̅ √
̅ √
̅ ̅
√ √
Dan untuk ̅
√ ̅
√ ̅
̅ √
√ ̅
√ ̅
√ ̅
̅ √
√ ̅
√ ̅
√ ̅
̅ √
√
2.4 Analisis Regresi Linier Berganda
Dalam perkembangannya terdapat dua jenis regresi yang sangat terkenal, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara suatu variabel bebas
X
dengan satu variabel tak bebas
Y
dalam bentuk persamaan linier sederhana. 2.12
Regresi linier berganda merupakan perluasan dari regresi linier sederhana. Perluasannya terlihat dari banyaknya variabel bebas pada model regresi tersebut.
Bentuk umum regresi linier berganda dapat dinyatakan secara statistik sebagai berikut: =
+ +
+ … + +
2.13
dengan : = variabel tak bebas
= variabel bebas , …,
= parameter regresi = variabel gangguan
2.4.1 Asumsi Regresi Linier Berganda
Universitas Sumatera Utara
Dalam model regresi linier berganda ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi, asumsi tersebut adalah :
1. Nilai rata-rata kesalahan pengganggu nol, yaitu
untuk I = 1, 2, …, n 2.
Varian sama untuk semua kesalahan pengganggu asumsi
homokedastisitas 3.
Tidak ada otokorelasi antara kesalahan pengganggu, berarti kovarian
4. Variabel bebas
, konstan dalam sampling yang terulang dan bebas terhadap kesalahan pengganggu
. 5.
Tidak ada multikolinieritas diantara variabel bebas
X
. 6.
artinya kesalahan pengganggu mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 0 dan varian
2.4.2 Metode Kuadrat Terkecil MKT
Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode yang paling banyak digunakan untuk menduga parameter-parameter regresi. Pada model regresi linier berganda juga
digunakan metode kuadrat terkecil untuk menduga parameter. Biasanya penduga kuadrat terkecil ini diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan
model yang akan diestimasi adalah parameter dari persamaan dengan
n
pengamatan, maka diperoleh :
= +
+ + … +
+ =
+ +
+ … + +
= +
+ + … +
+
Persaman-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks : Y = X
+ 2.14
dengan :
Universitas Sumatera Utara
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Untuk mendapatkan penaksir-penaksir MKT bagi , maka dengan asumsi
klasik ditentukan dua vektor ̂ ̂ sebagai :
̂ [
̂ ̂
̂ ]
̂ [ ]
Persamaan hasil estimasi dari persamaan 2.14 dapat ditulis sebagai : Y = X
̂ + atau
̂ 2.15
Karena tujuan MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat dari kesalahan, yaitu
∑ minimum
maka : ∑
[ ]
2.16
jadi, ∑
̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
Oleh karena ̂
adalah skalar, maka matriks transposenya adalah : ̂
̂ jadi,
̂ ̂ ̂
2.17
Universitas Sumatera Utara
Untuk menaksir parameter ̂ maka harus diminimumkan terhadap ̂
maka : ∑
̂ ̂ ̂
̂
∑ ̂
̂ ̂
̂
atau : ̂
̂ dengan ketentuan
2.18
2.4.3 Sifat Penduga Kuadrat terkecil
Menurut Sembiring 2003 metode kuadrat terkecil memiliki beberapa sifat yang baik. Untuk menyelidiki sifatnya, pandang kembali model umum regresi linier pada
persamaan 2.14. disini dianggap bahwa bebas satu sama lain dan
Dengan demikian maka dan .
Jadi sifat penduga kuadrat terkecil adalah : 1.
Takbias Jika
̂ maka ̂ adalah penduga tak bias untuk Akan ditunjukkan bahwa
̂ adalah penduga linier tak bias dari . Dari persamaan 2.15 diketahui :
̂
2.19 dengan
̂
Universitas Sumatera Utara
2. Varian Minimum
Jika maka matriks kovarian untuk ̂ diberikan oleh
Jika dan
maka penduga kuadrat terkecil ̂ mempunyai varian minimum diantara semua penduga tak bias linier.
Bukti : ̂ [ ̂ ̂ ̂ ̂
]
= 2.20
2.5 Uji Regresi Linier
Kategori