dalam mengambarkan frekuensi kegagalan suatu komponen atau sistem terhadap waktu dan merupakan distribusi yang tepat untuk memecahkan masalah teori antrian
dan keandalan.
Untuk mengetahui apakah distribusi dari data dalam fungsi tahan hidup yang diasumsikan telah mengambarkan keadaan yang sesunguhnya, diperlukan suatu
analisis terhadap waktu hidup. Langkah untuk menganalisis terhadap fungsi distribusi dari data waktu hidup adalah dengan mengestimasi harga parameter distribusinya
Ide dasar dari metode maximum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan likelihood yang paling besar untuk mendapatkan data
yang terobservasi sebagai estimator. Cara memaksimumkan likelihood berkaitan dengan estimasi dalam statistik. Cara mendapat estimasi untuk nilai parameter dengan
memaksimumkan fungsi kemungkinan. Jika diberikan sampel random, n sampel dari populasi yang mempunyai distribusi peluang maka didapat cara untuk mengestimasi
parameter distribusinya.
Berdasarkan urain tersebut diatas maka mendorong penulis untuk mengangkat skripsi yang berjudul “Estimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang
Berdistribusi Gamma pada data tersensor tipe I dengan metode maximum Likelihood”.
1.2 Perumusan Masalah
Universitas Sumatera Utara
Masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana mengestimasi parameter untuk data waktu hidup yang berdistribusi gamma untuk data tersensor tipe I dengan metode
maximum likelihood
1.3 Tinjauan Pustaka
Misalkan variabel random
T
menunjukan waktu hidup dari organisme dalam populasi. Waktu hidup
T
merupakan variabel random kontinu dan non negatif dalam interval
, ∞
. Fungsi tahan hidup adalah probabilitas suatu individu dapat bertahan hidup sampai pada waktu t
t
. Maka fungsi distribusi kumulatif
t F
untuk distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas
t f
dinyatakan sebagai berikut lawless. 1982.
t T
P t
F ≤
=
Atau
∫
=
t
dx x
f t
F untuk t0
Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup yang didefenisikan dengan.
1 1
t F
t T
P t
T P
t S
− =
≤ −
= ≥
=
Universitas Sumatera Utara
Sensor tipe I, semua fungsi yang diteliti n masuk pengujian pada waktu yang bersamaan dan pengujian dihentikan setelah batas waktu yang ditentukan. Kelemahan
sensor tipe I adalah sampai batas waktu yang ditentukan semua objek tetap hidup, sehingga tidak terdapat data tahan hidup dari objek yang diuji.
Distribusi gamma merupakan distribusi yang digunakan dalam mengambarkan waktu hidup, distribusi gamma dapat dianggap sama dengan distribusi eksponensial
atau poison, dimana pada distribusi poison dipakai waktu sebagai variabel. Sedang pada distribusi gamma dipakai pertambahan jumlah sebagai variabel tetapi keduanya
mempunyai karakteristik populasi yang sama.
t
e t
t f
λ η
η
η λ
− −
Γ =
1
.
t0, n 0, λ
Dengan: t = waktu
η = parameter bentuk
λ
= parameter skala
jika x adalah variabel acak gamma dengan parameter
λ
dan n maka rata-rata
dan variansnya adalah sebagai berikut Montgomery.2204:131.
λ η
µ =
= X
E dan
2 2
λ η
σ
= = X
V
Fungsi reliabilitas
Universitas Sumatera Utara
1
k e
t t
R
t k
n k
λ
λ
− −
=
∑
=
Fungsi laju kegagalan
t R
t f
t h
=
Dengan fungsi gamma
1 −
= Γ
n n
Metode maximum likelihood pertama dibahas oleh R.A Fisher pada tahun 1920, misalkan
n
x x
x ,..
,
2 1
, menyatakan peubah acak yang saling bebas dengan fungsi padat peluangnya dinyatakan dengan
,
θ
x f
dengan θ parameter yang akan ditaksir
dengan metode maximum likelihood, maka fungsi padat peluangnya adalah:
,.... ,
, ....
, .
, ,
,.. ,
,
2 1
1 2
1 1
θ θ
θ θ
θ θ
θ
L x
x x
L x
f x
f x
f x
f x
x x
f
n i
n i
n n
= =
= =
∏
=
Dengan: =
n
x x
x ,...
,
2 1
variabel random θ = parameter yang ditaksir
θ
L
= fungsi likelihood
Universitas Sumatera Utara
1.4. Tujuan Penelitian
