Sifat-Sifat Invers Jenis–Jenis Matriks

ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sedangkan matriks identitasnya: = [ ] Kemudian kita gandengkan matriks A dengan matriks I, sehingga menjadi: [ ] = [ ] matriks gandengan ini kita beri nama matriks � Kita lakukan operasi baris dasar sampai matriks menjadi matriks I � = [ ] ~ − [ − − ] ~ − [ − ] [ − ] ~ − [ − − ] Maka − = [− − ]

1.4.2 Sifat-Sifat Invers

1. Invers suatu matriks bersifat unik. Jika B dan C keduanya merupakan invers dari A maka B = C. 2. Suatu hasil kali berapapun banyaknya matriks yang bisa dibalik adalah matriks yang bisa dibalik, dan invers dari hasil kali tersebut adalah hasil kali invers – inversnya dalam ukuran terbalik. Jika A dan B matriks-matriks berukuran sama dan dapat dibalik, maka: a. AB dapat dibalik b. − = − − c. Jika = I ; = A. A. A. . . A n faktor, n 0. Jika A bisa dibalik, maka : − = − = − − … − n faktor. = + ; =

1.4.3 Jenis–Jenis Matriks

Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain: 1. Matriks Nol Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol. Misalnya, ALJABAR LINEAR ELEMENTER               , 2. Matriks Baris Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu baris, misalnya     6 2 3 5 , 7 1  3. Matriks kolom Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari satu kolom. Misalnya,                7 5 3 , 5 2 4. Matriks persegi dan matriks bujur sangkar Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks bujur sangkar, jika banyak baris pada matriks tersebut sama dengan banyak kolomnya. Misalnya,                    2 8 1 1 3 6 5 7 3 , 1 4 3 2 Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut.           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a Elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah a 11, a 22 dan a 33 sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah. Sebaliknya, elemen-elemen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini: a 11, a 22, a 33. 5. Matriks segitiga Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemen-elemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya salah satu, tidak kedua- ALJABAR LINEAR ELEMENTER duanya bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen- elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah. Misalnya,             4 3 4 2 1 5             3 2 4 1 5 7 Matriks segitiga bawah Matriks segitiga atas 6. Matriks Diagonal Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya,               1 2 4 4 1 7. Matriks Skalar Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen- elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya,               5 5 5 9 9 8. Matriks Identitas dan matriks satuan Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Misalnya,               1 1 1 1 1 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Metode untuk mencari matriks kebalikan adalah melalui operasi baris dasar matriks gandengan antara dan [ ]~ [ − ] Selain itu ada satu cara menentukan solusi SPL apabila matriks invertible, maka: = punya solusi tunggal yaitu = − Contoh: Tentukan solusi SPL berikut: + + = + − = − + + = Penyelesaian: Kita ubah Sistem Persamaan Linier di atas ke dalam bentuk matriks dan kita beri nama : = [ ] Sedangkan matriks identitasnya: = [ ] Kemudian gandengkan matriks dengan matriks dan kita beri nama matriks tersebut dengan K [ ] = [ ] ~ − − [ − − − − ] [ − − − − ] ~ [ − − − − ] [ − − − − ] ~ − [ − − − − ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER [ − − − − ] ~ − [ − − − − − ] [ − − − − − ] ~ − [ − − − − − ] Sehingga − = [ − − − − − ] Maka = − = [ − − − − − ] [ ] = [− − ] Jadi solusi untuk Sistem Persamaan Linier diatas adalah: = = − = −

