1.5 Tujuan penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menggunakan analisis regresi komponen utama untuk mengatasi masalah multikolinieritas pada analisis regresi linier berganda,
sehingga diperoleh model persamaan regresi yang lebih baik.
1.6 Manfaat penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi pembaca untuk lebih mengetahui
mengenai masalah
mutikolinieritas dan
cara mengatasinya.
Serta memberikan suatu solusi untuk mengatasi masalah multikolinieritas bagi peneliti yang menggunakan analisis regresi linier berganda untuk menganalisis penelitian pada
berbagai bidang ilmu, seperti penelitian-penelitian di bidang sosial, ekonomi,
pertanian dll.
1.7 Metodologi Penelitian
Penelitian ini dibuat berdasarkan studi literatur dan kepustakaan dan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
1. Terlebih dahulu menjelaskan konsep dasar matriks, analisis regresi linier
berganda, multikolinieritas, serta analisis komponen utama. 2.
Mendeteksi keberadaan multikolinieritas. 3.
Menguraikan penyelesaian masalah multikolinieritas menggunakan analisis regresi komponen utama. Dengan langkah sebagai berikut :
a. Melakukan tahap analisis komponen utama untuk menghilangkan gejala
multikolinieritas. b.
Menentukan komponen utama yang masuk dalam model c.
Menduga parameter analisis regresi komponen utama d.
Melakukan transformasi menjadi model regresi linier berganda. 4.
Menyelesaikan contoh kasus yang mengandung multikolinieritas. Dalam hal ini digunakan software SPSS sebagai pengelolah data.
Universitas Sumatera Utara
Bab 2
LANDASAN TEORI
2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi
Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi
panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “ ”.
Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti
A, X
, atau
Z
dan sebagainya. Sebuah matriks
A
yang berukuran
m
baris dan
n
kolom dapat ditulis sebagai berikut :
[ ]
Atau juga dapat ditulis :
A
= [
]
i
= 1, 2,…,
m
;
j
= 1, 2,…,
n
Contoh :
Disebut matriks
A
dengan 2 baris dan 3 kolom. Jika
A
sebuah matriks, maka digunakan
untuk menyatakan elemen yang terdapat di dalam baris
i
dan kolom
j
dari
A
. Dalam contoh ini
i
= 1, 2 dan
j
= 1, 2, 3 atau dapat ditulis
Universitas Sumatera Utara
[ ]
i
= 1, 2
j
= 1, 2, 3
Skalar
Suatu skalar adalah besaran yang hannya memiliki nilai, tetapi tidak memiliki arah.
Vektor Baris
Suatu matriks yang hannya terdiri dari
satu
baris dan
n
kolom disebut vektor baris. [
] disebut vektor baris
Vektor Kolom
Suatu matriks yang hannya terdiri dari
m
baris dan
satu
kolom disebut vektor kolom. [
] disebut vektor kolom
Kombinasi Linier
Vektor
w
merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor
jika terdapat skalar
sehingga berlaku : ,
2.1
Jika vektor maka disebut persamaan homogen dan
disebut vektor yang bebas linier, yang mengakibatkan
tetapi jika ada bilangan
yang tidak semuanya sama dengan nol, maka disebut vektor yang bergantung linier.
2.1.2 Jenis-jenis Matriks
Matriks Kuadrat
Universitas Sumatera Utara
Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen
–elemen disebut elemen
diagonal utama. [
]
Matriks Diagonal
Matriks kuadrat [
] dinamakan matriks diagonal jika semua elemen diluar diagonal utama adalah nol,
dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok
. Jumlah elemen – elemen diagonal utama suatu matriks kuadrat
A
disebut trace
A
ditulis ∑
,
[ ]
Matriks Simetris
Suatu matriks kuadrat [
] disebut matriks simetris jika elemen dibawah diagonal utama merupakan cermin dari elemen diatas diagonal utama.
Matriks simetris jika artinya
.
Contoh :
[ ]
Matriks Identitas
Matriks
A
disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol
I
. [
]
i
= 1, 2, …,
m
,
j
= 1, 2, …,
n m
=
n
dan untuk
Universitas Sumatera Utara
Matriks Nol
Matriks nol adalah suatu matriks dengan semua elemennya mempunyai nilai nol. Biasanya diberi simbol
, dibaca matriks nol.
Matriks Elementer
Suatu matriks
n
x
n
dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas
n
x
n
yakni dengan melakukan operasi baris elementer
tunggal.
Matriks Segitiga
Matriks suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah
lower triangular
jika untuk
i j
dan matriks suatu matriks bujur sangkar
dikatakan segitiga atas
upper triangular
jika untuk
i j
.
Contoh : Segitiga bawah
[ ], segitiga atas [
]
Matriks Singular
Matriks kuadrat [
] dikatakan singular jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu baris atau kolom
sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila determinannya sama dengan nol
maka matriks tersebut singular.
