Tujuan penelitian Manfaat penelitian Metodologi Penelitian Nilai Eigen dan Vektor Eigen

1.5 Tujuan penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menggunakan analisis regresi komponen utama untuk mengatasi masalah multikolinieritas pada analisis regresi linier berganda, sehingga diperoleh model persamaan regresi yang lebih baik.

1.6 Manfaat penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi pembaca untuk lebih mengetahui mengenai masalah mutikolinieritas dan cara mengatasinya. Serta memberikan suatu solusi untuk mengatasi masalah multikolinieritas bagi peneliti yang menggunakan analisis regresi linier berganda untuk menganalisis penelitian pada berbagai bidang ilmu, seperti penelitian-penelitian di bidang sosial, ekonomi, pertanian dll.

1.7 Metodologi Penelitian

Penelitian ini dibuat berdasarkan studi literatur dan kepustakaan dan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut : 1. Terlebih dahulu menjelaskan konsep dasar matriks, analisis regresi linier berganda, multikolinieritas, serta analisis komponen utama. 2. Mendeteksi keberadaan multikolinieritas. 3. Menguraikan penyelesaian masalah multikolinieritas menggunakan analisis regresi komponen utama. Dengan langkah sebagai berikut : a. Melakukan tahap analisis komponen utama untuk menghilangkan gejala multikolinieritas. b. Menentukan komponen utama yang masuk dalam model c. Menduga parameter analisis regresi komponen utama d. Melakukan transformasi menjadi model regresi linier berganda. 4. Menyelesaikan contoh kasus yang mengandung multikolinieritas. Dalam hal ini digunakan software SPSS sebagai pengelolah data. Universitas Sumatera Utara Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “ ”. Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti A, X , atau Z dan sebagainya. Sebuah matriks A yang berukuran m baris dan n kolom dapat ditulis sebagai berikut : [ ] Atau juga dapat ditulis : A = [ ] i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n Contoh : Disebut matriks A dengan 2 baris dan 3 kolom. Jika A sebuah matriks, maka digunakan untuk menyatakan elemen yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A . Dalam contoh ini i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3 atau dapat ditulis Universitas Sumatera Utara [ ] i = 1, 2 j = 1, 2, 3 Skalar Suatu skalar adalah besaran yang hannya memiliki nilai, tetapi tidak memiliki arah. Vektor Baris Suatu matriks yang hannya terdiri dari satu baris dan n kolom disebut vektor baris. [ ] disebut vektor baris Vektor Kolom Suatu matriks yang hannya terdiri dari m baris dan satu kolom disebut vektor kolom. [ ] disebut vektor kolom Kombinasi Linier Vektor w merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor jika terdapat skalar sehingga berlaku : , 2.1 Jika vektor maka disebut persamaan homogen dan disebut vektor yang bebas linier, yang mengakibatkan tetapi jika ada bilangan yang tidak semuanya sama dengan nol, maka disebut vektor yang bergantung linier.

2.1.2 Jenis-jenis Matriks

Matriks Kuadrat Universitas Sumatera Utara Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen –elemen disebut elemen diagonal utama. [ ] Matriks Diagonal Matriks kuadrat [ ] dinamakan matriks diagonal jika semua elemen diluar diagonal utama adalah nol, dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok . Jumlah elemen – elemen diagonal utama suatu matriks kuadrat A disebut trace A ditulis ∑ , [ ] Matriks Simetris Suatu matriks kuadrat [ ] disebut matriks simetris jika elemen dibawah diagonal utama merupakan cermin dari elemen diatas diagonal utama. Matriks simetris jika artinya . Contoh : [ ] Matriks Identitas Matriks A disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol I . [ ] i = 1, 2, …, m , j = 1, 2, …, n m = n dan untuk Universitas Sumatera Utara Matriks Nol Matriks nol adalah suatu matriks dengan semua elemennya mempunyai nilai nol. Biasanya diberi simbol , dibaca matriks nol. Matriks Elementer Suatu matriks n x n dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas n x n yakni dengan melakukan operasi baris elementer tunggal. Matriks Segitiga Matriks suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah lower triangular jika untuk i j dan matriks suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga atas upper triangular jika untuk i j . Contoh : Segitiga bawah [ ], segitiga atas [ ] Matriks Singular Matriks kuadrat [ ] dikatakan singular jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila determinannya sama dengan nol maka matriks tersebut singular. Matriks Ortogonal Matriks kuadrat [ ] dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika terdapat mtriks orthogonal P sehingga berlaku Matriks orthogonal Universitas Sumatera Utara didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan transposenya, sehingga : Maka P adalah matriks orthogonal

