ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Maka : k
2
+k
3
=0 ,
k2
= - k
3
-k
1
-3k
3
=0 , -k
1
=3k
3
, k
1
= -3k
3
Sehingga : -3k
3
v
1
– k
3
v
2
+ k
3
v
3
= 0 dikali -1k
3
3v
1
+v
2
-v
3
= 0 Jadi terbukti, v
1
=2,-1,0,3, v
2
=1,2,5,-1, v
3
=7,-1,5,8 maka himpunan vektor-vektor S = {v
1
,v
2
,v
3
} tak bebas secara linear karena 3v
1
+v
2
-v
3
=0 atau SPL Homogen k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ k
3
v
3
= 0 memiliki solusi tidak trivial.
5.6 Basis dan Dimensi
5.6.1 Basis untuk sebuah ruang vektor
Definisi: Jika
adalah sembarang ruang vektor dan = { , , … , } adalah suatu
himpunan vektor – vektor dalam , maka disebut suatu basis untuk , jika dua
syarat berikut ini dipenuhi: bebas secara linier
merentang
Teorema: Jika
= { , , … , } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor , maka setiap vektor dalam bisa dinyatakan dalam bentuk
= +
+ + dalam tepat satu cara.
5.6.2 Koodinat – Koordinat Relatif Terhadap Sebuah Basis
Jika = { , , … , } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor dan vektor – vektor
dalam dapat dinyatakan dengan =
+ + +
Dimana =
+ + +
adalah ekspresi untuk suatu vektor dalam bentuk basis , maka skalar
, , … , disebut koordinat relatif terhadap basis . Vektor , , … ,
dalam yang tersusun dari koordinat
– koordinat ini disebut koordinat vektor relatif terhadap
dinyatakan dengan: =
, , … ,
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
5.6.3 Basis Standar Untuk �
�
Contoh: Jika
= , , , … , , = , , , … , , … , = , , , … , maka
= { , , … , } adalah himpunan yang bebas secara linier dalam .
Himpunan ini juga merentangkan karena sebarang vector
= ,
, … , dalam
bisa dituliskan sebagai: =
+ + +
Jadi, adalah basis untuk , ini disebut basis standar untuk
. Dari
= +
+ + kita dapatkan bahwa koordinat
= , , … ,
relatif terhadap basis standar adalah , , … , sehingga
= , , … ,
= Sehingga suatu vektor dan vektor koordinatnya relative terhadap basis standar untuk
adalah sama.
Contoh : Anggap
= , , , = , , , = , , tunjukkan bahwa himpunan = { , , } adalah suatu basis untuk .
Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa himpunan merentang
kita harus menunjukkan bahwa sembarang vektor
� = ,
, bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier:
� = +
+ Dari vektor
– vektor dalam . Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen – komponen, kita akan mendapatkan:
, , =
, , +
, , +
, , , ,
= +
+ ,
+ +
, + Atau dengan menyamakan komponen
– komponen yang berpadanan +
+ =
+ +
= +
=
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Jadi, untuk menunjukkan bahwa merentang , kita harus menunjukkan bahwa
sistem persamaan diatas mempunyai suatu penyelesaian untuk semua pilihan � =
, , Jika persamaan diatas kita ubah ke dalam bentuk matriks dan digandengkan dengan
hasilnya lalu kita umpamakan dengan nama maka akan menjadi:
[ ]
− −
[ −
− `
− +
− + ]
[ −
− ⁄ `
− + ⁄
− + ]
−
[ ⁄
− ⁄
− ⁄ − ⁄
− + ⁄
− +
+ ⁄
]
−
[ ⁄
− ⁄
− ⁄ −
+ ⁄ −
− ]
−
[ − ⁄
− −
+ −
⁄ ⁄
− −
− + ⁄
− −
]
dari hasil reduksi matriks di atas kita lihat bahwa sistem persamaan linier tersebut
memiliki suatu penyelesaian untuk semua b =
, ,
Untuk membuktikan bahwa bebas secara linier kita harus menunjukkan bahwa satu-satunya penyelesaian dari:
+ +
= adalah
= =
= jika kita nyatakan dalam bentuk komponen – komponen, pembuktian kebebasan berubah menjadi menunjukkan bahwa sistem homogen.
