Permutasi ALJABAR LINEAR ELEMENTER.

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

BAB II DETERMINAN

2.1 Fungsi Determinan

Fungsi determinan merupakan suatu fungsi bernilai real dari suatu peubah matriks. Fungsi determinan dinyatakan dengan det. Misalnya A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka fungsi determinan dari matriks A dapat dinyatakan dengan detA. Terdapat beberapa konsep-konsep yang perlu dipahami dalam menentukan determinan suatu matriks segi, meliputi :

2.1.1 Permutasi

Permutasi dari himpunan bilangan bulat : {1,2,….,n} adalah banyak susunan berbeda dari bilangan-bilangan integer tersebut tanpa adanya penghilangan atau pengulangan. Suatu metode yang mudah untuk mendaftarkan permutasi secara sistem adalah dengan menggunakan suatu pohon permutasi. Misalnya permutasi dari bilangan {1,2,3} dapat disusun : 1,2,3 2,1,3 3,1,2 1,3,2 2,3,1 3,2,1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 Dari pohon permutasi tersebut didapat bahwa ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan {1,2,3}. Secara umum, himpunan {1,2,3} akan mempunyai n permutasi yang berbeda n= banyak elemen. Untuk himpunan {1,2,3}, 3 = 3.2.1 = 6. ALJABAR LINEAR ELEMENTER Inversi pasangan negatif Suatu inversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi j 1 , j 2 , … , j n jika suatu bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih kecil. Total jumlah inversi yang terjadi dalam suatu permutasi bisa didapat sebagai berikut : 1 Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari j 1 dan yang mengikuti j 1 dalam permutasi tersebut, 2 Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari j 2 dan yang mengikuti j 2 dalam permutasi tersebut, 3 Teruskan proses menghitung ini untuk j 3 , … , j n-1 . Total dari jumlah-jumlah tersebut adalah total jumlah inversi dalam permutasi tersebut. Contoh : Jumlah pembalikan dalam permutasi 2, 4, 1, 3, 5 adalah : 1 + 2 + 0 + 0 = 3. Dari mariks segi A = a jj nxn , unsur-unsur a ij dan a kl dikatakan pasangan negatif jika dan hanya jika ki dan lj atau ki dan lj dan dikatakan pasangan positif jika dan hanya jika ki dan lj atau ki dan lj. Permutasi dikatakan genap apabila total inversi jumlahnya genap, dan permutasi dikatakan ganjil apabila total inversi jumlahnya ganjil. Contoh : Dalam permutasi 2, 4, 1, 3, 5 , jumlah pembalikannya adalah 3 jadi permutasi tersebut dikatakan permutasi ganjil.

2.2 Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris

Menghitung determinan dengan reduksi baris adalah dengan mereduksi matriks yang diberikan menjadi bentuk segitiga atas melalui operasi baris elementer. Kemudian menghitung determinan dari matriks segitiga atas, kemudian menghubungkan determinan tersebut dengan matriks aslinya. a. Menghitung Determinan Matriks 2 x 2 dan 3 x 3  Matriks 2 x 2 = [ ] , maka de� = | | = − ALJABAR LINEAR ELEMENTER  Matriks 3 x 3 = [ ] , maka : dengan menggunakan aturan Sarrus de� = | | = + + − − − b. Teorema-teorema dasar tentang Determinan Teorema 1 Bila A adalah matriks segi bujur sangkar : a. Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka detA = 0 Contoh : = [ ] → de� = | | = . − . = = [ − − ] → de� = | − − | = . . − + . . + − . . — . . − . . − . . − = b. detA = detA T Contoh : = [ ] → de� = | | = . − . = = [ ] → de� = | | = . − . = Maka terbukti det A = det A T Teorema 2 Jika A adalah matriks segitiga n x n segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal, maka detA adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu detA = a 11 a 22 ... a nn . = [ ] → de� = ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh : = [ − − ] → de� = | − − | = − = − Teorema 3 Bila A adalah suatu matriks n x n : a. Jika B suatu matriks yang diperoleh bila satu baris atau baris atau satu kolom dari A dikalikan dengan skalar k, maka detB = k detA = [ ] → , = [ ] ⇒ de� = | | = + + − − − = ⇒ de� = | | = + + − − − = ⇒ de� = de� = . = b. Jika B suatu matriks yang diperoleh bila dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan, maka detB = - detA = [ ] → → = [ ] ⇒ de� = | | = + + − − − = ⇒ de� = | | = + + − − − = − ⇒ de� = − de� ALJABAR LINEAR ELEMENTER c. Jika B suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris atau kolom dengan satu konstanta kemudian ditambahkan pada baris atau kolom yang lain, maka detB=detA = [ ] → ℎ → = [ ] ⇒ de� = | | = + + − − − = ⇒ de� = | | = + + − − − = ⇒ de� = de� Teorema 4 Bila E nxn matriks elementer : a. Jika E diperoleh dengan mengalikan satu baris I n dengan k, maka detE = k = [ ] → → | | ⇒ de� = = b. Jika E diperoleh dengan menukarkan dua baris I n , maka detE = -1 = [ ] → ℎ → | | ⇒ de� = − ALJABAR LINEAR ELEMENTER c. Jika E diperoleh dengan menambahkan k kali satu baris I n ke baris yang lain,maka detE = 1 = [ ] → ℎ ℎ → | | ⇒ de� = Teorema 5 Jika A adalah sebuah matriks segi dengan dua bariskolom yang proporsional, maka detA = 0. = [ ] → ℎ , ℎ − → = [ ] ⇒ maka de� = → | | = Contoh : = [ − ] Penyelesaian : = [ − ] Det A = [ − ] = - [ − ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER = -3 [ − ] = -3 [ − − ] = -3 [ − − ] = -3 -55 [ − ] Det A = -3 -55 1 = 165 c. Menghitung Determinan dengan Operasi Kolom Contoh : [ − ] Penyelesaian : Det A = [ − ] = [ − ] Det A = 1 7 3 -26

2.3 Sifat – sifat Determinan

1. | | = | | Pembuktian: 2 6 4 4 2 3 1 2 6 4 4 3 2 1                     T T A A A A ALJABAR LINEAR ELEMENTER T A A Jadi   2. Bila unsur-unsur salah satu atau kolom dari suatu matriks persegi bernilai nol maka determinan matriks tersebut = 0 3. Jika salah satu baris atau kolom dikalikan dengan konstanta c, maka determinan matrik baru adalah c kali determinan matriks sebelumnya : 1 2 1 2 4 6 2 3 4 3 4 3 3 6 3 6 12 18 6 3 4 3 4 : 6 3 2 6 6 Contohnya A A misa lka n C A A Ja di A C A                                   9 1 9 1 3 1 3 1 :                 B B A A Contohnya A c A  ALJABAR LINEAR ELEMENTER 4. Jika dua baris atau dua kolom dipertukarkan maka : 1 2 1 2 4 6 2 3 4 3 4 3 4 3 4 6 4 2 1 2 1 2 : 2 2 2 2 Contohnya A A A A Jadi A A                                5. Jika suatu matriks mempunyai dua baris atau kolom yang sama atau sebanding, maka determinannya adalah nol : ; 1 2 4 8 1 2 8 8 4 8 contohnya baris A A            6. Bila matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambahkan kelipatan suatu bariskolom pada bariskolom yang lain, maka 1 2 1 2 4 6 2 3 4 3 4 contohnya A A              B diperoleh dengan menambahkan 2x baris ke I pada baris ke II pada matriks A 18 18 6 2 9 3 6 2 9 3 ;          A A kolom B A  2 10 8 8 5 2 1 8 5 2 1            B B A A   ALJABAR LINEAR ELEMENTER 7. E matriks yang dihasilkan dari operasi dasar pada matriks Identitas  Bila matriks E diperoleh dengan mengalikan satu baris matriks Identitas dengan konstanta k maka Contoh ; E dengan mengalikan K = 7 pada baris ke I  Bila matriks E diperoleh dengan menambahkan K kali satu baris pada baris yang lain suatu matrik identitas maka Contoh ; E diperoleh dengan menambahkan 2X baris ke-I pada baris ke-II dari matrik identitas  Bila matrik E diperoleh dengan menukarkan dua baris matrik identitas maka Contoh ; E diperoleh dari menukarkan baris ke I dengan baris ke II pada matriks identitas n I 7 1 7 1 7 1 7           E E K E ja di  1  E 1 1 1 2 1 1 2 1           E E 1  E jadi 1   E 1 1 1 1 1 1            E E 1   E jadi ALJABAR LINEAR ELEMENTER 8. Jika A memiliki invers, maka 1 1 det det A A   1 1 1 1 1 1 ; 1 2 1 2 4 6 2 3 4 3 4 4 2 1 3 1 4 6 4 2 1 3 1 2 2 1 2 1 3 1 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 contoh A A A A A A Jadi A A A                                                                 9. Bila A adalah matriks n x n dan k suatu konstanta, maka det kA= det A x k berpangkat n 2 2 2 2 2 1 2 1 8 3 5 3 4 3 4 ....... 2 1 2 3 4 3 4 2 8 3 8 3 5 3 4 det det n contohnya A A K K K KA K K K K K KA K K K K K K Jadi KA K A                                   10. Jika A, B dan C matriks berukuran n x n, unsur-unsurnyahanya berbeda pada satu baris misalnya baris ke-r , diasumsikan bahwa baris ke-r dari matriks C diperoleh dengan menambahkan baris ke-r matriks A dan baris ke-r matriks B maka det C= det A + det B ALJABAR LINEAR ELEMENTER 2 3 2 3 2 3 3 2 1 1 3 1 2 1 2 3 2 3 2 3 4 3 3 2 1 1 6 12 4 9 2 3 6 5 1 6 6 det det det contoh A B C maka C A B Jadi C A B                                            11. Jika A dan B matriks segi dengan ukuran sama, maka det AB= det A detB , 2 2 1 3 2 5 2 9 5 12 11 17 4 2 3 4 8 6 20 8 14 28 11 17 1 3 2 5 14 28 4 2 3 4 308 238 2 128 15 70 70 det det det contoh A B matiks x A B AB maka AB A B Jadi AB A B                                              12. Determinan matriks diagonal, matriks segitiga atas da matriks segitiga bawah adalah hasil kali unsur-unsur diagonal utamanya . 72 9 . 8 . 1 8 4 6 9 3 1 90 6 . 5 . 3 6 2 5 1 1 3 56 4 . 7 . 2 4 7 2                                           C C B B A A contoh ALJABAR LINEAR ELEMENTER

