Distribusi Kerusakan Prinsip Dasar Metode Maximum Likelihood

Andaikan p besar dan n juga besar distribusi binomial akan membentuk distribusi normal yang dinyatakan sebagai berikut: 2 2 2 2 1 σ µ τ − − = x e n x f

2.9 Distribusi Kerusakan

Didalam menentukan distribusi kerusakan tidak ada aturan-aturan yang mutlak untuk memakai hubungan matematik tertentu pada distribusi tersebut. Ini harus didasarkan pada konsep yang paling cocok. Beberapa distribusi kerusakan antara lain: 1. Distribusi Eksponensial t e t f λ λ = Dimana, = λ laju kegagalan 2. Distribusi Weibull , 1 exp 1       − = − t t t f χ β β α α β Dimana: = t waktu Universitas Sumatera Utara = β parameter bentuk = α parameter skala 3. Distribusi Gamma t r r e t r t f λ λ − − Γ = 1 Dimana: = λ Parameter skala η =Parameter bentuk t =Waktu Dengan mean dan varians λ η µ = = X E dan 2 2 λ η σ = = X V Fungsi reliabilitas 1 k e t t R t k n k λ λ − − = ∑ = Fungsi laju kegagalan Universitas Sumatera Utara t R t f t h =

2.10 Prinsip Dasar Metode Maximum Likelihood

Metode maximum likelihood pertama dibahas oleh R.A Fisher pada tahun 1920, misalkan n x x x ... , , 2 1 , menyatakan peubah acak yang saling bebas dengan fungsi padat peluangnya dinyatakan dengan , θ x f dengan θ parameter yang akan ditaksir dengan metode maximum likelihood, maka fungsi padat peluangnya adalah: ,.... , , .... , . , , ,.. , , 2 1 1 2 1 1 θ θ θ θ θ θ θ L x x x L x f x f x f x f x x x f n i n i n n = = = = ∏ = Dengan: = n x x x ,... , 2 1 variabel random θ = parameter yang ditaksir θ L = fungsi likelihood Penduga maximum likelihood dari θ didapat dengan menyelesaikan persamaan ln = ∂ ∂ θ θ Universitas Sumatera Utara BAB 3 PEMBAHASAN DAN HASIL 3.1 EStimasi Parameter untuk Data Waktu Hidup yang Berdistribusi Gamma Pada Data Tersensor Tipe I dengan Maximum Likelihood Dalam memudahkan untuk mempelajari atau mengetahui karakteristik populasi, sering terjadi pengambilan sampel, dan untuk mendapatkan penaksir yang baik dari suatu populasi dapat dilihat hubungan fungsional antara variabel-variabel yang mempengaruhi data sampel. Hubungan fungsional ini digambarkan dengan fungsi matematik, yaitu fungsi distribusi. Oleh karena itu dalam skripsi ini penulis memilih suatu distribusi probabilitas kontinu untuk mengambarkan uji waktu hidup yang akan ditaksir parameternya dengan mengunakan metode maximum likelihood. Fungsi distribusi probabilitas dari distribusi gamma adalah sebagai berikut: 1 η λ λ Γ = − − t n n e t t f Jika n t t t ,.. , 2 1 , adalah sampel acak dari fungsi kepadatan peluang dari distribusi gamma, maka fungsi likelihoodnya adalah: Universitas Sumatera Utara ... , ln 2 1 1 2 1 1 1 1 η θ η θ η θ η θ θ θ η θ η η ϑ η η θ η η Γ ⋅ ⋅ Γ ⋅ Γ = Γ = − − − − − − − = ∏ n i t n t t t i n i e t e t e t e t t = i t i n i n e t θ η η η θ − − = ∏       Γ 1 1 3.1 Kemudian ditarik logaritma natural dari fungsi likelihood 