,... .
,..., ,
2 2
1 1
2 1
n n
n
x f
x f
x f
x x
x f
=
Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari
n
X X
X ,...,
,
2 1
dan dinyatakan dengan
nn n
n
X X
X ,..,
,
2 1
. Misalkan
n
X X
X ,...,
,
2 1
adalah sampel random yang berukuran n dan fungsi distribusi probabilitasnya
x f
kontinu dan
b x
a x
f ,
maka fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k
k
X adalah:
[ ] [
]
1 1
1 k
k n
k k
k k
k
x f
x F
x F
k n
k n
X g
− −
− −
− =
jika
b k
X a
2.4 Sejarah Teori Keandalan
Keandalan adalah keadaan terbaik suatu kerja pada periode yang ditentukan untuk sebuah komponen atau sistem, keandalan didefinisikan sebagai peluang komponen
atau suatu sistem tidak akan gagal pada waktu t.
Ilmu keandalan itu sendiri dikembangkan oleh A.K. Erlan dan C. Palm yang digunakan untuk mengatasi masalah yang sering terjadi pada jaringan telepon. Namun
perkembangan dunia elektronika yang mempunyai berbagai permasalahan yang rumit memaksa konsep keandalan itu lebih dikembangkan untuk memecahkan masalah-
masalah yang ada.
Universitas Sumatera Utara
Konsep keandalan pada umumnya digunakan pada waktu yang berisiko tinggi dan membahayakan, contohnya pada industri penerbangan, kegagalan yang mendadak
dan kegagalan yang terlalu sering sangat membahayakan dan berisiko tinggi terjadinya kecelakaan. Dari segi ekonomi dan manusiawi sangat merugikan, untuk itu
dituntut keandalan sistem yang terbaik.
2.5 Konsep Dasar Distribusi Tahan Hidup
Fungsi-fungsi pada distribusi tahan hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan variabel tertentu. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu
saat perama kali masuk dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya pengamatan suatu mahluk hidup. Variabel random nonnegatif waktu hidup kontinu
dinotasikan T dan akan membentuk suatu distribusi. Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan sebagai fungsi berikut:
1. Fungsi Kepadatan Peluang
Fungsi kepadatan peluang suatu probabilitas kegagalan suatu sistem dalam interval waktu dari t sampai
t t
∆ + , dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi
kepadatan peluang dinyatakan dengan.
∆ ∆
+ ≤
=
→ ∆
t t
t T
t P
Lim x
f
t
Waktu hidup merupakan variabel random nonnegatif , sehingga waktu hidup hanya diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh
Universitas Sumatera Utara
= t
f
untuk t0 dan 1
=
∫
∞
dt t
f
2. Fungsi Tahan Hidup
Fungsi Tahan hidup adalah peluang suatu sistem bertahan hidup lebih dari waktu t dengan
t fungsi tahan hidup dinyatakan
t S
1 t
F dx
x f
t T
P t
S −
= =
≥ =
∫
∞
Dalam beberapa hal khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen- komponen industri,.
t S
dinyatakan sebagai fungsi reliabilitas.
Dalam hal ini fungsi tahan hidup
t S
merupakan fungsi kontinu menurun secara kontinu dengan
1 =
S
, artinya peluang suatu sistem bertahan hidup lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan
= ∞
S
, artinya peluang suatu sistem atau komponen bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0.
3. Fungsi Kegagalan Hazard Function
Universitas Sumatera Utara
Fungsi hazard adalah probabilitas suatu sistem atau komponen gagal dalam interval waktu dari t sampai t
t ∆
+ , jika diketahui suatu sistem atau komponen tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t maka fungsi hazard secara matematika
dinyatakan sebagai:
∆ ≥
∆ +
≤ =
→ ∆
t t
T t
t T
t P
t h
t
lim 2.1
Misalkan ft adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari persamaan 2.1 diperoleh
lim 1
lim lim
lim lim
,
t S
t F
t S
t t
F t
t F
t F
t t
F t
t F
t t
T P
t t
T t
P t
t T
P t
T t
t T
t P
t t
T t
t T
t P
t h
t t
t t
t
=
∆
− ∆
+ =
− ∆
− ∆
+ =
∆ ≥
∆ +
≤ =
∆ ≥
≥ ∩
∆ +
≤ =
∆ ≥
∆ +
≤ =
→ ∆
→ ∆
→ ∆
→ ∆
→ ∆
Universitas Sumatera Utara
t S
t f
t h
=
Fungsi kegagalan dapat juga diturunkan dengan memisalkan sebuah populasi yang mempunyai item sebesar N dengan distribusi kegagalan
t F
. Misal Nt sebuah variabel acak maka nilai dari peluang sukses item pada waktu t akan
membentuk distribusi binomial sebagai berikut:
[ ]
[ ]
[ ]
N n
t R
t R
n N
n N
n t
N P
n N
n
,..., 2
, 1
, 1
= −
− =
=
−
Nilai harapan dari Nt adalah
[ ]
__
t N
t NR
t N
E =
=
, sehingga
[ ]
N t
N N
t N
E t
R =
= 2.2
Maka fungsi distribusi kumulatif dapat dinyatakan dengan mengunakan persamaan 2.2 diperoleh:
N t
N t
R t
F 1
1 −
= −
=
N t
N N
− =
Universitas Sumatera Utara
Dan
dt t
dF t
f =
dt t
N d
N 1
− =
3. Fungsi Kegagalan
Fungsi hazard adalah probabilitas suatu sistem atau komponen gagal pada waktu t sampai
t t
∆ + , jika diketahui sistem atau komponen tersebut masih dapat bertahan
hidup sampai dengan waktu t, maka fungsi hazard dapat dinyatakan sebagai berikut
lim lim
t f
t N
N t
t N
t t
N t
N t
h
t t
→ ∆
→ ∆
= ∆
∆ +
− =
t R
t f
t h
= 2.3
\
Dari persamaan 2.3 didapat hubungan fungsi kegagalan dan tahan hidup sebagai berikut
Universitas Sumatera Utara
[ ]
ln 1
t N
dt d
t N
dt t
N d
t h
− =
− =
Atau
c dx
x h
t N
t
+ −
=
∫
ln 2.4
Karena
1 =
= N N
, maka diperoleh
ln t
N dx
x h
t
= −
∫
− =
∫
t
dx x
h N
exp Sehingga
− =
=
∫
dx x
h N
t N
t R
t
exp 2.5
Dari uraian diatas diperoleh hubungan antara
, ,
t R
t h
t f
sebagai berikut:
i.
1 t
R t
f −
=
Universitas Sumatera Utara
ii. t
R t
f t
h =
iii.
−
=
∫
t
dx x
h t
R exp
. Dengan demikian dapat dilihat bahwa ketiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu
, t
h t
f
, dan
t R
saling berhubungan satu dengan yang lainnya.
2.6 Sistem Keandalan