2.4 Perluasan Kofaktor

Jika A adalah suatu matrik bujur sangkar, maka minor anggota . Dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatrik yg masih tersisa setelah baris ke- i dan kolom ke -j dihilangkan dari matrik A. Bilangan dinyatakan oleh disebut kofaktor anggota . Secara singkat Dan untuk menentukan tanda + atau – gunakan “papan periksa” Contoh : 32 3 1 4 3 4 2 5 6 26 2 6 1 4 8 M        3 2 32 32 32 1 26 C M M        ij j i M   1 ij C ij a ij ij M C                         . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 54 53 52 51 45 44 43 42 41 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C                                                . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             8 4 1 6 5 2 4 1 3 A 16 8 4 6 5 8 4 1 6 5 2 4 1 3 11     M   16 1 11 11 1 1 11      M M C ij a ij C ALJABAR LINEAR ELEMENTER Perluasan Kofaktor Perluasan kofaktor dari suatu matrik A ialah cara mencari determinan dari matrik A dengan mengalikan anggota- anggota pada suatu kolomsuatu baris dari matrik A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang di dapat. Pemahaman: misalkan matriks A dengan ordo 3x3 berikut : Contoh soal : misal matriks ordo 3x3 berikut : 2 4 2 4 2 4 2 2 4 A            11 11 21 21 31 31 2 4 4 2 4 2 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2.0 4.12 2.12 24 A a C a C a C A A A            11 11 12 12 13 13 2 4 4 4 4 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 2.0 4.8 2.4 24 A a C a C a C A A A            kita akan mencari determinannya dengan perluasan kofaktor

2.5 Adjoin Suatu Matriks

Definisi: jika A adalah sembarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor dari aij maka matriks 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A  32 23 11 33 21 12 31 22 13 31 21 13 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a A             31 22 32 21 13 33 21 31 23 12 32 23 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a A       13 13 12 12 11 11 C a C a C a A    ALJABAR LINEAR ELEMENTER 11 12 1 21 22 2 1 2 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. n n n n nn C C C C C C C C C                 disebut matrik kofaktor dari A. transpos dari matrik ini disebut adjoin A dan dinyatakan oleh adj A. Contoh adjoin matriks, misalkan A adalah matrik 3x3 maka adjoin matrik A diperlihatkan dibawah sbg berikut: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 1 1 3 1 1 1 2 1 1 3 2 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 [ ] 3 1 1 1 3 1 T C C C A C C C C C C mk A adj A mk A                                                                         Aplikasi rumus adjoin untuk invers suatu matriks yaitu sebagai berikut Contoh : kita ambil nilai adjoin matrik A pada contoh diatas lalu kita cari inversnya det 1 1 A adj A A                                                                     4 1 4 3 4 1 4 1 4 1 4 3 4 3 4 1 4 1 1 3 1 1 1 3 3 1 1 4 1 1 3 1 1 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 A maka A adj A ALJABAR LINEAR ELEMENTER

2.6 Aturan Cramer

Jika Ax=b merupkan suatu sistem n persamaan linier dalamn peubah sedemikian hingga A tidak 0, maka sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian unik, yaitu sebagai beriut; 1 2 1 2 det det det , ,........... det det det n n A A A x x x A A A    dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks Contoh penerapan aturan Cramer Selesaikanlah SPL berikut: x + y + z = 3 2x + 3y + z = 6 4x +2y +z = 7 Jawab:              n b b b b .. 2 1 5 det 7 2 4 6 3 2 3 1 1 5 det 1 7 4 1 6 2 1 3 1 5 det 1 2 7 1 3 6 1 1 3 5 det 1 2 4 1 3 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1                                                         A A A A A A A A 1 5 5 det det 1 5 5 det det 1 5 5 det det 3 2 1                A A z A A y A A x jadi ALJABAR LINEAR ELEMENTER Latihan Soal – Soal 1. Jika = [ ] Tentukan = . 2. Jika | ℎ | = − Tentukan | − − − − ℎ − − | 3. Tentukan || − − − || 4. Jika = [ − − ] Tentukan − dengan 2 cara: a. − = |�| b. [ ]~[ − ] Penyelesaian: 1. = [ ] = . [ ] = [ ] [ ] [ 9 ] = [ 9 ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER 2. | ℎ | = − Kita akan ubah matriks diatas menjadi bentuk | − − − − ℎ − − | dengan cara mereduksi terlebih dahulu: | ℎ | ~ − | − − − ℎ | ~ − | − − − − ℎ − − | Kemudian − merupakan dan − merupakan Sehingga : | || || | = | | − . . − = | | = | | Jadi | − − − − ℎ − − | = 3. || − − − || = ? Kita reduksi terlebih dahulu menjadi matriks segitiga atas: || − − − || ~ || − || ~ − || − − || ~ − || − − || ALJABAR LINEAR ELEMENTER Maka || − − || = . − . . . = − = | | Karena merupakan , − merupakan , − merupakan Sehingga : | || || || | = | | . . . | | = − | | = − Jadi || − − − || = − 4. = [ − − ] a. Dengan metode − = |�| Kita cari terlebih dahulu determinan A, | − − | − − − − − + + = − = | | Kemudian kita cari adjoin A dengan cara kofaktor: � = |− | = + = � = | | = − = − ALJABAR LINEAR ELEMENTER � = | − | = − − = − � = |− − | = − + = � = | | = − = − � = | − − | = − + = − � = |− | = − − = − � = | | = − = � = | − | = + = Maka adjoin A: [ − − − − − ] jika ditranspose maka [ − − − − − ] Maka − = | | = − [ − − − − − ] = [ − − − − ] b. Dengan metode [ ]~[ − ] [ − − ] ~ [ − − ] ~ − − [ − − − − − − ] ~ − [ − − − − ] ~ − [ − − − ] ~ − [ − − − ] ~ − − ALJABAR LINEAR ELEMENTER [ − − − ] Soal Latihan DETERMINAN 1. Tentukan determinan dan matriks adjoin dari matriks A berikut :                2 1 3 3 2 1 2 1 3 2 5 2 1 A 2. Selesaikan SPL berikut ini dengan aturan Cramer y x z y z x z x y 2 1 3 5 8 2 3 1 2 3          3. Perhatikan SPL berikut: 1 1 1          kz y x z ky x z y kx Dengan menggunakan konsep determinan, tentukan nilai k sehingga SPL memiliki : i solusi tunggal ii banyak solusi iii tak ada solusi ALJABAR LINEAR ELEMENTER

