Operasi Baris Elementer Invers Matriks

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Untuk menyederhanakan penulisan SPL di atas, dapat dituliskan dalam bentuk matriks gandenganmatriks diperluasmatriks diperbesar Augmented Matrices dengan menuliskan koefisien-koefisien persamaan dan konstanta nilai persamaan dalam satu matriks sbb :             m mn m m n n b a a a b a a a b a a a ... : : : : : ... ... 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11

1.1.4 Operasi Baris Elementer

Ada tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu sistem persamaan linear tanpa mengubah jawabannya. Ketiga operasi tersebut, yaitu :  Menukar letak dari dua baris matriks tersebut  Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol  Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain Ketiga operasi ini dapat dijalankan pada matriks lengkapnya dan disebut operasi baris elementer. Adapun notasi ketiga baris tersebut adalah : 1. Menukar baris ke-i dan ke j : B ij atau B i  B j 2. Mengalikan baris ke- i dengan bilangan c, c ≠ 0 : B i c atau c B i  B i 3. Mengalikan baris ke-i dengan c, ditambahkan pada baris ke-j : B ji c atau B j + c B i B j Contoh 1 : 2 3 1 3 5 1 3 5 2 9 7 4 6 8 4 6 8 2 9 7 B B                      Contoh 2 : 2 1 3 5 1 3 5 2 9 7 3 6 27 21 4 6 8 4 6 8 B                     ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh 3: 32 1 3 5 1 3 5 2 9 7 2 2 9 7 4 6 8 12 6 B                       

1.1.5 Eselon Baris

Bentuk Eselon-baris , matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut : 1. Jika suatu baris tidak nol, maka angka pertama yang tidak nol pada baris tersebut harus bernilai 1 leading 1 . 2. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan pada baris- baris bawah dari matriks. 3. Jika ada dua baris tidak nol, maka posisi leading 1 pada baris di bawahnya, harus berada lebih kanan dari leading 1 baris di atasnya. 4. Masing-masing kolom yang memiliki leading 1 , elemen-elemen lain pada kolom tersebut bernilai nol. Contoh :  Suatu proses eliminasi sampai memperoleh bentuk Eselon Baris Tereduksi memenuhi sifat 1 sd 4 disebut Eliminasi Gauss Jordan  Sedangkan proses eliminasi hingga memperoleh bentuk Eselon Baris memenuhi sifat 1 sd 3, sifat 4 tidak terpenuhi disebut Eliminasi Gauss  Contoh matriks eselon baris tereduksi :           8 1 3 1 4 1 ;              2 1 1 2 1 ;            Contoh matriks eselon baris tapi bukan eselon baris tereduksi :           5 1 2 6 1 7 3 4 1 ;           1 1 1 ;               1 1 1 6 2 1 ALJABAR LINEAR ELEMENTER

1. 2 Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan adalah suatu prosedur mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris . Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Contoh : Diketahui persamaan linear x + 2 y + z = 6 x + 3 y + 2 z = 9 2 x + y + 2 z = 12 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: 21 31 32 3 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1 1 3 2 9 1 0 1 1 3 2 0 1 1 3 3 0 1 1 3 1 1 3 3 2 1 2 12 2 1 2 12 3 0 0 3 9 0 1 3 B B B B                                                      Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu x + 2 y + z = 6 y + z = 3 z = 3 Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: y + z = 3 x + 2 y + z = 6 y + 3 = 3 x + 0 + 3 = 6 y = 0 x = 3 Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3 ALJABAR LINEAR ELEMENTER

1. 3 Matriks dan Operasi Matriks

Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan atau unsur-unsur elemen-elemen yang teratur dalam baris dan kolom. Matriks juga bisa didefinisikan sebagai suatu susunan bilangan yang berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut elemen unsur dari matriks tersebut. Secara umum matriks bisa di ditulis sebagai berikut : A = [ … … . . . . . . . . … ] Ukuran ordo dari matriks dinyatakan dengan m x n, dimana m menyatakan banyaknya baris, dan n menyatakan banyaknya kolom dari matriks tersebut. Elemen matriks dapat ditulis dengan tanda kurung siku “[ ]” atau dalam tanda kurung besar “ ”. Notasi matriks dinyatakan dengan huruf capital , sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil. Maka matriks A di atas dapat dinotasikan dengan : [ ] m x n atau [ ] atau elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A dinotasikan dengan = Matriks yang mempunyai satu baris saja disebut matriks baris dan sebaliknya. Secara umum matriks baris atau matriks kolom lebih sering dinyatakan dengan huruf kecil dicetak tebal, misal : a = [ , , … , ] ; b = [ . . ] Contoh : = [ − ] Kita mempunyai = , = − , = , =