1.5 Hasil-hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan

Teorema: Setiap sistem persamaan linier bisa tidak mempunyai penyelesaian, tepat satu penyelesaian, atau tak hingga banyaknya penyelesaian Teorema: Jika adalah suatu matriks × yang bisa dibalik , maka untuk setiap matriks b, × , sistem persamaan = tepat mempunyai satu penyelesaian yaitu = − Contoh: + + = + − = − + + = Jika sitem persamaan linier ini diubah ke dalam bentuk matriks maka: � = [ ] = [ ] = [ ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sedangkan matriks identitasnya: = [ ] Kemudian kita akan mencari invers dari matriks � dengan menggandengkan matriks tersebut dengan matriks identitasnya, kita beri nama matriks tersebut dengan matriks . [ ] = [ ] ~ − − [ − − − − ] [ − − − − ] ~ [ − − − − ] [ − − − − ] ~ − [ − − − − ] [ − − − − ] ~ − [ − − − − − ] [ − − − − − ] ~ − [ − − − − − ] Sehingga � − = [ − − − − − ] Maka = � − = [ − − − − − ] [ ] = [− − ] Jadi solusi untuk Sistem Persamaan Linier diatas adalah: = = − = − ALJABAR LINEAR ELEMENTER Latihan Soal – Soal 1. + + = + − = − + + = Pada sistem persamaan linier di atas tentukan nilai dan sehingga sistem persamaan linier memiliki: a. Solusi tunggal b. Banyak solusi c. Tidak ada solusi tidak konsisten 2. Selesaikan sistem berikut ini dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan + + = − − + = − + = 3. Bila = [ ] Tentukan jika: a. = + + b. = − 4. Diketahui matriks � = [ ℎ] buktikan bahwa = + ℎ − ℎ − × 5. Tentukan invers dari matriks , untuk = [ cos � sin � − sin � cos �] Penyelesaian 1. + + = + − = − + + = Penyelesaian: Kita ubah terlebih dahulu sitem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks. Sehingga menjadi: = [ − − ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER Kemudian matriks diatas kita reduksi. = [ − − ] ~ − [ − − − + ] [ − − − + ] ~ [ − − − + ] [ − − − + ] ~ [ ⁄ − − − + ⁄ ] [ ⁄ − − − + ⁄ ] ~ − [ − ⁄ ⁄ − − + ⁄ + ⁄ + ] a. Sistem Persamaan Linier tersebut memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika − ≠  ≠ b. Sistem Persamaan Linier tersebut memiliki banyak solusi jika dan hanya jika: − = dan + = = = − c. Sistem Persamaan Linier tersebut tidak mempunyai solusi jika dan hanya jika: − = dan + ≠ = ≠ − 2. + + = − − + = − + = Penyelesaian: Kita ubah terlebih dahulu sistem persamaan linier di atas ke dalam bentuk matriks � = [− − − ] ~ − [ − − − − ] ~ − [ − − − − − ] ~ − [ − − − − ] ~ − [ − − ] ~ − [ ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER 3. = [ ] Menentukan dari a. = + + b. = − Penyelesaian: a. = + + dimana = = + + = [ ] [ ] + [ ] + [ ] = [ ] + [ ] + [ ] = [ ] + [ ] = [ ] b. = − dimana = = − = [ ] − [ ] = [ ] − [ ] = [ ] 4. � = [ ℎ] Kita akan membuktikan bahwa: = + ℎ − ℎ − × Penyelesaian: = + ℎ − ℎ − × [ ℎ] [ ℎ] = + ℎ [ ℎ] − ℎ − [ ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER [ + + ℎ + ℎ + ℎ ] = [ + ℎ + ℎ + ℎ ℎ + ℎ ] − [ ℎ − ℎ − ] [ + + ℎ + ℎ + ℎ ] = [ + ℎ + ℎ + ℎ ℎ + ℎ ] − [ ℎ − ℎ − ] [ + + ℎ + ℎ + ℎ ] = [ + + ℎ + ℎ + ℎ ] Terbukti. 5. = [ cos � sin � − sin � cos �] Invers dari matriks adalah − = � − − � [ cos � − sin � sin � cos � ] − = � + � [ cos � − sin � sin � cos � ] = [ cos � − sin � sin � cos � ] = [ cos � − sin � sin � cos � ] ALJABAR LINEAR ELEMENTER Soal-Soal Latihan : Sistem Persamaan Linear 1. Reduksilah lakukan operasi baris dasar matriks berikut sehingga menjadi matriks eselon baris bentuk eselon dan kemudian menjadi matriks eselon baris tereduksi bentuk kanonik baris : a.           12 5 1 9 1 2 2 1 1 b.              7 7 3 6 3 3 2 1 4 2 1 2 1 2 1 c.             9 6 3 4 2 1 11 10 9 4 6 3 7 5 5 3 4 2 2 1 2 1 2 1 d.             10 7 2 6 4 12 8 3 3 2 1 2. Jika ada tentukan solusi SPL-SPL berikut: a. 2 3 3 5 4 1 2 3        y x y x y x d. 10 8 3 3 3 2 2 3          z y x z y x z y x g. 2 9 6 4 5 4 2 5 3 3 5 4 2             t z y x t z y x t z y x b. 9 4 2 4 2     y x y x e. 5 13 4 2 2 2          z y x z y x z y x h. 8 8 3 6 5 6 2 4 2 4 2          z y x z y x z y x c. 3 2 7 1 2 2 2 5          z y x z y x z y x f. 4 2 5 4 3 5 6 8 5 2 2 2 3 2             t z y x t z y x t z y x i. 10 8 6 3 9 3 4 4 2 3 3 2             t z y x t z y x t z y x 3. Tentukan nilai a dan b agar SPL berikut mempunyai: i satu solusi ii tak ada solusi iii banyak solusi a. 5 1 2     by ax y x b. 5 2 1      y ax by x c. 3 1      ay x by x d. b z y x az y x y x          5 4 3 5 3 2 4 3z 2 4. Perhatikan SPL berikut: a. b z y az y x y x        4 a 1 1 2 b. b az y x z ay x y x          11 3 3 1 2z 2 c. b z y ax z ay x y x          4 1 az ALJABAR LINEAR ELEMENTER Untuk setiap a nilai berapakah setiap sistem mempunyai solusi unik, dan untuk pasangan nilai a, b berapakah setiap sistem memiliki lebih dari satu solusi? 5. Jika   2   ,   2   , dan     maka tentukan nilai    , , dari sistem persamaan tak linear berikut : 9 tan cos 3 sin 6 2 tan 2 cos 2 sin 4 3 tan 3 cos sin 2                   6. Tentukan nilai x , y , dan z dari sistem persamaan tak linear berikut: 3 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2          z y x z y x z y x 7 . Tentukan syarat yang harus dipenuhi b agar SPL konsisten : 3 2 1 3 3 3 8z 5 4 5 2 b z y x b y x b z y x            8 . Bila      1 2 1 3 A , Tentukan pA jika : i 2   x x p ; ii 1 2 2    x x x p ALJABAR LINEAR ELEMENTER

BAB II DETERMINAN

2.1 Fungsi Determinan

Fungsi determinan merupakan suatu fungsi bernilai real dari suatu peubah matriks. Fungsi determinan dinyatakan dengan det. Misalnya A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka fungsi determinan dari matriks A dapat dinyatakan dengan detA. Terdapat beberapa konsep-konsep yang perlu dipahami dalam menentukan determinan suatu matriks segi, meliputi :

2.1.1 Permutasi