38 BLUE pada persamaan 5. Substitusi
ˆ
pada persamaan 7 menghasilkan profil
log-kemungkinan profile log-likelihood untuk V yaitu :
+ −
− +
− =
−
2 log
n ˆ
ˆ log
1 2
1 P
X y
V X
y V
V
[ ]
2 log
log
2 n
1 1
1 1
2 1
− −
Ι +
− =
− −
− −
y V
X X
V X
X V
y V
8
Penduga ML bagi parameter-parameter dalam V dapat diperoleh dengan
maksimisasi persamaan 8 terhadap parameter-parameternya. Prosedur iteratif pendugaan komponen ragam terdapat pada Searle et al 1992.
Penurunan kriteria REML lebih rumit, yaitu meliputi maksimisasi fungsi
kemungkinan dari kombinasi linear elemen y yang tidak tergantung pada .
Uraian lengkap tentang metode REML dapat dijumpai pada Christensen 1987 dan Searle et al 1992. Fungsi kriteria dari REML adalah
− +
− −
+ +
− =
− −
2 log
p n
ˆ ˆ
log log
1 1
2 1
REML
X y
V X
y X
V X
V V
2 log
log
2 p
1 2
1 P
+ −
=
−
X V
X V
Keuntungan utama dari REML dibanding ML adalah REML memperhitungkan derajat bebas dari efek tetap dalam model linear campuran.
3.3 Pemulusan dengan Model Linear Campuran
Pada awalnya model linear campuran khususnya kasus model komponen ragam sukses diterapkan pada percobaan pemuliaan hewan yaitu untuk
mengidentifikasi hewan yang mempunyai genetika unggul. Pada saat ini penerapan dalam bidang epidemiologi genetika lebih dikhususkan untuk tujuan
tertentu pemuliaan hewan. Model linear campuran banyak diterapkan untuk analisa data longitudinal atau pengukuran berulang dimana galat acak berkorelasi
Milliken dan Johnson, 1984. Suatu paradigma baru di bidang pemulusan adalah pendekatan model
linear campuran untuk pemulusan Wand, 2003. Penerapan model linear campuran untuk metode pemulusan didorong oleh munculnya teori P-spline yang
dikemukakan oleh Eiler dan Mark 1996 dan Ruppert dan Carroll 1997. Di samping itu, pendekatan ini juga ditunjang oleh munculnya paket program model
linear campuran di SAS dan S-PLUS Pedan, 2003.
39 P-spline adalah regresi spline yang diduga dengan minimisasi jumlah
kuadrat terpenalti. Misalkan hubungan fungsional antara peubah penjelas x dengan respon y dimodelkan sebagai
i i
i
ε
+ =
x s
y
dan fungsi mulus s dimodelkan sebagai regresi spline yang dinotasikan sebagai
u Z
X +
= s
dimana
i
bebas stokastik dengan nilaitengah nol dan ragam
2
, sedangkan
p 1
, ,
,
β β
β
=
dan
pK 1
p
,..., u u
=
u
adalah vektor parameter,
=
p n
1 p
1 1
1 1
x x
x x
X
dan
− −
− −
=
+ +
+ +
p K
n p
1 n
p K
1 p
1 1
κ κ
κ κ
x x
x x
Z
adalah matriks desain,
p p
≥ =
+
w w
w
adalah basis fungsi pangkat terpotong berderajat-p truncated power function
, dan selanjutnya disingkat dengan FPT dengan
1 p
≥
adalah bilangan bulat positif, dan
K 1
... κ
κ
adalah simpul tetap. Jumlah kuadrat terpenalti pada P-spline didefinisikan sebagai
u u
u Z
X y
u Z
X y
λ +
− −
− −
9 Suku pertama pada persamaan 9 adalah jumlah kuadrat galat dan suku keduanya
adalah penalti kekasaran, dan
λ
adalah parameter pemulus.
Bila kriteria
spline terpenalti dibagi dengan
2
σ
dan
λ σ
σ
2 2
u
= ,
maka akan diperoleh
u u
u Z
X y
u Z
X y
2 u
2
1 1
σ σ
+ −
− −
−
10 Kriteria P-spline pada persamaan 10 sama dengan kriteria BLUP dari model
linear campuran pada persamaan 6 bila matriks
I R
2 u
σ =
dan
I G
2
σ =
. Efek samping yang menarik dari hubungan antara P-spline dengan model linear
campuran adalah parameter pemulus P-spline merupakan rasio antara dua komponen ragam. Hubungan matematis antara P-spline dengan model linear
campuran telah dibahas oleh beberapa peneliti antara lain Wang 1998, Fan dan Zhang 1998, Brumback et al 1999, Vebyla et al 1999, French et al 2001,
dan Wand 2003.
40 Model linear campuran juga digunakan untuk prediksi spatial seperti yang
dikemukakan oleh Diggle et al 1998 yaitu dengan mendesain komponen efek acak mempunyai fungsi ragam spatial variogram tertentu. Akhir-akhir ini juga
banyak penelitian tentang prediksi spatial dimensi rendah untuk kriging dan spline-2 thin-plate spline dengan menggunakan model campuran. Pendekatan ini
merupakan perluasan dari P-spline untuk data spatial yang dikemukakan oleh French et al 2001, Kamman dan Wand 2003, Ranalli et al 2005.