1.3.1 Ukuran dan Operasi pada Matriks

Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Misalkan, matriks B = [− − ], mempunyai 2 baris dan 3 kolom, sehingga ukurannya adalah 2x3. Dua ukuran matriks didefinisikan sama jika mempunyai ukuran yang sama dan elemen-elemen yang berpadananbersesuaian sama. Jika 2 matriks berukuran sama, maka jumlah dari kedua matriks tersebut adalah menjumlahkan elemen- elemen yang sepadan dari kedua matriks. Matriks yang mempunyai ukuran yang berbeda ALJABAR LINEAR ELEMENTER tidak bisa untuk dijumlahkan atau dikurangkan. Jika matriks A = m x r dan meatriks B = r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n. Untuk mencari elemen-elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dan matriks B. Kalikan elemen-elemen yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Definisi – definisi yang terdapat dalam operasi – operasi matriks: 1. Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota – anggotanya yang berpadanan sama Contoh: Tinjau matriks – matriks berikut: = [ ] = [ ] = [ ] Jika = maka = tetapi untuk semua nilai lainnya matriks tidak sama, karena tidak semua anggota – anggotanya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai yang membuat = karena mempunyai ukuran yang berbeda. 2. Jika A dan B adalah matriks – matriks berukuran sama, maka jumlah + adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota – anggota B dengan anggota – anggota A yang berpadanan, dan selisih − adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota – anggota A dengan anggota – anggota B yang berpadanan. Matriks – matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. + = + = + − = − = − Contoh: Tinjau matriks – matriks = [− − ] = [ − − − ] = [ ] Maka, + = [− − ] + [ − − − ] = [ − ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER − = [− − ] − [ − − − ] = [ − − − − − − ] 3. Jika adalah sebarang matriks dan adalah sebarang skalar, maka hasil kali adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota dengan . Dalam notasi matriks, jika = [ ], maka = = Contoh: Untuk matriks – matriks = [ ] = [− − ] = [ − ] Maka kita akan mendapatkan: = [ ] = [ ] − = − [− − ] = [ − − − ] = [ − ] = [ − ] 4. Jika , , … , matriks dengan ukuran sama , , … , skalar, maka bentuk + + + disebut sebagai kombinasi linier dari , , … , dengan koefisien , , … , . Contoh: Jika = [ ] = [− − ] = [ − ] maka, − + = + − + = [ ] + [ − − − ] + [ − ] = [ ] 5. Jika matriks berukuran dan matriks berukuran , maka hasil kali adalah suatu matriks berukuran dengan unsur – unsur sebagai berikut: = ∑ ∑ = + + + Contoh: = [ ] = [ − ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER Karena adalah matriks dan adalah matriks , maka hasil kali adalh sebuah matriks . Maka, = [ ] [ − ] = [ − ] 1.3.2 Partisi Matriks Sebuah matriks dapat dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil dengan menyisipkan garis horizontal atau vertikal diantara baris atau kolom yang ditentukan. Misalkan matriks A berukuran m x n dapat dipartisi menjadi : A = [ … … . . . . . . . . … ] = [ ] A = [ … … . . . . . . . . … ] = [ . . ] A = [ … … . . . . . . . . … ] = [ , , … , ] Contoh: Jika 1 2 1 A = 3 2 1        dan 2 1 1 1 6 8 B              maka : a. Matriks Kolom kedua dari AB = 1 1 2 1 11 1 3 2 1 9 8                         b. Matriks Baris pertama dari AB =     2 1 1 2 1 1 1 2 11 6 8              ALJABAR LINEAR ELEMENTER

1. 4 Invers dan Kaidah Aritmatika Matriks

Diasumsikan bahwa matriks memenuhi sehinga operasi aritmatik matriks tersebut valid, meliputi : a. A + B = B + A b. A +B+C = A+B+ C c. ABC = AB C d. AB+C = AB + AC e. B+CA = BA + CA f. AB-C = AB-AC g. B-CA = BA-BC h. aB+C = aB+aC i. a+bC = aC+bC j. a+bC = aC-bC k. abC = abC l. aBC =aBC = BaC

1.4.1 Invers Matriks

Jika A sebuah matriks segi bujur sangkar, dan matriks B berukuran sama didapatkan sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik invertible dan B adalah invers dari A. Contoh : B = [ ] adalah invers dari A = [ − − ] Teorema : Misal A = [ ] maka inversnya adalah − = − [ − − ] = [ − − − − − − ] Contoh: 1. Tentukan invers dari matriks [ ] Penyelesaian: Kita beri nama mtriks diatas dengan matriks , sehingga: = [ ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sedangkan matriks identitasnya: = [ ] Kemudian kita gandengkan matriks A dengan matriks I, sehingga menjadi: [ ] = [ ] matriks gandengan ini kita beri nama matriks � Kita lakukan operasi baris dasar sampai matriks menjadi matriks I � = [ ] ~ − [ − − ] ~ − [ − ] [ − ] ~ − [ − − ] Maka − = [− − ]

1.4.2 Sifat-Sifat Invers