2.1.3 Operasi Matriks

Perkalian Matriks dengan Skalar Jika [ ] adalah matriks m x n dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali A dengan k adalah [ ] matriks m x n dengan 1 Perkalian Matriks dengan Matriks Jika adalah matriks m x p dan adalah matriks p x n maka hasil kali dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan AB adalah C matriks m x n . Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut : ∑ 1 2.2 Penjumlahan Matriks Jika adalah matriks m x n dan adalah matriks m x n maka penjumlahan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan dengan : i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n . Pengurangan Matriks Jika adalah matriks m x n dan adalah matriks m x n maka pengurangan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan dengan : i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n . Transpose Suatu Matriks Jika adalah matriks m x n maka matriks n x m dengan dan 1 disebut dengan transpose dari matriks A . Universitas Sumatera Utara Matriks m x n yang umum dapat ditulis : [ ] [ ] maka [ ] Determinana Matriks Misalkan adalah matriks nxn. Fungsi determinan dari A ditulis dengan det A atau |A|. Secara matematiknya ditulis : Det A = |A| = ∑ Dengan merupakan himpunan S = {1, 2, …, n}. Teorema Jika adalah matriks nxn yang mengandung sebaris bilangan nol, maka detA = 0. Anton 2004, hal: 97 Contoh : [ ] | | Teorema Jika A adalah matriks segitiga nxn, maka detA adalah hasil kali elemen – elemen pada diagonal utama, yaitu detA = Anton 2004, hal: 98 Contoh : [ ] maka detA = 24-53 = -120 Teorema Universitas Sumatera Utara Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka detA = detA T . Anton 2004, hal: 97 Teorema Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ordonya sama, maka detAB = detAB. Anton 2004, hal: 108 Contoh : detAB = 1-23 = -23 detAB = -23 Sehingga det AB = det A det B Invers Matriks Misalkan A matriks n x n disebut non singular invertible jika terdapat matriks B maka AB = BA = I Matriks B disebut invers dari A . jika tidak terdapat matriks B maka matriks A disebut singular non-invertible . Secara umum invers matriks A adalah : Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari semua elemen-elemen kofaktor matriks A , dengan adalah kofaktor elemen-elemen . Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut : [ ] dengan : Sifat – sifat invers : a. Jika A adalah matriks non singular, maka A -1 adalah non singular dan b. Jika A dan B adalah matriks non singular, maka AB adalah non singular dan Universitas Sumatera Utara c. Jika A adalah matriks non singular maka

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jika A adalah matriks n x n , maka vektor tak nol X di dalam R n dinamakan vektor eigen eigenvector dari A jika AX adalah kelipatan skalar dari X yakni : AX = 2.3 Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen eigen value dari A dan X dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n , dari persamaan 2.3 dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen : 2.4 Dengan I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, dalam catatan matriks : [ ], [ ], X = [ ] AX = X AX = = 0 X | | Untuk memperoleh nilai | | 2.5 | | Universitas Sumatera Utara n buah akar Jika nilai eigen disubstitusi pada persamaan maka solusi dari vektor eigen adalah 2.6 Jadi apabila matriks mempunyai akar karakteristik dan ada kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan akar-akar karakteristik ini adalah himpunan vektor –vektor karakteristik yang orthogonal artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memberikan vektor karakteristik sedemikian sehingga : Tanpa menghilangkan sifat umum, vektor-vektor tersebut bisa dibuat normal standar sedemikian rupa sehingga untuk semua i , suatu himpunan vektor- vektor orthogonal yang telah dibuat normal standar disebut orthogonal set. Apabila X merupakan matriks n x n , dimana kolom – kolomnya terdiri dari vektor-vektor dan kemudian bisa ditulis dengan dua syarat sebagai berikut : 1. jika jika 2. sehingga Matriks yang mempunyai sifat demikian dinamakan matriks orthogonal. Definisi : Misalkan matriks nxn. Determinan [ ] Dikatakan karakteristik polinom dari A. Persamaan Universitas Sumatera Utara Dikatakan persamaan karakteristik dari A.

2.3 Matriks korelasi