7 8 7 .2 7
1 1 2 .7 3 Latitu de
7 .2 2 1 1 2 .6 8
Lo ngitu de
Gambar 51. Kontur spline-2 Ozon dengan jumlah simpul a K=3, b K= 4, c K= 5; Kurva permukaan spline-2 Ozon dengan jumlah simpul
d K=3, e K=4, f K=5
Gambar 52. a Pola simpangan baku spatial dari kriging dan b Pola simpangan baku spatial dari Spline-2 untuk Ozon
Longitude L
at it
u d
e
0.107320 0.107320
0.107310 0.107310
0.107303 0.107320
0.107320 0.107310
0.107310
0.107303
0.78 0.76
0.74 0.72
0.70 0.68
0.32 0.30
0.28 0.26
0.24 0.22
7.32 7.30
7.28 7.26
7.24 7.22
112. 68 112.70 112.72 112.74 112.76 112.78 Longitude
Longitude L
at it
u d
e
0.11742
0.11742 0.11742
0.11741 0.11741
0.11741 0.11741
0.11741
0.11740 0.11740
0.11739 0.11739
0.11739 0.11739
0.11739 0.11738
0.11738 0.11738
0.11738 0.11738
0.11742
0.11742 0.11742
0.11741 0.11741
0.11741 0.11741
0.11741
0.11740 0.11740
0.11739 0.11739
0.11739 0.11739
0.11739 0.11738
0.11738 0.11738
0.11738 0.11738
0.78 0.76
0.74 0.72
0.70 0.68
0.32 0.30
0.28 0.26
0.24 0.22
7.32 7.30
7.28 7.26
7.24 7.22
112. 68 112.70 112.72 112.74 112.76 112.78 Longitude
a
Longitude L
at it
u d
e
0.45 0.30
0.15 0.00
-0.15 -0.30
0.45 0.30
0.15 0.00
-0.15 -0.30
0.78 0.76
0.74 0.72
0.70 0.68
0.32 0.30
0.28 0.26
0.24 0.22
7.32 7.30
7.28 7.26
7.24 7.22
112. 68 112.70 112.72 112.74 112.76 112.78 Longitude
Longitude L
at it
u d
e
0.14 0.10
0.06 0.02
0.02
-0.02 0.14
0.10 0.06
0.02 0.02
-0.02 0.78
0.76 0.74
0.72 0.70
0.68 0.32
0.30 0.28
0.26 0.24
0.22 7.32
7.30 7.28
7.26 7.24
7.22 112. 68 112.70 112.72 112.74 112.76 112.78
Longitude
Longitude L
at it
u d
e
0.18 0.12
0.12 0.06
0.00
-0.06 0.18
0.12 0.12
0.06 0.00
-0.06
0.78 0.76
0.74 0.72
0.70 0.68
0.32 0.30
0.28 0.26
0.24 0.22
7.32 7.30
7.28 7.26
7.24 7.22
112. 68 112.70 112.72 112.74 112.76 112.78 Longitude
d
e
c f
a
b
b
86
Simpulan
Pendugaan model kriging dan spline-2 dengan model linear campuran memberikan kemudahan dalam pengambilan kesimpulan. Prediksi spatial dengan
kriging menghasilkan kurva permukaan yang kasar sedangkan dengan spline-2 menghasilkan kurva permukaan yang halus. Model prediksi spatial terbaik untuk
PM
10
dan Ozon adalah kriging dengan jumlah simpul 5.
Daftar Pustaka
Banerjee S, Carlin BP, Gelfand AE. 2004. Hierarchical Modelling and Analysis for Spatial Data
. Boca Raton: Chapman Hall. Cressie N. 1993. Statistics for Spatial Data. New York : John Wiley and Sons.