+ +
= +
+ =
+ =
Hanya mempunyai penyelesaian trivial. Untuk membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang
dengan menunjukkan bahwa matriks koefisien
= [ ]
mempunyai determinan tak nol. Akan tetapi, setelah kita mencari determinan A hasilnya adalah
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
= | | = −
Sehingga S adalah suatu basis untuk
Latihan Bab V
1. Diketahui v
1
, v
2
dan v
3
vektor-vektor dalam R
3
yang titik pangkalnya di titik asal. Tentukan apakah ketiga vektor berada pada bidang yang sama?
v
1
= 2, -2, 0 v
2
= 6, 1, 4 v
3
= 2, 0, -4 2.
Diketahui v
1
, v
2
dan v
3
vektor-vektor dalam R
3
yang titik pangkalnya di titik asal. Tentukan apakah ketiga vektor terletak pada garis yang sama?
a. v
1
= -1, 2, 3, v
2
= 2, -4, -6, v
3
= -3, 6, 0 b.
v
1
= 4, 6, 8, v
2
= 2, 3, 4, v
3
= -2, -3, -4 3.
Bila u, v, w R
4
dengan u=1,1,-1,1, v=2,1,1,1, w=3,1,4,1. Selidiki apakah ketiga vektor tersebut bebas linear atau terpaut linear?. Jika ketiga vektor tersebut
terpaut linear, tuliskan hubungan diantara ketiga vektor tersebut
4. Tentukan dua buah unit vektor yang ortogonal terhadap ketiga vektor u = 2,1,-
4,0, v = -1,-1,2,2, dan w = 3,2,5,4
5. Bila P
2
menyatakan polinomial berorde dua, tentukan apakah himpunan vektor- vektor dalam P
2
berikut bebas linear? S={1 + 3x + 3x
2
, x + 4x
2
, 5 + 6x + 3x
2
, 7+ 2x - x
2
}
6. Tentukan apakah S={u
1
, u
2
, u
3
} merupakan basis di R
3
dengan u
1
=3, -1, 2 , u
2
=6, -2, 4, dan u
3
=5, 3, -1 Note :
Ketiga vektor berada pada bidang yang sama jhj : v
1
v
2
x v
3
= 0 Ketiga vektor berada pada garis yang sama jhj :
v
2
– v
1
= k v
3
– v
2
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
7. Tentukan koordinat vektor v relatif terhadap basis S = {v
1
, v
2
, v
3
} a. v = 2, -1, 3 , v
1
=1, 0, 0, v
2
= 2, 2, 0, v
3
= 3, 3, 3 b. v = 4
– 3x + x
2
, v
1
= 1, v
2
= x, v
3
= x
2
8.
Cari suatu basis untuk sub-ruang dari R
4
yang terentang oleh vektor-vektor v
1
=1, 1, -4,- 3, v
2
= 2, 0, 2, -2, v
3
= 2, -1, 3, 2 9.
Tentukan basis ruang baris, basis ruang kolom, dan basis ruang kosong dari A,
dengan A =
5 4
2 9
2 5
6 6
3 4
4 2
3 2
3 6
3 1
2 2
3 1
10. Tunjukkan bahwa rankA = rank A
T
untuk A berikut :
A =
8 7
5 3
2 1
2 1
1 1
4 1
2 3
9 6
5 4
1 Koordinat vektor v relatif terhadap basis S = {v
1
, v
2
, v
3
} adalah k
1
, k
2
, k
3
yang memenuhi : v = k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ k
3
v
3
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAB VI HASIL KALI DALAM
6.1 Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam dua buah vektor u dan v dengan notasi
u,v
pada bab IV, dan dalam bab VI ini Hasil Kali Dalam dinotasikan dalam
, Definisi I :
Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real
V
adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real
, dengan setiap pasangan vektor
u
dan
v
dalam
V
sedemikian hingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi oleh semua vektor
u
,
v
dan
w
dalam
V
serta semua skalar k : 1.
Aksioma kesimetrisan : ,
= , 2.
Aksioma penjumlahan : + ,
= , + ,
3. Aksioma kehomogenan :
, =
, 4.
Aksioma kepositifan : ,
dengan ,
= jika
u
=0 Suatu ruang vektor real dengan suatu hasil kali dalam disebut suatu ruang hasil kali dalam
real.
6.1.1 Ruang Hasil Kali Dalam Euclidean
