Pengenalan Teori Elastisitas Keadaan tegangan pada benda elastis

2.2 Pengenalan Teori Elastisitas

Teori elastisitas merupakan cabang yang penting dari fisika matematis, yang mengkaji hubungan antara gaya, perpindahan, tegangan, dan regangan dalam benda elastis. Bila suatu benda pejal dibebani oleh gaya luar benda tersebut akan berubah bentukberdeformasi Gambar 2.2, sehingga timbul tegangan dan regangan dalam. Perubahan bentuk ini tergantung pada konfigurasi geometris dari benda tersebut dan pada sifat mekanis bahannya. Dalam teori elastisitas, pembahasan hanya dibatasi hanya pada bahan elastis linear, yaitu keadaan dimana hubungan antara tegangan dan regangan bersifat linear, dan perubahan bentuk serta tegangan akan hilang bila gaya luar dihilangkan. Selain itu teori elastiitas klasik menganggap bahan bersifat homogen dan isotropik, dengan demikian, sifat mekanis bahan sama dalam segala arah. Walaupun bahan-bahan struktural tidak tepat memenuhi semua anggapan ini, pengujian menunjukkan bahwa untuk sruktur baja, misalnya, teori elstisitas memberikan hasil dengan ketetapan yang tinggi, asal tegangannya masih berada dibawah titik leleh yield point. Teori pelat klasik yang merumuskan dan menyelesaikan masalah pelat berdasarkan analisis matematis yang eksak, merupakan penerapan khusus yang penting dari elastis. Oleh karena itu, pengertian menyeluruh tentang konsep dasarnya,notasi, denfinisi, dan lainnya, sangat penting. Tujuan dari bagian ini ialah mengenalkan dasar dalam bentuk yang ringkas. Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:14 Gambar 2.2. Respon suatu benda elastis terhadap gaya luar. Universitas Sumatera Utara