Djuraidah A, Aunuddin. 2006. Kriging dan Thin-Plate Spline dengan Pendekatan Model Linear Campuran. Matematika Integratif Jurnal Matematika
FMIPA-UNPAD 52:1-12. Diggle PJ, Tawn JA, Moyeed RA. 1998. Model-based geostatistics with
discussion. Appl Stat 47: 299-350. French JL, Kammann EE, Wand MP. 2001. Comment on Semiparametric
nonlinear mixed-effects models and their applications by Ke and Wang. J Amer Stat Ass
96:1285-1288. Green PJ, Silverman BW. 1994. Nonparametric Regression and Generalized
Linear Models : a Roughness Penalty Approach. London : Chapman Hall.
Handcock MS, Meier K, Nychka D. 1994. Comment on Kriging and spline : an empirical comparison of their predictive performance in some application by
Laslett. J Amer Stat Ass 89, 401-403. Hutchinson MF. 1993. On thin plate splines and Kriging. Interface Foundation of
North America. Berkeley. Comp Sci Sta 25:55-62. Hutchinson MF. 1998
Interpolation of Rainfall Data with Thin Plate Smoothing Splines. Part I : Two Dimensional Smoothing of Data with Short Range
Correlation. J Geographic Information and Decision Analysis 22: 139-151 Laslett GM. 1994. Kriging and spline : an empirical comparison of their
predictive performance in some application. J Amer Stat Ass 89:401-403. Kammann EE , Wand MP. 2003. Geoadditive models. Appl Stat 52:1-18.
Nychka DW. 2000. Spatial process estimates as smoothers. In Smoothing and Regression M. Schimek, ed.. Heidelberg: Springer-Verlag.
Stein ML. 1999. Interpolation of Spatial Data. Some Theory for Kriging. New York : Springer-Verlag.
Wand M. 2003. Smoothing and mixed models. Comp Stat 18:223–249.
98
Simpulan
Model aditif spatio-temporal dapat menerangkan keragaman spatial dan temporal pada data PM
10
dan Ozon. Komponen model aditif spatio-temporal terbaik untuk PM
10
dan Ozon terdiri atas AAR2, faktor meteorologis, dan kriging dengan jumlah simpul 5. Pendugaan model aditif spatio-temporal dengan
menggunakan pendekatan model linear campuran memberikan kemudahan dalam komputasi dan penarikan kesimpulan.
Daftar Pustaka
Djuraidah A, Aunuddin. 2006a. Pendugaan Regresi Spline Terpenalti dengan Pendekatan Model Campuran. Statistika Jurnal Statistika FMIPA-UNISBA
61: 39-46. Djuraidah A, Aunuddin. 2006b. Pendugaan Model Aditif untuk Data Deret
Waktu dengan Pendekatan Model Linear Campuran. Inferensi Jurnal Statistika FMIPA-ITS 21:76-92.
Djuraidah A, Aunuddin. 2006c. Kriging dan Thin-Plate Spline dengan Pendekatan Model Campuran. Matematika Integratif Jurnal Matematika
FMIPA-UNPAD 52:1-12. Djuraidah A, Aunuddin. 2006d. Estimation of Spatio-temporal Additive Model
Using Linear Mixed Model Approach with Application to Ozone Data in Surabaya. Proceedings of The first International Conference on Mathematics
and Statististics, Bandung, June 19 – 21, 2006 akan diterbitkan.
Eilers PHC, Marx BD. 1996. Flexible smoothing with B-splines and penalties with discussion. Stat Sci 11:89-121.
Fan J, Yao Q. 2003. Nonlinear Time Series. Nonparametric and Parametric Methods.
New York : Springer-Verlag. Green PJ, Silverman BW. 1994. Nonparametric Regression and Generalized
Linear Models : a Roughness Penalty Approach. London : Chapman
Hall. Hastie TJ, Tibshirani RJ. 1990. Generalized Additive Models. London: Chapman
Hall. Nychka DW. 2000. Spatial process estimates as smoothers. In Smoothing and
Regression M. Schimek, ed.. Heidelberg: Springer-Verlag. Ruppert D, Carroll RJ. 1997. Penalized regression splines. Unpublished
manuscript. [terhubung
berkala]. http:www.orie.cornell.edu~davidr
papers indexindexindex.html
Wand M. 2003. Smoothing and mixed models. Comp Stat 18:223–249.
8. PEMBAHASAN UMUM