3.1, sehingga diperoleh fungsi likelihood dari distribusi gamma sebagai berikut. [ ] [ ] [ ] i n i i n i t n i i n i t i n i n n t i n i n t t n n e t n n e t e t t L i i i ∑ ∑ ∑ ∑ ∏ ∏ = = − = − = − − = − − = − − + Γ − = + + Γ − = + Γ − =               Γ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln , ln θ η η θ η η θ η η θ η θ θ θ η θ η θ η η = [ ] i n i i n i t n t n ∑ ∑ = = − Γ − − + 1 1 ln ln 1 ln θ η η θ η 3.2 Untuk mendapatkan penaksir θ maka persamaan 3.2 diturunkan terhadapθ .Turunan dari log likelihoodnya adalah sebagai berikut i n i t n ∑ = − = ∂ ∂ 1 , ln θ η θ θ η Universitas Sumatera Utara Estimator maximum likelihood θ ˆ didapat dengan menyelesaikan persamaan , ln = ∂ ∂ θ θ r , sehingga diperoleh t n t t n t n n i i n i i n i i = = = = − ∑ ∑ ∑ = = = θ η θ η θ η θ η 1 1 1 t  η θ = ˆ 3.3 Dengan = θˆ Penaksir θ η =Parameter bentuk t =Rata-rata waktu kegagalan Suatu uji hidup dari n percobaan yang dibatasi oleh waktu disebut data waktu hidup tersensor tipe I. Misalkan waktu kegagalan adalah n t t t ,..., , 2 1 , dan waktu tersensor untuk semua percobaan adalah sama c c c c n = = = = ,.... 2 1 , banyaknya hasil pengamatan r adalah variabel acak. Total waktu percobaaan adalah Universitas Sumatera Utara c r n t T i r i 1 + + = ∑ = Fungsi likelihood untuk estimasi parameter tersensor tipe 1 adalah: [ ] 1 2 1 1 ,..., , , r n i r i r t F t f t t t L − = −     = ∏ θ 3.4 Dengan: = ,..., , , 2 1 r t t t L θ Fungsi Likelihood = t f Fungsi densitas probabilitas = t F Fungsi distribusi kumulatif = n Banyaknya percobaan = r Banyaknya kegagalan Karena 1 1 η λ η λ η λ λ η η λ η λ η η Τ = Γ = Γ = − − − − ∫ ∫ IG e dt e t e dt e t t F t t t t Dimana dt e t IG t t − − ∫ = 1 η Maka fungsi likelihood untuk distribusi gamma tersensor tipe 1 adalah sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara 3.5 Kemudian ditarik logaritma natural ln ke dalam fungsi likelihoodnya, sehingga diperoleh fungsi log likelihood dari distribusi gamma tersensor tipe 1 sebagai berikut: 6 . 3 1 ln ln ln 1 ln 1 ln ln 1 1 1 1       Γ − − + − Γ − − + =       Γ −       Γ = ∑ ∑ ∏ = = − − − = η θ θ η η θ η η θ η θ θ θ θ η λ η η IG e r n t r t r IG e e t L n i r i r i i r n t i r i Dengan menurunkan ln θ L terhadap parameter θ diperoleh: r n t i r i r IG e e t t t t L i − − − =       Γ −       Γ = ∏ 1 ,..., , , 1 1 2 1 η λ η θ θ λ η θ η η Universitas Sumatera Utara IG e IG e r n IG e r n t r IG e IG e r n IG e r n t r IG e IG e r n IG e r n t r L n n i r i i n i i n i θ θ η θ θ η θ η θ η θ η θ η θ η θ η θ η θ θ η η ϑ η η θ η θ θ η η θ η θ η θ θ η θ θ − Γ − + − − − = Γ − Γ Γ − + − − − = Γ = Γ − + − − − = ∂ ∂ − = − = − = ∑ ∑ ∑ 1 ln 1 1 1 1 1 1 Estimator maximum likelihood θ ˆ didapat dengan menyelesaikan persamaan ln θ θ ∂ ∂ L = 0, sehingga diperoleh 1 1 = − Γ − + − − − − = ∑ IG e IG e r n IG e r n t r i r i θ η θ η θ η θ η ηθ θ θ η 3.7

3.2 Contoh Kasus