BAB III VEKTOR PADA R

2 DAN R 3

3.1 Vektor

Vektor adalah suatu besaran yang memiliki panjang dan arah. Secara geometri, vector dinyatakan sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3. Sebuah vector dapat ditulis dengan : AB v   , dimana A sebagai titik awal dari vector v dan B sebagai titik akhir. Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar atau panjang dan arah. Contoh : - kecepatan - gaya Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi-2 dan berdimensi-3, arah panah menunjukkan arah vektor Secara Geometri : B titik ujung terminal point v= A titik pangkal intial point Definisi: Penjumlahan 2 Vektor Jika v dan w merupakan 2 vektor sebarang, maka jumlah v+w ditentukan dengan : tempatkan vektor w sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpitan dengan titik akhir v. dapat digambarkan dengan : ALJABAR LINEAR ELEMENTER Selisih 2 Vektor. Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang, maka selisih u dari v adalah u – v = u - v Vektor dalam Sistem Koordinat Kita misalkan v adalah vektor sebarang pada suatu bidang. y v v 1 , v 2 ket : v 1 dan v 2 adalah komponen dari vector v x Vektor – vektor dikatakan ekuivalen, bila vektor- vektor tersebut memiliki komponen yang sama, dalam arti memiliki panjang dan arah yang sama. w1, w2 v2 w2 v1 w1 v1, v2 v + w w v v1 + w1, v2 + w2 y x V dan w ekuivalen, jika dan hanya jika v 1 = w 1 dan v 2 = w 2 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Vektor dalam R 2 y u 2 U u 1 ,u 2 u 1 x inisial point dipusat koordinat O0,0 dan terminal point di Uu 1 ,u 2 U UO  Komponen vektor = u 1 ,u 2 Vektor-vektor ekuivalen ↔ panjang dan arahnya sama.  Dua buah vektor u dan v ekuvalen bila diletakkan sehingga initial pointnya berada pada pusat koordinat atau titik asal 0,0 maka pash terminal poitnya berimpit → u dan v memiliki komponen komponen yang sama.  Dua buah vektor u dan v memiliki panjang dan arah yang sama U= u 1 ,u 2 v= v 1 ,v 2 U ekuivalen dengan v ↔ u 1 =v 1 dan u 2 =v 2 Juga memenuhi : U+v = u 1 +v 1 , u 2 +v 2 u-v = u 1 -v 1 , u 2 -v 2 Ku = KU 1 ,U 2 = ku 1 ,ku 2

3.2 Norm Vektor dan Aritmatika Vektor

Sifat-sifat vektor pada R 2 dan R 3 diuraikan dalam teorema berikut : Jika U, V, dan W adalah vektor-vektor pada R 2 atau R 3 , k dan l adalah scalar, maka memenuhi hubungan- hubungan berikut : a u + v = v + u b u+v + w = u + v+w ALJABAR LINEAR ELEMENTER c u + 0 = 0 + u = u d u + -u = 0 e klu = klu f ku+v = ku + lu g k+lu = ku + kl h 1u = u Pembuktian : a u + v = v + u = v 1 + v 2 + v 3 + u 1 + u 2 + u 3 = v 1 + u 1 , v 2 + u 2 , v 3 + u 3 = u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 = u 1 , u 2 , u 3 + v 1 , v 2 , v 3 = u + v b u + v + w = u + v + w = u 1 ,u 2 ,u 3 + [v 1 ,v 2 ,v 3 +w 1 ,w 2 ,w 3 ] = u 1 ,u 2 ,u 3 + v 1 +w 1 ,v 2 +w 2 ,v 3 +w 3 = [u 1 +v 1 + w 1 , u 2 +v 2 +w 2 , u 3 +v 3 +w 3 ] = u1+v 1 , u 2 +v 2 ,u 3 +v 3 + w 1 ,w 2 ,w 3 = u+v + w c u + 0 = 0 + u = u = 0,0,0 + u 1 ,u 2 ,u 3 = u 1 ,u 2 ,u 3 = u d u + -u = 0 = u 1 ,u 2 ,u 3 + -u 1 ,-u 2 ,-u 3 = u 1 -u 1 , u 2 -u 2 , u 3 -u 3 = 0 e klu = klu = k [ lu 1 ,u 2 ,u 3 ] = k lu 1 , lu 2 ,lu 3 = klu 1 , klu 2 , klu 3 = kl u 1 , u 2 , u 3 = klu ALJABAR LINEAR ELEMENTER f ku+v = ku + kv = ku 1 ,u 2 ,u 3 + kv 1 ,v 2 ,v 3 = ku 1 ,ku 2 ,ku 3 + kv 1 ,kv 2, kv 3 = ku 1 +kv 1 , ku 2 +kv 2 , ku 3 +kv 3 = k u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , u 3 + v 3 = k u+v g k+lu = ku + lu = ku 1 ,u 2 ,u 3 + lu 1 ,u 2 ,u 3 = ku 1 ,ku 2 ,ku 3 + lu 1 ,lu 2 ,lu 3 = ku 1 + ku 1 , ku 2 + lu 2 , ku 3 + lu 3 = k+lu h 1u = u = 1u 1 ,u 2 ,u 3 = u 1 ,u 2 ,u 3 = u Panjang vektor Norm Vektor u dinotasikan sbg ║u║ y u 1 ,u 2 Jadi, ║u║ = √ + u 1 u 2 z Pu 1 ,u 2 ,u 3 S y Q R Jadi, ║u║= √ + + Suatu vector yang mempunyai panjang 1 disebut vector satuan Unit Vektor Demikian juga, jika P 1 x 1 ,y 1 dan P 2 x 2 ,y 2 adalah titik-titik dalam ruang berdimensi-2, maka jarak antara kedua titik tersebut diberikan oleh: ║u║ x O x ║u║ ║u║ 2 = OR 2 + RP 2 = OQ 2 + OS 2 + RP 2 = u1 2 + u2 2 +u3 2 ALJABAR LINEAR ELEMENTER P 2 x 2 ,y 2 ,z 2 d= z P 1 x 1 ,y 1 ,z 1 y x Jarak antara P 1 dan P 2 adalah norma vektor 1 2 P P Contoh : a Bila u = 4,3,5 , ║u║= …. Jawab : ║u║= √ + + = √ = 5 √ b Bila koordinat titik P2,4 dan Q6,1 , PQ = ? Jawab : PQ = 6,-1 – 2,4 = 4,-5 PQ = √ + = √ x p 1 x 1 ,y 1 ,z 1 pa,b,c c v y x a v = OP = a,b,c = [ ] P 2 x 2 ,y 2 ,z 3 o b ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sumbu – Sumbu Translasi p Sistem koordinat –xy ditranslasi ke system koordinat –x’y’, dimana titik asal O’ pada system koordinat –xy mempunyai koordinat O’k,l titik P € memiliki koordinat x,y dan x’,y’. Untuk melihat hubungan keduanya, diperhatikan vector O’P. → Pada system koordinat –xy, inisial point O’k,l dan terminal point Px,y sehingga komponen OP = x-k, y-l → Pada system koordinat –x’y’, inisial point O’0,0 dan terminal point Px’,y’ sehingga komponen OP =x’,y’ Diperoleh persamaan translasi :