Penerapan lainnya dari model linear campuran adalah untuk pendugaan area kecil small area estimation seperti yang dikemukakan oleh Kleinschmidt et
al 2001 dan Opsomer 2005. Pada metode deret waktu, Tsimikas dan Ledolter
1997 merepresentasikan state-space dalam bentuk model linear campuran sehingga bisa diduga dengan metode REML. Pada saat ini banyak penelitian
tentang pengembangan model linear campuran dengan menggabungkan pendekatan-pendekatan di atas seperti yang dikemukaan oleh Zhang et al 1997,
Guo 2002, Wu dan Zhang 2002.
Daftar Pustaka
Anderson RL, Bancroft TL.1952. Statistical Theory in Research. New York : McGraw-Hill.
Bennett CA, Franklin NL. 1954. Statistical Analysis in Chemistry and Chemical Industry
. New York : John Wiley Sons. Brumback BA, Ruppert D, Wand MP. 1999. Comment on Variable selection and
function estimation in additive nonparametric regression using a data-based prior by Shively, Kohn and Wood. J Amer Stat Ass 94:794-797.
Christensen R. 1984. Plane Answers to Complex Questions. The Theory of Linear Models
. New York : Springer-Verlag. Cohran WG. 1939. The use of analysis of variance in enumeration by sampling. J
Amer Stat Ass 34: 492-510.
Corbeil RR, Searle SR. 1976. A comparison of variance component estimators. Biometrics
32: 779-791. Crump SL. 1946. The estimation of variance components analysis of variance.
Biometrics Bull 2: 7-11.
Crump SL. 1951. The variance component analysis. Biometrics 7 : 1-16. Daniel HE. 1939. The estimation of component of variance. J R Stat Soc Suppl
6:186-197.
41 Diggle PJ, Tawn JA, Moyeed RA. 1998. Model-based geostatistics with
discussion. Appl Stat 47:299-350. Eilers PHC, Marx BD. 1996. Flexible smoothing with B-splines and penalties
with discussion. Stat Sci 11: 89-121. Eisenhart C. 1947. The assumptions underlying the analysis of variance.
Biometrics 3:1-21.
Fan J, Zhang JT. 1998. Comment on Smoothing spline models for the analysis of nested and crossed samples of curves by Brumback and Rice. J Amer Stat
Ass 93: 961-994.
Fisher RA.1925. Statistical Methods for Research Workers. 1
st
edn. Edinburg and London: Olyver Boyd.
Fisher RA.1935. Discussion of Neyman et al. J R Stat Soc, Series B 2:154-155. French JL, Kammann EE, Wand MP. 2001. Comment on Semiparametric
nonlinear mixed-effects models and their applications by Ke and Wang. J Amer Stat Ass
96:1285-1288.
Guo W. 2002. Functional mixed effects models. Biometrics, 58, 121-128.
Hartley HO, Rao JNK. 1967. Maximum likelihood estimation for the mixed analysis of variance model. Biometrika 54:93-108.
Harville DA.1977. Maximum likelihood approaches to variance component estimation and to related problems. J Amer Stat Ass 72:320-340.
Henderson CR. 1953. Estimation of variance and covariance components. Biometrics
9:226-252. Herbach LH. 1959. Properties of Model II type of analysis of variance tests. An
optimum nature of F-test for Model II in balanced case. Ann Math Stat 30:030-959.
Jackson RWB. 1939 Reliability of mental tests. Brit. J Psycol 29:267-287. Kammann EE, Wand MP. 2003. Geoadditive models. Appl Stat 52:1-18.
Kleinschmidt I, Sharp BL, Clarke GPY, Curtis B, Fraser C. 2001. Use of
Generalized linear mixed models in the spatial analysis of small-area malaria incidence rates in KwaZulu Natal, South Africa. Amer J Epidemiology
15312: 1213-1221
Miller JJ. 1973. Asymptotic properties of maximum likelihood estimates in the mixed model of the analysis of variance. Ann Stat 5:746-762.
Milliken GA, Johnson DE. 1984. Analysis of Messy Data, Volume I : Design Experiment
. New York : Van Nostrand Reinhold Company. Opsomer JD. 2005. Small area estimation using penalized spline regression.
International Biometric Society, Eastern North American Region meeting, Austin, TX, March 21, 2005. [terhubung berkala]. http:www.stat.
colostate.edu~nsustarmapppsOpsomer.Spline_survey ENAR.pdf
Pedan A. 2003. Smoothing with SAS PROC MIXED. SUGI 28: 268-28
42 Ranalli, MG, Breidt FJ, Wang H. 2005. Low-rank smoothing splines on complex
domains. Seminar, Atlantic Ecology Division, EPA, Narragansett, RI. March 1, 2005. [terhubung berkala]. http:www.stat.colostate.edu~nsu
starmap pps ranalli_epaaed_march1.pdf
Rao CR. 1972. Estimation of variance and covariance component in linear models. J Amer Stat Ass 67:112-115.
Ruppert D, Carroll RJ. 1997. Penalized regression splines. Unpublished manuscript. [terhubung berkala]. http:www.orie.cornell.edu~davidr
papersIndex index.html Sahai H, Ageel, MI. 2000. The Analysis of Variance. Fixed, Random, and Mixed
Models . Boston : Birkhäuser.
Satterthwaite FE. 1946. An approximate distribution of estimates of variance components. Biometric Bull 2:110-114.
Searle SR, Casella G, McCulloch CE. 1992. Variance Component. New York : John Wiley Sons.
Thompson WA. 1962. The problem of negative estimates of variance components. Ann Math Stat 33:273-289.
Tippett LHC. 1931. The Method of Statistics. 1
st
edn. London : Williams and Norgate.
Tsimikas JF, Ledolter J. 1997. Mixed model representation of state space models : New smoothing results and their application to REML estimation. Stat
Sinica
7: 973-991
