dengan : A adalah matriks yang melakukan transformasi terhadap variabel asal
sehingga diperoleh vektor komponen .
Penjabarannya adalah sebagai berikut :
[ ]
[ ]
[ ]
2.8.1 Menentukan Komponen Utama
Komponen utama dapat ditentukan melalui matriks ragam peragam ∑ dan matriks
korelasi dari
. Matriks kovarian ∑ digunakan untuk membentuk
komponen utama apabila semua variabel yang diamati mempunyai satuan pengukuran yang sama. Sedangkan, matriks Korelasi
digunakan apabila variabel yang diamati tidak mempunyai satuan pengukuran yang sama. Variabel tersebut perlu dibakukan,
sehingga komponen utama berdasarkan matriks korelasi ditentukan dari variabel baku.
2.8.1.1 Komponen Utama Berdasarkan Matriks Kovarian ∑
Dipunyai matriks kovarian ∑ dari
p
buah variable Total varian dari
variabel –variabel tersebut didefinisikan sebagai ∑ ∑ yaitu penjumlahan
dari unsur diagonal matriks ∑. Melalui matriks kovarian ∑ bisa diturunkan akar ciri-
akar cirinya yaitu dan vektor ciri–vektor cirinya
Komponen utama pertama dari vektor berukuran
p
x1, adalah kombinasi linier linier terbobot variabel asal yang dapat
menerangkan keragaman terbesar.
Universitas Sumatera Utara
Komponen utama pertama dapat dituliskan sebagai :
2.29 dengan :
dan
Varian dari komponen utama pertama adalah : ∑
∑ ∑
2.30
Vektor pembobot adalah vektor normal, Koefisien
adalah unsur-unsur dari vektor ciri yang berhubungan dengan akar ciri terbesar
yang diturunkan dari matriks kovarian
∑ dipilih sedemikian sehingga mencapai maksimum dengan
kendala . Menggunakan teknik pemaksimuman berkendala lagrange
diperoleh persamaan : ∑
Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama terhadap
sama dengan nol. ∑
atau ∑ 2.31
Persamaan 2.31 dipenuhi oleh dan
yang merupakan pasangan akar ciri dan vektor ciri matriks
∑ Akibatnya ∑
Oleh karena itu varian
∑ harus maksimum, maka
adalah akar ciri yang terbesar dari matriks
∑ dan adalah vektor ciri yang bersesuaian dengan
Komponen utama kedua adalah kombinasi linier terbobot variabel asal yang tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, serta memaksimumkan sisa
kovarian data setelah diterangkan oleh komponen utama pertama. Komponen utama kedua dapat dituliskan sebagai :
2.32
Universitas Sumatera Utara
dengan : dan
Vektor pembobot adalah vektor normal yang dipilih sehingga keragaman
komponen utama kedua maksimum, serta orthogonal terhadap vektor pembobot dari komponen utama pertama. Agar varian dari komponen utama kedua maksimum,
serta antara komponen utama kedua tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, maka vektor pembobot
dipilih sedemikian sehingga tidak
berkorelasi dengan varian komponen utama kedua
adalah : ∑
∑ ∑
2.33
Varian tersebut akan dimaksimumkan dengan kendala dan cov
∑ Karena
adalah vektor ciri dari ∑ dan ∑
adalah matriks simetrik, maka : ∑
∑ ∑
Kendala ∑
dapat dituliskan sebagai Jadi fungsi
Lagrange yang dimaksimumkan adalah : ∑
2.34
Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama terhadap
sama dengan nol, diperoleh ∑
∑ 2.35
Jika persamaan 2.35 dikalikan dengan maka diperoleh
∑ ∑
∑ ∑
∑
Oleh karena ∑
maka Dengan demikian persamaan 2.35 setelah diturunkan terhadap
menjadi
Universitas Sumatera Utara
∑ ∑
2.36
Jadi dan
merupakan pasangan akar ciri dan vektor ciri dari matriks varian kovarian
∑ Seperti halnya penurunan pada pencarian , akan diperoleh bahwa
adalah vektor ciri yang bersesuaian dengan akar ciri terbesar kedua dari matriks ∑
Secara umum komponen utama ke-
j
dapat dituliskan sebagai :
2.37 dengan :
dan
vektor pembobot diperoleh dengan memaksimumkan keragaman komponen utama
ke-
j
, yaitu : ∑
2.38 dengan kendala :
serta untuk .
Dengan kendala ini, maka akar ciri dapat diinterpretasikan sebagai ragam
komponen utama ke-
j
serta sesama komponen utama tidak berkorelasi.
Vektor pembobot yang merupakan koefisien pembobot variabel asal bagi
komponen utama ke-
j
diperoleh dari matriks peragam ∑ yang diduga dengan matriks
S berikut : ∑
̅ ̅
2.39
Universitas Sumatera Utara
2.8.1.2 Komponen Utama Berdasarkan Matriks Korelasi