3.3 Hasil Kali Silang

Jika U = , , dan V= V , V , V adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3,maka hasil kali silang U ×V adalah vector yang didefinisikan sebagai U ×V= − , − , − Atau dalam notasi determinan × = | | , − | | , | | x’ x’ O’k,l k O 0,0 x x Y ’ y Y ’ x’= x – k ; y’=y-l x=x’ + k ; y + y’ + l ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh: Cari × , di mana = , , − dan = , , Penyelesaian: [ − ] × = | − |,−| − |,| | = , − , − Teorema. Jika U, V dan W adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka: a. . × = U×V orthogonal terhadap U b. . × = U×V orthogonal terhadap V c. ‖ × ‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ − . identitas lagrange d. × × = . − . hubungan antara hasil kali silang dan hasil kali titik e. × = . − . hubungan antara hasil kali silang dan hasil kali titik Contoh: Tinjau vektor-vektor = , , − dan = , , Pada contoh di atas kita telah menunjukan bahwa × = , − , − Karena . × = + − + − − = Vektor satuan standar Setiap vektor = , , dalam ruang berdimensi 3 dapat dinyatakan dalam bentuk I, j dan k karena kia bisa menuliskan = , , = + + ALJABAR LINEAR ELEMENTER Misalnya , − , = − + Z , , k j i , , Y , , X × = × = × = × = × = × = × = − × = − × = − Identitas lagrange ‖ × ‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ − . = ‖ ‖ ‖ ‖ − ‖ ‖‖ ‖ cos � = ‖ ‖ ‖ ‖ − ‖ ‖ ‖ ‖ � = ‖ ‖ ‖ ‖ − � = ‖ ‖ ‖ ‖ � Karena � �, maka � , sehingga ini bias ditulis sebagai ‖ × ‖ = ‖ ‖‖ ‖ sin � Luas jajaran genjang A = = ‖ ‖‖ ‖ sin � = ‖ × ‖

3.4 Dot Product Hasil Kali TitikSkalar

u u u ● v θ v θ v u v θ ALJABAR LINEAR ELEMENTER Bila u dan v R 2 , R 3 ; diasumsikan bahwa initial point kedua vector berimpit dengan sudut antara kedua v ector sebesar θ ; 0≤ θ ≤ �. Dot poduct atau Euclidean Inner Product didefinisikan sebagai: ∥ ∥ ∥ ∥ cos θ ; ≠ ≠ ⋅ = ; = = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − P 1 P 2 u θ v Hukum atau Aturan kosinus: ∥ − ∥ =∥ ∥ +∥ ∥ − ∥ ∥∥ ∥ cos � ∈ dengan = , = , maka diperoleh: ∥ ∥ = + ∥ ∥ = + ∥ − ∥ =∥ − , − ∥ 2 = − + − = − + + − + ∥ − ∥ =∥ ∥ +∥ ∥ − ∥ ∥∥ ∥ cos � ∥ − ∥ =∥ ∥ +∥ ∥ − ⋅ = [‖ ‖ + ‖ ‖ − ‖ − ‖ ] ⋅ = [ + + + − + − + − ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER = [ + ] ⋅ = + Bila , � dengan = , , = , , , maka: ⋅ = + + ⋅ = ‖ ‖‖ ‖ cos � cos � = ⋅ ‖ ‖‖ ‖ Teorema Dot Product: a ⋅ = ‖ ‖ ⟹ ‖ ‖= ⋅ b vektor - vector tak nol , dan θ sudut antara kedua vector , maka: i. θ mirip sudut lancip jika dan hanya jika ⋅ ii. θ mirip sudut tumpul jika dan hanya jik iii. θ= � = ° − jika dan hanya jika ⋅ = Teorema Jika , adalah vector pada atau , suatu scalar maka: a. ⋅ = ⋅ b. ⋅ + = ⋅ + ⋅ c. ⋅ = ⋅ = ⋅ d. ⋅ ℎ ≠ ⋅ = =

3.5 Vektor - Vektor Ortogonal

Vektor tegak lurus disebut juga vektor orthogonal. Dua vektor tak nol dimana ⊥ jika dan hanya jika ⋅ = y a P 1 x 1 ,y 1 P 2 x 2 ,y 2 x b ax+by+c=0 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Akan dibuktikan ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Dimana P 1 dan P 2 berada pada garis ax+by+c=0 Vektor n = a,b vector normal garis Maka : P 1 x 1 ,y 1 ax 1 +by 1 +c=0…………1 P 2 x 2 ,y 2 ax 2 +by 2 +c=0…………2 Persamaan 2 dan1 di eliminasi sehingga memperoleh ax 2 -x 1 +by 2 -y 1 =0………..3 n = a,b ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x 2 -x 1, y 2 -y 1 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = , ⋅ − , − = − + − = terbukti

3.6 Proyeksi Ortogonal

W 2 W 2 W 2 U Q U U Q W 1 a a W 1 W 1 Q W 1 + W 2 = W 1 + U- W 1 = U W 1 a dan W 2 a W 1 = proyeksi ortoganal dari U pada a atau komponen vector U sepanjang sejajar a dinotasikan sebagai Proy a U W 1 = Proy a U W 2 = komponen vektor U yang orthogonal terhadap a W 2 = U- W 1 =U- Proy a U Teorema Jika � adalah vector - vector dalam ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 jika � ≠ maka: ALJABAR LINEAR ELEMENTER � = ⋅ � ‖�‖ ∙ � − � = − ⋅ � ‖�‖ ∙ � Contoh : = , − , � = . − , � = + + ⋅ . − , = ⋅ . − , = , − , − � = , − , − , − , = − , − , Untuk panjang komponen vektor ∥ �: ‖ � ‖ = ‖ ⋅ � ‖�‖ ∙ �‖ = | ⋅ � ‖�‖ | ‖�‖ = | ⋅ �| ‖�‖ ‖�‖ = | ⋅ �| ‖�‖ = ‖ ‖‖�‖|cos �| ‖�‖ = ‖ ‖|cos �| Jarak dari suatu titik pada bidang ke suatu garis. y D QX1,Y1 PoXo,Yo D=? ax+by+c=0 x ALJABAR LINEAR ELEMENTER jarak D = panjang proyeksi orthogonal dari = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ‖ ‖ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − , − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = , − , − = − + − ‖ ‖ = √ + = | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ‖ ‖ | = | − + − | √ + = − + − √ + , + + = Maka = − − Diperoleh = | + + | √ + Contoh : Jarak titik -1,2 ke garis 4x+3y-6=0 = | . − + . − | √ + =

3.7 Jarak Antara Titik Dan Garis

X Y D n = a, b P0x0, y0 D ax + by + c = 0 Qx1, y1 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Misalkan Qx1, y1 adalah titik sebarang pada garis dan tempatkan vector n = a, b sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpitan dengan Q. Jarak D sebanding dengan panjang dari proyeksi orthogonal QP pada n, sehingga : proj n D = n n QP   QP proj tetapi   y y x x QP 1 1 ,        y y x x QP b a n 1 1      b a n 2 2   sehingga D =     b a y y x x b a 2 2 1 1     ……………..persamaan 1 Karena titik Qx1, y1 terletak pada garis tersebut, koordinatnya memenuhi persamaan garis tersebut sehingga : ax 1 + by 1 + c = 0 atau c = - ax 1 – by 1, substitusikan pernyataan tersebut ke dalam persamaan 1, maka menghasilkan : D = b a y x c b a 2 2   

3.8 Hasilkali Silang Cross Product

Definisi : jika u = u1, u2, u3 dan v = v1, v2, v3 adalah vector- vector pada ruang berdimensi 3, maka cross product u x v adalah vector yang didefinisikan sebagai : u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1 Atau dalam notasi determinan :            v v u u v v u u v v u u v u 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 , , Teorema : Hubungan Hasilkali Silang dengan Hasilkali Titik a u  u x v = 0 b v  u x v = 0 c   v u v u v u     2 2 2 2 d u x v x w = u  wv – u  vw ALJABAR LINEAR ELEMENTER e u x v x w = u  wv – v  wu Teorema : Sifat – sifat Hasilkali Silang a u x v = - v x u b u x v + w = u x v + u x w c u + v x w = u x w + v x w d ku x v = ku x v = u x kv e u x 0 = 0 x u = 0 f u x u = 0

