3. MODEL LINEAR CAMPURAN
3.1. Sejarah Komponen Ragam
Sejarah perkembangan komponen ragam diawali pada model dengan satu faktor. Formulasi pertama dari model efek acak dikemukakan oleh Airy pada
tahun 1861. Airy melakukan pengamatan dengan teleskop pada fenomena yang sama untuk a malam dengan n
i
pengamatan pada malam-i. Airy menduga ragam galat untuk malam-i yang dinotasikan dengan
2 ,i
σ
, dan menghitung rataannya untuk untuk menduga
2
σ
. Fakta ini juga menunjukkan bahwa ahli astronomi pada masa itu telah mengenal konsep derajat bebas. Pengguna kedua model efek
acak adalah Chauvenet pada tahun 1863 yang menurunkan formula untuk ragam rataan umum
.. var y
, meskipun tanpa menuliskan modelnya Searle et al, 1992. Perkembangan komponen ragam antara tahun 1900 sampai 1939
dipelopori oleh Fisher. Kontribusi besar Fisher 1925 pada model komponen ragam adalah metode analisis ragam selanjutnya disebut metode ANOVA yaitu
menyamakan jumlah kuadrat dari analisis ragam dengan nilai harapannya sesuai model acak atau campuran, sehingga menghasilkan satu gugus persamaan linear
dalam komponen ragam yang akan diduga. Gagasan ini berasal dari pemakaian metode ANOVA untuk menurunkan penduga korelasi intra-kelas pada rancangan
acak lengkap. Meskipun Fisher memperluas metode ANOVA satu faktor untuk data tak berimbang ke dalam model dua faktor dengan interaksi dan model-model
yang kompleks, akan tetapi dalam papernya tidak pernah menggunakan operator E atau kalimat expected value untuk pendugaan komponen ragam Searle et al,
1992. Fisher 1935 menggunakan istilah component of variation yang dirangkai dalam istilah error component pada paper-nya, yang tanpa diragukan merupakan
asal pemakaian dari istilah variance component. Istilah komponen ragam pertama kali digunakan oleh Daniels 1939.
Tippett 1931 menjelaskan metode ANOVA untuk pendugaan komponen ragam pada data berimbang dan perluasannya pada rancangan dua faktor tanpa
interaksi pada model acak. Tippett mengabaikan kemungkinan efek interaksi pada model linear, sedangkan Fisher 1925 tidak hanya menggunakan istilah interaksi
tetapi juga menjelaskan interaksi antara dua faktor A dan B. Tippett pertama kali
34 menampilkan tabel ANOVA dengan nilai harapan dari kuadrat tengah Sahai dan
Ageel, 2000. Komponen ragam untuk data tak berimbang pada model acak satu faktor dikemukakan oleh Cohran 1939.
Perkembangan dari beragam model sangat intensif muncul antara 1940 sampai 1949. Eisenhart 1947 pertama kali menggunakan istilah Model I dan
Model II untuk menyatakan model efek tetap dan model efek acak, dan juga memperhatikan kemungkinan dari model campuran. Sebelumnya Daniel 1939
dan Crump 1946 membahas tentang model acak, sedangkan Jackson 1939 membahas model campuran dua faktor tanpa interaksi. Crump juga menggunakan
asumsi normal untuk pendugaan dengan metode ML. Kemudian diikuti Satterthwaite 1946 yang mengemukakan pendekatan pendugaan komponen
ragam dengan sebaran contoh. Sedangkan Wald 1941 mengemukakan selang kepercayaan untuk ratio komponen ragam pada rancangan satu dan dua faktor
pada data tak berimbang. Tahun 1950 sampai 1969 merupakan perkembangan terbesar dari metode
pendugaan komponen ragam yang diawali dengan perluasan metode yg sudah ada dan diakhiri dengan pengukuhan metode baru berdasarkan ML atau kriteria
norma minimum. Diawali Anderson dan Bancroft 1952 yang membahas komponen ragam pada data berimbang untuk model campuran dan model acak,
data tak berimbang pada rancangan tersarang dan kelompok taklengkap. Dua tahun kemudian Bennett dan Franklin 1954 membahas nilai harapan kuadrat
tengah dalam istilah komponen ragam. Henderson 1953 mengemukakan tentang pendugaan komponen ragam
pada data tak berimbang. Paper ini dimotivasi oleh pekerjaan penulisnya yang berhubungan dengan analisis statistika pada perusahaan susu sapi. Paper ini
mempresentasikan tiga metode yang berbeda dari penggunaan data tak berimbang pada model acak atau model campuran dengan sejumlah klasifikasi silang dan
atau tersarang. Ketiga metode ini diadaptasi dari metode ANOVA dengan menyamaan untuk data berimbang jumlah kuadrat dengan nilai harapannya dan
dikenal dengan Metode Henderson I, II, dan III. Pada tahun 1950-1969 banyak publikasi tentang sifat-sifat penduga dari
metode ANOVA. Kelemahan penduga komponen ragam dengan metode ANOVA
35 pelan-pelan mulai disingkap. Hal ini tidak hanya karena metode Henderson I
menghasilkan satu prosedur pendugaan komponen ragam untuk data tak berimbang yang sebelumnya tidak ada, tetapi juga ditunjang oleh kemajuan
komputasi pada era awal komputer Diawali oleh Crump 1951 yang membahas metode ML untuk klasifikasi satu arah pada data berimbang dan tak berimbang,
dan mendapatkan persamaan yang diselesaikan secara iteratif. Herbach 1959 menurunkan secara eksplisit penduga ML untuk model data berimbang.
Kemudian diikuti Corbeil dan Searle 1976 yang menyarikan penduga ML pada sejumlah kasus data berimbang.
Hartley dan Rao 1967 mengemukakan metode ML untuk model campuran dan model acak pada data berimbang atau tak berimbang. Kedatangan
komputer dan perkembangan paket-paket komputasi sangat membantu dalam mengatasi permasalahan komputasi seperti prosedur iteratif metode ML. Miller
1973 meneliti sifat-sifat asimtotik dari penduga ML. Dengan demikian selang waktu antara penemuan metode ML oleh Fisher tahun 1925 dengan penerapannya
pada pendugaan komponen ragam sekitar 40 tahun. Thompson 1962 juga mempelajari penduga ML dan mengenalkan
gagasan maksimisasi pada bagian ML yang invarian terhadap parameter lokasi yaitu pada efek tetap dan dikenal dengan metode REML. Metode ini kemudian
diterapkan untuk data tak berimbang oleh Patterson dan Thompson 1971. Kesulitan komputasi pada metode REML sama seperti pada metode ML, karena
menurut Harville 1977 metode REML tidak lebih efektif dari metode ML. Hal yang menarik adalah solusi REML untuk data berimbang identik dengan penduga
metode ANOVA. Berbeda dengan metode ML, metode REML memperhitungkan derajat bebas yang berhubungan dengan efek tetap.
Metode lain dikemukakan oleh Rao 1972 yang dikenal dengan MINQUE minimum norm quadratic unbiased. Metode ini tidak memerlukan asumsi
sebaran bagi efek acak dan tidak memerlukan iterasi. Dari beberapa metode pendugaan komponen ragam, metode ML dan REML lebih disukai khususnya
pada data berimbang.
36
3.2. Model Linear Campuran
Kategori