Matriks Ortogonal
Matriks kuadrat [
] dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika terdapat mtriks orthogonal P sehingga berlaku
Matriks orthogonal
Universitas Sumatera Utara
didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan transposenya, sehingga :
Maka P adalah matriks orthogonal
2.1.3 Operasi Matriks
Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika [
] adalah matriks
m
x
n
dan
k
adalah suatu skalar, maka hasil kali
A
dengan
k
adalah [
] matriks
m
x
n
dengan 1
Perkalian Matriks dengan Matriks
Jika adalah matriks
m
x
p
dan adalah matriks
p
x
n
maka hasil kali dari matriks
A
dan matriks
B
yang ditulis dengan
AB
adalah
C
matriks
m
x
n
. Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut :
∑ 1
2.2
Penjumlahan Matriks
Jika adalah matriks
m
x
n
dan adalah matriks
m
x
n
maka penjumlahan matriks dari matriks
A
dan matriks
B
yang ditulis dengan dengan :
i
= 1, 2, …,
m
;
j
= 1, 2, …,
n
.
Pengurangan Matriks
Jika adalah matriks
m
x
n
dan adalah matriks
m
x
n
maka pengurangan matriks dari matriks
A
dan matriks
B
yang ditulis dengan dengan :
i
= 1, 2, …,
m
;
j
= 1, 2, …,
n
.
Transpose Suatu Matriks
Jika adalah matriks
m
x
n
maka matriks
n
x
m
dengan dan
1 disebut dengan transpose dari matriks
A
.
Universitas Sumatera Utara
Matriks
m
x
n
yang umum dapat ditulis : [
] [ ]
maka [
]
Determinana Matriks
Misalkan adalah matriks nxn. Fungsi determinan dari A ditulis dengan det
A atau |A|. Secara matematiknya ditulis : Det A = |A| =
∑ Dengan
merupakan himpunan S = {1, 2, …, n}.
Teorema
Jika adalah matriks nxn yang mengandung sebaris bilangan nol, maka
detA = 0. Anton 2004, hal: 97
Contoh : [
] | |
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga nxn, maka detA adalah hasil kali elemen – elemen
pada diagonal utama, yaitu detA = Anton 2004, hal: 98
Contoh : [
] maka detA = 24-53 = -120
Teorema
Universitas Sumatera Utara
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka detA = detA
T
. Anton 2004, hal: 97
Teorema
Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ordonya sama, maka detAB = detAB. Anton 2004, hal: 108
Contoh :
detAB = 1-23 = -23 detAB = -23
Sehingga det AB = det A det B
Invers Matriks
Misalkan
A
matriks
n
x
n
disebut non singular
invertible
jika terdapat matriks
B
maka
AB = BA = I
Matriks
B
disebut invers dari
A
. jika tidak terdapat matriks
B
maka matriks
A
disebut singular
non-invertible
. Secara umum invers matriks
A
adalah :
Adjoint matriks
A
adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari semua elemen-elemen kofaktor matriks
A
, dengan adalah kofaktor elemen-elemen
. Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
[ ]
dengan :
Sifat – sifat invers :
a. Jika
A
adalah matriks non singular, maka
A
-1
adalah non singular dan
b. Jika
A
dan
B
adalah matriks non singular, maka
AB
adalah non singular dan
Universitas Sumatera Utara
c. Jika
A
adalah matriks non singular maka
2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Jika
A
adalah matriks
n
x
n
, maka vektor tak nol
X
di dalam
R
n
dinamakan vektor eigen
eigenvector
dari
A
jika
AX
adalah kelipatan skalar dari
X
yakni :
AX
= 2.3
Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen
eigen value
dari
A
dan
X
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen matriks
A
yang berukuran
n
x
n
, dari persamaan 2.3 dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen :
2.4
Dengan
I
adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, dalam catatan matriks :
[ ],
[ ],
X
= [
]
AX = X
AX = = 0
X | |
Untuk memperoleh nilai | |
2.5
| |
Universitas Sumatera Utara
n
buah akar Jika nilai eigen
disubstitusi pada persamaan maka solusi dari
vektor eigen adalah
2.6
Jadi apabila matriks mempunyai akar karakteristik
dan ada kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan
akar-akar karakteristik ini adalah himpunan vektor –vektor karakteristik yang
orthogonal artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memberikan vektor karakteristik
sedemikian sehingga :
Tanpa menghilangkan sifat umum, vektor-vektor tersebut bisa dibuat normal
standar
sedemikian rupa sehingga untuk semua
i
, suatu himpunan vektor- vektor orthogonal yang telah dibuat normal
standar
disebut orthogonal set.
Apabila
X
merupakan matriks
n
x
n
, dimana kolom – kolomnya terdiri dari
vektor-vektor dan kemudian bisa ditulis dengan dua syarat sebagai berikut :
1. jika
jika 2.
sehingga Matriks yang mempunyai sifat demikian dinamakan matriks orthogonal.
Definisi :
Misalkan matriks nxn.
Determinan [
] Dikatakan karakteristik polinom dari A.
Persamaan
Universitas Sumatera Utara
Dikatakan persamaan karakteristik dari A.
2.3 Matriks korelasi