3.9 Vektor Pada Garis Dan Bidang Dalam Ruang Tiga Dimensi

P0x0, y0, z0 Px, y, z x y z l V = a, b, c Persamaan dari bidang yang melewati titik P x , y , z dan memiliki vector taknol n = a, b, c sebagai normalnya, dimana bidang tersebut terdiri dari tepat titik Px, y, z dengan vector P P adalah orthogonal terhadap n, yaitu :   P n P , karena , , z y x P z y x P     , maka persamaan di atas dapat ditulis kembali sebagai ax - x + by – y + cz – z = 0 disebut sebagai bentuk normal – titik dari persamaan suatu bidang. l adalah garis pada ruang berdimensi 3 yang melalui P x , y , z dan Px, y, z, dimana P P parallel v, maka dapat dinyatakan : ALJABAR LINEAR ELEMENTER tv P P  , dimana t adalah suatu scalar x – x , y – y , z – z = ta, tb, tc x - x = ta y - y = tb persamaan parametric garis z – z = tc Teorema : Jarak antara Suatu Titik dan Suatu Bidang Jarak D antara titik P x , y , z dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah D = c b a z y x d c b a 2 2 2      contoh 1 : jika v = 1,-3,2 dan w =4,2,1 maka : v+w = 5,-1,3 2v = 2,-6,4 jika titik pangkal suatu vektor tidak berada pada titik asal misalkan p 1 = x 1 , y 1, z 1 dan titik ujungnya misalkan p 2 =x 2 , y 2 , z 2 maka vektor v = p 1 p 2 = x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 contoh 2 : komponen vektor v = p 1 p 2 dengan titik pangkal p 1 2,-1,4 dan titik ujung p 2 = 7,5,-8 adalah : v = 7 - 2, 5- - 1, - 8 – 4 = 5, 6, - 12 Latihan Bab III 1. Tentukan x dan y yang memenuhi : a. x, y+1 = y-2, 6 b. 4, y = x2, 3 c. x2,y = y1, -2 2. Tentukan nilai x, y, z dimana x, y+1,y+z = 2x+y,4,3z 3. Nyatakan vektor v = 1, -2, 5 sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor u 1 = 1,1,1 ; u 2 = 1,2,3; dan u 3 = 2,-1,1 sehingga dapat dinyatakan sebagai : v = k 1 u 1 + k 2 u 2 + k 3 u 3 Tentukan nilai k i , i=1,2,3 4. Nyatakan vektor             16 3 9 v sebagai kombinasi linear dari u i , i = 1,2,3 dengan ALJABAR LINEAR ELEMENTER            3 3 1 1 u ,             1 5 2 2 u dan             3 2 4 3 u 5. Tentukan nilai k sehingga vektor u dan v saling ortogonal: a. u = 3, k, -2 dan v = 6, -4, -3 b. u = 5, k, -4, 2 dan v = 1, -3, 2, 2k c. u = 1, 7, k+2, -2 dan v = 3, k,-3, k 6. Jika diketahui u = 3i – 4j + 2k , v = 2i + 5j – 3k, w = 4i + 7j + 2k Tentukan : a. u x v b. u x w c. v x w d. v x u e. w x v 7. Tentukan vektor satuan u yang ortogonal terhadap : a. v = 1, 2, 3 dan w = 1, -1, 2 b. v = 3i – j + 2k dan w = 4i – 2j – k 8. Untuk vektor-vektor seperti soal no 6, tunjukkan bahwa : a. u + v  w = u  w + v  w b. w  u + v = w  u + w  v 9. Tentukan titik potong bidang 3x – 2y + 2 = 44 dan garis dengan persamaan parametrik x = 3 + 2t, y = 1 – 2y, z = 5 + 4t ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAB IV RUANG VEKTOR EUCLIDEAN 4.1 Ruang Berdimensi-n Euclidean Beberapa definisi vektor dalam Rn.  Dua buah vektor, u=u 1 , u 2 , u 3 , …, u n dan v=v 1 , v 2 , v 3 , …, v n dalam R n disebut sama jika: u 1 =v 1 , u 2 =v 2 , u 3 =v 3 , …, u n =v n  Jumlah u+v didefinisikan sebagai: u+v= u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , u 3 +v 3 , …, u n +v n  Jika k adalah sembarang skalar, perkalian skalar ku didefinisikan sebagai: ku= ku 1 , ku 2 , ku 3 , …, ku n  Jika u= u 1 , u 2 , u 3 , …, u n adalah sembarang vektor dalam R n , maka negatif atau invers aditif dari u dinyatakan dengan –u dan didefinisikan sebagai: -u = -u 1 , -u 2 , -u 3 , …, -u n  Selisih vektor- vektor dalam R n v-u= v 1 -u 1 , v 2 -u 2 , v 3 -u 3 , …, v n -u n  Dalam bentuk komponen-komponen: u-v= u 1 -v 1 , u 2 -v 2 , u 3 -v 3 , …, u n +v n  u, v adalah vektor- vektor dalam R n , hasil kali dalam Eucliden u ₀v didefinisikan sebagai: u ₀v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 +…+u n v n  Jika dua vektor u, v adalah vektor-vektor dalam R n maka u dan v saling orthogonal bila u ₀v = 0 Sifat-sifat operasi vektor dalam ruang Berdimensi-n R n Teorema 4.1 jika u, v, w adalah vektor-vektor dalam R n ;dan k, l adalah skalar, maka: a. u+v = v+u b. u+v+w = u+v+w ALJABAR LINEAR ELEMENTER c. u+0 = 0+u = u d. u+ -u = 0, sehinnga u-u=0 e. k l u = kl u f. k u+v = k u + k v g. k + l u = k u + l u h. l u=u; l =1 Teorema 4.2 : jika u, v, w R n dan k sembarang skalar maka: a. u ∙ v = v ∙ u b. u+v.w = u.w + v.w = w.u + w.v = w. u+v c. k u.v = k u.v d. v.v≥0 ; v.v=0 jika hanya jika v=0 Contoh pembuktian : u+v.w = u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , u 3 +v 3 , …, u n +v n .w 1 , w 2 , w 3 , … , w n = u 1 +v 1 w 1 + u 2 +v 2 w 2 + u 3 +v 3 w 3 + … +u n +v n w n = [u 1 w 1 + v 1 w 1 , u 2 w 2 + v 2 w 2 , u 3 w 3 + v 3 w 3 , … ,u n w n + v n w n ] = u 1 w 1 , u 2 w 2 , u 3 w 3 , …, u n w n + v 1 w 1 , v 2 w 2 , v 3 w 3 , …, v n w n = u.w + v.w = w.u + w.v Jika u, v, w R n dan k sembarang skalar maka: a. u ∙ v = v ∙ u b. u+v.w = u.w + v.w = w.u + w.v = w. u+v c. k u.v = k

u.v

ALJABAR LINEAR ELEMENTER d. v.v≥0 ; v.v=0 jika hanya jika v=0 Contoh pembuktian : u+v.w = u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , u 3 +v 3 , …, u n +v n .w 1 , w 2 , w 3 , … , w n = u 1 +v 1 w 1 + u 2 +v 2 w 2 + u 3 +v 3 w 3 + … +u n +v n w n = [u 1 w 1 + v 1 w 1 , u 2 w 2 + v 2 w 2 , u 3 w 3 + v 3 w 3 , … ,u n w n + v n w n ] = u 1 w 1 , u 2 w 2 , u 3 w 3 , …, u n w n + v 1 w 1 , v 2 w 2 , v 3 w 3 , …, v n w n = u.w + v.w = w.u + w.v Contoh soal: 1. Anggap u=1, 2, 3, 4, v=-3, 2, 3, 4, dan w= 1, 1, 2, 0, carilah: a. 3v+w.2u+v b. 2u-v Jawab: 1.a. 3v+w.2v+w =3v.2v+w + w.2v+w =[3-3,2,3,4.2-3,2,3,4+1,1,2,0]+ [1,1,2,0.2-3,2,3,4+1,1,2,0] =[9,6,9,12.6,4,6,8+1,1,2,0]+[1,1,2,0.6,4,6,8+1,1,2,0] =[-54,24,54,96+ 1,1,2,0]+[6,4,12,0+1,1,2,0] =-53,25,56,96+7,5,14,0 =-46,30,70,96 b. 2u-v = 2 [1, 2, 3, 4 - -3, 2, 3, 4] = 24, 0, 0, 0 = 8, 0, 0, 0 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Teorema 4.3 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam R n Jika u, v, Є - R n : v = u 1 ,u 2 ,…u n dan v= v 1 ,v 2 ,…,v n adalah vektor-vektor dalam R n , maka : |u.v| ≤ ║u║║v║ atau dinyatakan dalam bentuk komponen-komponennya |u 1 v 1 +u 2 v 2 +….+u n v n | ≤ + + + 12 + + + 12 Dari rumus tersebut, jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dalam R 2 atau R 3 , maka |u.v| = | ║u║║v║ cos θ| = ║u║║v║|cosθ| ≤ ║u║║v║ dan Jika u=0 dan v=0, maka kedua ruas dari 3 adalah nol, sehingga ketaksamaan tersebut juga berlaku utuk kasus ini. Teorema 4.4 Dimana kita akan membuktikan teorema 4.4 dengan mencoba salah satunya dengan membuktikan d  Bukti d. ||U+V|| 2 = U+V.U+V=U.U+2U.V+V.V = ||U|| 2 +2U.V+||V|| 2 ||U|| 2 +2|U.V|+||V|| 2 sifat nilai mutlak ||U|| 2 +2||U|| ||V||+||V|| 2 ketaksamaan Cauchy-Schwarz ||U||+||V|| 2 ℎ ℎ ℎ Jika U, V € R n dan k adalah sembarang skalar, maka a ||U|| 0 b ||U||=0 jika dan hanya jika u=0 c ||kU||=|k||U|| d ||U+V|| ||U||+||V|| ketaksamaan segitiga ALJABAR LINEAR ELEMENTER Dengan gambar: U+V V U Teorema 4.5 Dimana kita akan membuktikan teorema 4.5 dengan mencoba salah satunya dengan membuktikan d  Bukti d. dU,V=||U-V||=||U-W+W-V|| ||U-W||+||W-V||= dU,W+ dW,V Teorema 4.6  Bukti ||U+V|| 2 =U+V. U+V=||U|| 2 +2U.V+||V|| 2 |U-V|| 2 =U-V. U-V=||U|| 2 -2U.V+||V|| 2