a. Keadaan tegangan pada benda elastis

Dalam statika benda tegar rigid body, disini akan dikaji gaya luar yang bekerja pada suatu benda tidak meinjau perubahan bentuk yang timbul. Sebaliknya, dalam teori elastisitas, ditinjau perubahan bentuk akibat gaya luar. Melalui perubahan bentuk pada benda tersebut, gaya-gaya luar dikonversi menjadi gaya-gaya dalam. Kita mulai dengan meninjau suatu benda elsatis dengan bentuk sembarang dalam system koordinat cartesius X, Y, Z, yang memikul gaya luar yang berada dalam keseimbangan. Untuk menentukan gaya dalam yang timbul di antara partikel- partikel benda tersebut, kita bayangkan benda tersebut dipenggal menjadi dua bagian oleh suatu bidang, seperti pada Gambar 2.3a. Jika sekarang kita bayangkan bahwa bagian B dihilangan, keseimbangan benda tersebut harus dipertahankan oleh gaya- gaya luar yang bekerja pada permukaan penampangnya. Marilah kita ambil suatu luas ∆ A yang kecil pada penampang tersebut dan kita nyatakan gaya dalam yang bekarja pada luas ini sebagai ∆ P Gambar 2.3b. perbandingan ∆ P∆A adalah tegangan rata rata, yang didefinisikan sebagai limit dari perbandingan; jadi Tegangan = A P P A ∆ ∆ = → ∆ lim gaya per satuan luas 2.1 Karena ∆ P ummnya tidak tegak lurus penampang, kita lebih mudah menggunakan komponen normal tegak lurus dan tangensialnya sebidang. Dengan demikian definisi tegangan normal σ dan tegangan geser τ Gambar 2.3b adalah A P n A ∆ ∆ = → ∆ lim σ dan A P t A ∆ ∆ = → ∆ lim τ 2.2 Universitas Sumatera Utara Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:14 Gambar 2.3. Metode Irisan Perlu diperhatikan bahwa tegangan pada suatu bidang adalah vektor tegangan. Resultan tegangan dengan mudah dapat dicari dengan penjumlahan vektor dari komponen-komponennya. Keadaan tegangan pada benda elastis biasanya bervariasi dari satu titik ke titik lainnya; jadi, kita dapat tuliskan σx,y,z dan τx,y,z. Untuk menggambarkan keadaan tegangan tiga-dimensi, kita ambil suatu elemen yang kecil dalam bentuk kontak dx dy dz yang mukanya sejajar dengan bidang koordinat, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.4. Komponen tegangan normal X, Y, dan Z, masing-masing diberi notasi σ x, σ y, dan σ z . Subskribnya subscripthuruf bawah menunjukkan garis normal tegak lurus permukaan tempat vector tegangan tersebut bekerja. Tegangan geser τ biasanya memiliki dua subskrib. Subskrib pertama menunjukkan arah garis normal permukaan, sedang subskrib kedua menunjukkan arah arah vektor tegangan τ . Karena tegangan merupakan fungsi dari Universitas Sumatera Utara [ ]           = y zy zx yz y yx xz xy x σ τ τ τ σ τ τ τ σ σ letaknya pada suatu benda, intensitasnya akan berubah bila bidang rujuknya digerakkan sejauh dx, dy, dz. Pertambahan yang timbul dinyatakan oleh dua suku pertama dari deret Taylor Gambar 2.4 Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:15 Gambar 2.4. Elemen tiga dimensi Perjanjian tanda berikut akan digunakan dalam pembahasan berikutnya. Pada bidang dekat suatu elemen dipandang dari ujung-ujung sumbu koordinat positif dianggap positif. Pada bidang jauh suatu elemen, semua tegangan yang bekerja pada arah sumbuh koordinat negatif dianggap positif. Perjanjian tanda ini mengikuti aturan umum yang dipakai dalam praktek bidang teknik; yakni, tarikan bertanda positif dan tekanan bertanda negatif. Keadaan tegangan tiga-dimensi di sembarang titik benda elastis ditentukan oleh sembilan komponen tensor tegangan dengan matriks 2.3 yang simetris terhadap diagonal utama. Dimana Tensor adalah besaran yang memiliki arti fisik yang memenuhi hukum transformasi tertentu. Hukum transformasi Universitas Sumatera Utara yx xy τ τ = zx xz τ τ = zy yz τ τ = ini dalam teori elastis adalah rotasi sumbu. Tensor orde dua dinyatakan dalam bentuk Szilard,1989:15. Karena sifat simetris ini, dan 2.4 Dalam beberapa literatur, Persaman 2.1 disebut hukum timbale-balik tegangan geser dan mudah dibuktikan dengan mengambil momen dari tegangan-tegangan terhadap sumbu koordinat. Sementara keadaan tegangan dalam pelat yang tebal bersifat tiga-dimensi, pelat tipis yang memiliki ketegangan lentur yang mempunyai keadaan tiga-dimensi yang tidak sempurna; yakni, semua komponen tegagan permukaan yang sejajar bidang XY sama dengan nol. Dalam analisis pelat elastis, keadaan tegangan dua-dimensi berperan penting. Pada keadaan ini, σ z = τ yz = τ xz = 0; dengan demikian, matriks tensor tegangan yang bersangkutan menjadi [ ]     = z x σ τ τ σ σ 2.5 dimana τ = τ xy = τ yz . Misalkan komponen tegangan σ x , σ y , dan τ = τ xy = τ yx pada suatu elemen dua dimensi Gambar 2.5 dalam system koordinat kartesius diketahui. Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:16 Gambar 2.5. Rotasi elemen dua dimensi Universitas Sumatera Utara Dengan demikian, kedua arah tegak lurus [1], [2] bidang-bidsang dimana tegangan geser sama dengan nol τ = 0 dan tegangan normal σ memiliki nilai ekstrim yang dapat ditentukan dari jadi 2.6 Arah-arah ini disebut arah utama principal direction. Tegangan normal maksimum dan minimum yang bekerja pada bidang ini disebut tegangan utama σ 1 , σ 2 dan dapat dihitung sebagai 2.7a dengan cara yang sama, tegangan geser maksimum adalah 2.7b Variasi komponen tegangan bila sudut α berubah-ubah dapat ditentukan dari 2.8 Persamaan untuk menentukan tegangan tegangan utama [Persamaan 2.6 dan 2.7], dan juga persamaan tranformasi tegangan dua-dimensi [Persamaan 2.8] dapat diturunkan dan dinyatakan secara grafis dalam lingkaran Mohr Gambar 2.6. Oleh karena momen dalam yang bekerja pada elemen pelat merupakan vector momen yang diperoleh dari komponen tegangan σ x , σ y , dan τ, momen yang bekerja pada bidang yang miring, dengan garis normal n Gambar 2.7, dapat ditentukan dengan cara yang sama. Jadi, kita dapat tuliskan ; 2 2 tan y x σ σ τ α − = y x σ σ τ α − = − 2 tan 2 1 1 2 2 2 , 1 2 2 τ σ σ σ σ σ +     − + + = y x y x 2 2 2 1 2 2 1 τ σ σ σ σ τ +     − = − = y x maks α τ α σ σ σ σ σ 2 sin 2 cos 2 2 + − + + = y x y x x α σ σ α τ τ 2 sin 2 2 cos y x − = Universitas Sumatera Utara Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:17 Gambar 2.6 Lingkaran Mohr untuk tegangan dan 2.9 α α α 2 sin sin cos 2 2 yx y x n m m m m + + = α α 2 sin 2 cos 2 2 yx y x y x m m m m m + − + + = α α 2 sin 2 2 cos y x xy nt m m m m − − = Universitas Sumatera Utara Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:17 Gambar 2.7. Komponen-komponen momen pada bidang miring dalam suatu elemen pelat Momen-momen utama yang menyatakan nilai ekstrim juga dapat ditentukan dari lingkaran mohr, 2.10 Sudut α yang berkaitan dengan letak momen lentur maxmum dan minimum dapat juga dihitug dari persamaan yang serupa dengan persamaan 2.6: 2.11

b. Regangan dan perpindahan