4.2 Ortogonalitas Ketegaklurusan

Definisi: Dua vektor dan dalam disebut ortogonal jika . = . ||U+V|| ||U||+||V|| Jika U, V, dan W adalah vektor-vektor dalam R n dan k adalah sembarang sekalar, maka: a dU,V 0 b dU,V=0 jika dan hanya jika U=V c dU,V= dU,V d dU,V dU,W+ dW,V ketaksamaan segitiga Jika U dan V adalah vektor-vektor dalam R n dengan hasil kali dalam Euclidean, maka U.V= 2 2 || || 4 1 || || 4 1 V U V U    ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh: Dalam ruang Euclidean R 4 vektor – vektor u=-2,3,1,4; v=1,2,0,-1 adalah orthogonal karena u.v= -21+32+10=0 Bila tegak lurus maka: ‖ + ‖ 2 = ‖ ‖ 2 + ‖ ‖ 2 jika vektor dan dinyatakan dalam matriks = [ ] ; = [ ] . = = [ … ] [ ] = + + + Karena . = . → = Jika A suatu matriks × , maka: . = = = T u = . . = T u = = = . Contoh: = [ − − ] = [ ] = [ − ] . = [ ] . [ − − ] [ − ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER = [ ] . [ − ] = + − = − . = [ − − ] [ ] . [ − ] = [ ] . [ − ] = + − = − ∴ . � = � � . Pandangan hasil kali titik mengenai perkalian matriks = [ ] ; = [ ] × = , … , × = , … , = , … , = , … , ij = + + + ≈ Unsur ke- ij dari AB = [ … ] [ ] = Baris ke- i matriks A . kolom ke- j matriks B = [ ] ; = [ … ] × × = [ . . … . . . … . . . … . ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER : = × × × [ + + + + + + ] = [ ] [ , ,… , . , ,… , , ,… , . , ,… , , ,… , . , ,… , ] = [ ] [ . . . ] = [ ] Contoh soal:  Berikut ini adalah contoh suatu system linear yang dinyatakan dalam bentuk hasil kali titik: 3x 1 – 4x 2 + x 3 = 1 2x 1 – 7x 2 – 4x 3 =5 x 1 + 5x 2 – 8x 3 = 0 [ , − , , , , − , − , , , , − , , ] = [ ] [ . . . ] = [ ] 4.3 Transformasi Linear Dari R n Ke R m  Fungsi – fungsi dari R n ke R A B A B       a b f ALJABAR LINEAR ELEMENTER Fungsi adalah suatu aturan f yang menghubungkan setiap unsure dalam A ke satu dan hanya satu unsur dalm B Jika f menghubungkan unsur b dengan unsur a, maka ditulis b = fa, dikatakan : - b adalah bayangan dari a dibawah f - f a adalah nilai f di a  Himpunan A disebut daerah asal Dominan : himpunan unsur yang akan dipetakan  Himpunan B disebut daerah kawan kodanain : himpunan unsur yang dipadankan dari unsur – unsur pada A  Daerah hasil Range adalah himpunan bagian dari B yang terdiri dari semua nilai yang mungkin untuk f ketika nilai a berubah – ubah dalam A. Dua buah fungsi dikatakan sama, f 1 = f 2 jika kedua fungsi memiliki dominant yang sama dan f 1 a = f 2 a suatu fungsi f : R n → R, ditulis sebagai : w = f x 1 , x 2 , …., xn Contoh : fx = x 2 = f : R → R fx,y = 2x – 4y = f : R 2 → R f x,y,z = x + 2y –z = f : R 3 → R  Transformasi Linear Dari R n Ke R m - Transformasi linear adalah transformasi yang dituliskan sebagai T : R n → R m dan didefinisikan oleh persamaan – persamaan linear - Jika m = n maka transformasi linear dikatakan sebagai operator linear - Definisi transformasi linear T : R n → R m dalam SPL : w 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + ……+a 1n x n w 2 = a m1 x 1 + a m2 x 2 + ……+a mn x n dalam notasi matriks : w 1 a 11 a 12 … a 1n x 1 w 2 = a 21 a 22 … a 2n x 2 w n a m1 a m2 … a mn x n w = Ax Matriks A = [aij] disebut matriks standar untuk transformasi linear T ALJABAR LINEAR ELEMENTER T disebut perkalian dengan A Contoh T : R 3 → R 2 yang didefinisikan oleh persamaan w 1 = 2x 1 – x 2 + 3x 3 = w 1 = 2 -1 3 x 1 w 2 = x 1 + x 2 – x 3 w 2 1 1 -1 x 2 x 3 maka bayangan dari titik 1,2,- 1 adalah ….. w 1 = 2 -1 3 1 -3 w 2 1 1 -1 2 = 4 -1 Beberapa maslah notasi :  Jika T : R n → R m dengan A adalah matriks standar untu T, maka transformasi linear T : R n → R m dinyatakan dengan T A : R n → R m T a x = A x : kadang – kadang matriks standar untuk T dinyatakan dengan [T] Tx = [T]x Kadang kedua penulisan matriks standar dicampur, dengan hubungan : [T a ] = A ALJABAR LINEAR ELEMENTER

4.4 Geometri Transformasi Linear

T memetakan titik ke titik T memetakan vector ke vector  Jika O matriks nol berukuran m x n dan O vektor nol dalam R n , untuk setiap vektor x dalam R n berlaku : To9x = OX = o : To transformasi nol dari r n ke R m  Jika I matriks identitas berukuran n x n, maka untuk setiap vektor x dalam R n : T I x = Ix = x; T I operator identitas pada R n Operator Pencerminan x T x T x x y x w = Tx x x,y -x,y x,y,z z y z x Pencerminan terhadap sumbu y w 1= -x w2 = y w = -1 0 x 0 1 y Pencerminan terhadap bidang -x y w 1= -x w2 = y w3 = -z w = 1 0 0 x 0 1 0 y 0 0 -1 z ALJABAR LINEAR ELEMENTER Operator Proyeksi Operator Rotasi w1 = r [cosα . cosθ – sinα sinθ] = cosα . cosθ – sinα sinθ w1 = x cos θ – y sin θ w2 = r [sinα cosθ + cosα sinθ] x y x x,y w x,0 Proyeksi orthogonal pada sumbu –x w1 = x 1 0 x w2 = 0 0 0 y W = z x,y,z y x x,y,o Proyeksi orthogonal pada sumbu –xy w1 = x 1 0 0 x w2 = y 0 0 0 y w3= 0 0 0 0 z W = x Y r y r α θ x,y w w1,w2 x = r cosα y = r sin α w1 = r cos α+θ w2 = r sin α+θ ALJABAR LINEAR ELEMENTER = r sinα cosθ + r cos α sinθ = Y cosθ + x sin θ w1 = x cosθ – y sin θ cosθ – sinθ x w2 = x sin θ + y cos θ sinθ cosθ y ≈ Pelebaran ≈ Penyempitan w = k o x o k y k ≥ 1 → Pelebaran w = k o o x o k o y d ≤ | k | 1 → Penyempitan o o k z

4.5 Sifat- sifat transformasi linear dari R

n → R m Definisi: suatu transformasi linear T : R n → R m disebut satu-satu jika T memetakan vektor-vektor titik-titik yang berbeda pada R n ke vektor-vektor titik-titik yang berbeda pada R m . Teorema 4.7 Jika A adalah suatu matrik n x n dan T A : R n → R n adalah perkalian dengan A, maka pernyataan berikut equivalen. a. A dapat dibalik b. Daerah hasil dari T A adalah R n c. T A adalah satu-satu Invers dari sebuah operator linear satu-satu. Jika T A : R n → R n adalah suatu operator linear satu-satu maka matriks A dapat dibalik jadi T A : R n → R n adalah sebuah operator linear ; disebut invers dari T A         x Ix Ax A x T T x Ix x AA x T T A A A A           1 1 1 1 W = ALJABAR LINEAR ELEMENTER Secara equivalen I A A A I AA A A T A T T T T T T T         1 1 1 1   Masalah notasi. Jika operator linear satu-satu pada R n dituliskan sebagai T : R n → R n dan bukannya T A , maka invers dari operator T dinyatakan dengan 1  T bukan 1  A T .     1 1    T T A Sifat-sifat kelinearan Suatu transformasi T : R n → R m adalah linear jika dan hanya jika hubungan berikut ini berlaku untuk semua vector u dan v pada R n dan setiap sekalar c a. Tu+v=Tu+Tv b. Tcu=cTu Bukti: Misalnya T adalah transformasi linear: A matriks standar uT Tu+v=Au+v=Au+Av=Tu+Tv Tcu=Acu=cAu=cTu Jika T : R n → R m adalah suatu operator linear, maka suatu saklar  disebut nilai eigen dari T jika ada suatu x tak nol pada R n sedemikian sehingga   x x T   Vektor-vektor tak nol x memenuhi pesamaan ini disebut vektor eigen dari T yang berpadanan dengan  Ringkasan : teorema 4.9 Jika A adalah suatu matriks n x n, dan jika T A : R n → R n adalah perkalian dengan A, maka pernyataan-pernyataan berikut ini equivalen a. A bisa dibalik b. Ax=0 hanya mempunyai solusi trivial c. Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I d. A dapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali matriks-matriks dasar ALJABAR LINEAR ELEMENTER e. Ax=b konsisten untuk setiap matriks bn x 1 f. Ax=b tepat punya satu solusi untuk setiap bn x 1 g. DetA  h. Daerah hasil T A adalah R n i. T A adalah satu-satu Latihan Bab IV 1. Uraikan bentuk berikut berkaitan dengan ruang Hasilkali dalam: a. 2 1 2 1 7 6 , 8 5 v v u u   b. 2 3 2 v u  2. Bila ruang hasilkali dalam didefinisikan sebagai 2 2 1 1 3 , v u v u v u   maka untuk u = 2, 1 dan v = 1,-1 , tentukan : a.  u,v b. || u|| c. Cosinus sudut antara u dan v 3. Ingat bahwa suatu transformasi T : V  W V, W suatu ruang vektor disebut sebagai transformasi linear jika : i. Untuk sembarang vektor v 1 dan v 2 di V berlaku Tv 1 + v 2 = Tv 1 + Tv 2 ii. Untuk sembarang bilangan real k dan v di V berlaku Tkv = k Tv Bila didefinisikan Tx,y = Ax,y dengan A =            2 1 2 1 1 , dengan menggunakan sifat-sifat di atas, apakah T merupakan transformasi linear? 4. Bila u, v, w  R 4 dengan u=1,1,-1,1, v=2,1,1,1, w=3,1,4,1. Selidiki apakah ketiga vektor tersebut bebas linear atau terpaut linear?. Jika ketiga vektor tersebut terpaut linear, tuliskan hubungan diantara ketiga vektor tersebut 5. Tentukan matriks standar untuk komposisi operator-operator linear pada R 3 : Rotasi berlawanan arah dengan jarum jam 270 terhadap sumbu-x, diikuti dengan rotasi berlawanan arah dengan jarum jam 90 terhadap sumbu-y, diikuti dengan pencerminan terhadap bidang-xy, kemudian diikuti dengan pelebaran dengan faktor skala k = 2. 6. Tentukan dua buah unit vektor yang ortogonal terhadap ketiga vektor u = 2,1,- 4,0, v = -1,-1,2,2, dan w = 3,2,5,4 ALJABAR LINEAR ELEMENTER

BAB V RUANG-RUANG VEKTOR UMUM

5.1 Aksioma Ruang Vektor

Definisi Anggap V adalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek di mana dua operasi didefinisikan yaitu penjumlahan dan perkalian dengan scalar bilangan .Yang kami maksud dengan penjumlahan adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek u dan v dalam V dengan suatu objek u + v, yang disebut sebagai jumlah u dan v, yang dimaksud dengan perkalian skalar adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap scalar k dan setiap objek u dalam V dengan objek ku, yang disebut perkalian skalar dari u dengan k . Jika aksioma berikut ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V dan semua skala k dan l , maka disebut V sebagai ruang vektor dan disebut objek dalam V sebagai vektor. 1 Jika u dan v adalah ojek – objek dalam V, maka u + v berada dalam V. 2 u + v = v + u 3 u + v + w = u + v + w 4 Ada suatu objek 0 dan V, yang disebut suatu vector nol untuk V, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V. 5 Untuk setiap u dalam V, ada suatu objek –u daam V, yang disebut negatif dari u, sedemikian sehingga u + -u = -u + u = 0 6 Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V, maka ku ada dalam V. 7 ku + v = ku + kv 8 k + lu = ku + lu 9 klu = klu 10 lu = u Ruang – ruang vektor dimana skalarnya berupa bilangan kompleks disebut Ruang Vektor Kompleks, sedang apabila scalar merupakan bilangan real disebut ruang Vektor Real. ALJABAR LINEAR ELEMENTER Ruang Vektor dapat berupa vektor, matriks, fungsi dan bidang. Contoh : Himpunan semua matriks 2x2 dalam bentuk [ ] adalah ruang vektor ;km: u = [ ] ε V ; v = [ ] ε V u + v = [ + + ] juga dalam V dank u = [ ] ε V.  Himpunan semua bilangan real positif dengan operasi + = dan kx = x k adalah suatu ruang vector bila u, v ε V dengan = + = − Maka + = + − � = + �  Himpunan pasangan bilangan real x , y dengan operasi , + , = + , + dan , = , bukan merupakan ruang vector, karena tidak memenuhi aksioma : 1u = u ; dalam definisi operasi diatas , = , maka , = , ≠ juga : ℓ x, � = ℓx, ℓ� = kℓ , ℓ� ≠ kℓ  Himpunan semua matriks 2x2 berbentuk [ ] bukan suatu ruang vector karena : u = [ ] � + = [ + + ] = [ ] � = [ ] ε V ; ≠ Beberapa Sifat Vektor Anggap V adalah suatu ruang vektor u suatu vektor dalam V, dan k suatu skalar; maka: a 0u = 0 b K0 = 0 ALJABAR LINEAR ELEMENTER c -1u = -u d Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0 Dapat dibuktikan bagian a dan c dan meninggalkan bukti lainnya Bukti : a. Dapat dituliskan 0u + 0u = 0 + 0u [Aksioma 8] = 0u [siat bilangan 0] Berdasarkan aksioma 5 vektor 0u mempunyai suatu negatif, -0u. Menjumlahkan negatif ini pada kedua ruas di atas akan menghasilkan [0u + 0u] + -0u = 0u + -0u [aksioma 3] 0u + 0 = 0 [aksioma 5] 0u = 0 [aksioma 4] Bukti c. Untuk menunukkan -1u= -u, kita harus menunjukkan bahwa u + -1u= 0. Untuk melihat ini, amati bahwa u + -1u= lu + -1u [aksioma 10] = 1 + -1u [aksioma 8] = 0u [sifat bilangan] = 0 [Bagian a di atas]

5.2 Subruang Subspace

Definisi suatu himpunan bagian w dari suatu ruang vektor V disebut suatu sub-ruang dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vector dibawah penjumlahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada V. Teorema Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih vector dari ruang vector V, maka W adalah suatu sub-ruang dari V jika dan hanya jika syarat syarat berikut ini terpenuhi. a Jika u dan v adalah vector – vector dalam W, maka u + v ada dalam V. b Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang vektor dalam W, maka ku ada dalam W. Ruang – ruang Penyelesaian untuk system – system Homogen Teorema: ALJABAR LINEAR ELEMENTER Jika Ax= 0 Adalah suatu system linear homogen dari m persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu sub-ruang dari R n . Bukti: Anggap W adalah himpunan vektor penyelesaian. Paling tidak ada satu vector dalam W, yaitu 0. Untuk menunjukkan bahwa W tertututp terhadap penjumlahan dan perkalian scalar, kita harus menunjukkan bahwa jika x dan x adalah sebarang vektor – vektor penyelesaian dan k adalah sebarang skalar, maka x + x dan k x juga merupakan vektor – vektor penyelesaian. Tetapi jika x dan x adalah vektor – vektor penyelesaian, maka Ax = 0 dan Ax’=0 Didapatkan bahwa: A x + x’ = A x + A x’ = 0 + 0 = 0 dan A kx = k A x = k 0 = 0 Yang membuktikan bahwa x + x’ dan k x dan vektor – vektor penyelesaian.

5.3 Kombinasi Linear

Definisi Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vector-vektor v 1 ,v 2 …,v,jika bisa dinyatakan dalam bentuk w=k 1 v 1 + k 2 v 2 + ….+ k r v r dengan k 1 ,k 2 ,…,k r adalah skalar. Jika r=1, maka persamaan dalam definisi di atas menjadi w= k 1 v 1 ; yaitu,w adalah suatu, w adalah suatu kombinasi linear dari suatu vektor tunggal v 1 jika w adalah suatu pengandaan skala dari v 1 . Contoh :  w = a, b, c ε R 3 merupakan kombinasi linear dari i=1, 0, 0, j=0, 1, 0, k=0, 0, 1, w= ai + bj + ck  P1 = 2 + x + 4x 2 P2 = 1 – x + 3x 2 P3 = 3 + 2x + 5x 2 Bila P= 6 +11x + 6x 2 dapat dinyatakan sebagai : ALJABAR LINEAR ELEMENTER [ ] = [ ] + [− ] + [ ]; ki  real maka P adalah kombinasi linear dari P1,P2,P3 5.4 Rentang Jika v 1 ,v 2 …,v, adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V , maka secara umum beberapa vektor dalam V mungkin merupakan kombinasi linear dari v 1 ,v 2 …,v, dan yang lainnya mungkin tidak. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa jika menyusun suatu himpunan W yang terdiri dari suatu vektor-vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari v 1 ,v 2 …,v, itu, maka W membentuk suatu sub-ruang dari V. Teorema Jika v 1 ,v 2 …,v, adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vector V, maka a Himpunan W semua kombinasi linear dari v 1 ,v 2 …,v, merupakan suatu sub-ruang dari v 1 ,v 2 …,v,. b W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi v 1 ,v 2 …,v, dalam pengertian bahwa setiap sub-ruang lain dari V yang berisi v 1 ,v 2 …,v, pasti mengandung W. Bukti a. Untuk menentukkan bahwa W adalah suatu sub-ruang dari V, kita harus membuktikan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar paling tidak ada suatu vektor dalam W, yaitu, 0, karena 0= 0v 1 ,0v 2 …,0v r jika u dan v adalah vector- vektor dalam W maka u= cv 1 ,cv 2 …,cv r v= k 1 v 1 + k 2 v 2 + ….+ k r v r dengan c 1 ,c 2 ,…,c r, k 1 ,k 2 ,…,k 2 adalah skalar. Oleh karena itu, u + v = c 1 + k 1 v 1 +c 2 + k 2 v 2 + c r, + k r v r. dan untuk sebarang skalar k, ku=c 1 k 1 v 1 +c 2 k 2 v 2 + c r, k r v r jadi, u + v dank u adlah kombinasi linear dari v 1 ,v 2 …,v r oleh Karena itu terletak dalam W. Dengan demilian, W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Bukti b. Setiap vektor v i adalah suatu kombinasi linear dari v 1 ,v 2 …,v r karena bisa dituliskan v i = 0v 1 + 0v 2 +…+ 1v i +…0v r ALJABAR LINEAR ELEMENTER oleh karena itu, sub-ruang W mengandung masing-masing vector v 1 ,v 2 …,v r angga W’ adalah sebarang sub-ruang lainnya yang mengandung v 1 ,v 2 …,v r karena W’ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar, maka W’ pasti mengandung setiap vector dari W. Merentang Definisi : jika S={v 1 ,v 2 ,....,v r } sejumlah vektor pada ruang vektor V, maka subruang W dari V mengandung semua kombinasi linier vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang ruang yang dibangun oleh v 1 ,v 2 ,...,v r dan kita katakan bahwa vektor- vektor v 1 ,v 2 ,...,vr adalah rentang W. Untuk menunjukkan bahwa W adalah ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S={v 1 ,v 2 ,...,v r } ditulis : W = rent S atau W = rent {v 1 ,v 2 ,...,v r } Contoh : Tentukan apakah v 1 = 1,1,2, v 2 = 1,0,1 dan v 3 = 2,1,3 merentang ruang vektor R 3 . Penyelesaian : Kita harus menentukan apakah sembarang vektor b = b 1 ,b 2 ,b 3 dalam R 3 bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari v 1 , v 2 , dan v 3 sebagai berikut : b = k 1 v 1 +k 2 v 2 +k 3 v 3 Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen akan didapatkan : b 1 ,b 2 ,b 3 = k 1 1,1,2+k 2 1,0,1+k 3 2,1,3 b 1 ,b 2 ,b 3 =k 1 +k 2 +2k 3 ,k 1 +k 3 ,2k 1 +k 2 +3k 3 k 1 +k 2 +2k 3 = b 1 k 1 + k 3 = b 2 2k 1 +k 2 +3k 3 = b 3 Dalam matriks : [ b b b ] lalu kita cek apakah v 1 ,v 2 ,v 3 merentangkan ruang vektor R 3 dengan cara [ b b b ]B 31 -2 [ b b − − b − b ] B 21 -1 [ b − − b − b − − b − b ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER B 3 -B 2 [ b − − b − b b − b − b ] dari hasil di atas kita asumsikan b − b − b ≠ 0 sehingga dari hasil di atas dapat kita lihat bahwa spl tidak konsisten sehingga v 1 ,v 2 ,v 3 tidak merentang R 3 .

5.5 Bebas Linear

Definisi : Jika S={v 1 ,v 2 ,...,v r } adalah himpunan vektor tak nol, maka : k 1 v 1 + k 2 v 2 + ….+ k r v r = 0 hanya mempunyai satu solusi yaitu k 1 = 0 , k 2 = 0, ... , k r = 0 SPL homogen tersebut memiliki solusi trivial, maka S disebut himpunan yang bebas linear. Bila ada solusi lain, dinamakan himpunan bergantung linear. Contoh : Buktikan jika v 1 =2,-1,0,3, v 2 =1,2,5,-1, v 3 =7,-1,5,8 maka himpunan vektor-vektor S = {v 1 ,v 2 ,v 3 } tak bebas secara linear karena 3v 1 +v 2 -v 3 =0 Penyelesian : [− − − ]B 42 3 [− − ]B 43 - 1 [− − ]B 12 2 [− − ]B 31 -1 [− − ]B 1 15 [− − ]B 21 -2 [− − ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER Maka : k 2 +k 3 =0 , k2 = - k 3 -k 1 -3k 3 =0 , -k 1 =3k 3 , k 1 = -3k 3 Sehingga : -3k 3 v 1 – k 3 v 2 + k 3 v 3 = 0 dikali -1k 3 3v 1 +v 2 -v 3 = 0 Jadi terbukti, v 1 =2,-1,0,3, v 2 =1,2,5,-1, v 3 =7,-1,5,8 maka himpunan vektor-vektor S = {v 1 ,v 2 ,v 3 } tak bebas secara linear karena 3v 1 +v 2 -v 3 =0 atau SPL Homogen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0 memiliki solusi tidak trivial.

5.6 Basis dan Dimensi

5.6.1 Basis untuk sebuah ruang vektor