y x
w z
xy
∂ ∂
∂ −
= +
=
2
2 γ
γ γ
2.42 Perubahan kelengkungan pada bidang pusat yang melendut didefenisikan sebagai
,
2 2
x w
k
x
∂ ∂
− =
,
2 2
y w
k
y
∂ ∂
− =
dan y
y w
∂ ∂
∂ =
2
χ 2.43
Dimana χ menyatakan pemilinan warping pelat.
d.Gaya dalam yang dinyatakan dalam w
Komponen tegangan
x
σ dan
y
σ gambar 2.12 menimbulkan momen lentur pada elemen pelat dengan cara yang sama seperti pada teori balok dasar. Jadi, dengan
mengintegrasikan komponen tegangan normal, kita peroleh momen lentur yang bekerja pada elemen pelat:
∫
+ −
=
2 2
k k
x x
zdz M
σ dan 2.44
∫
+ −
=
2 2
k k
y y
zdz M
σ 2.44
Demikian pula,momen puntir akibat tegangan geser
yx xy
τ τ
τ
= =
dapat dihitung dari
∫
+ −
=
2 2
k k
xy xy
zdz M
τ dan
∫
+ −
=
2 2
k k
yx yx
zdz M
τ 2.45
Namun τ
τ τ
= =
yx xy
sehingga
.
yx xy
M M
=
Jika persamaan 2.38 dan 2.39 disubtitusikan ke dalam persamaan 2.33 dan 2.34 ,tegangan normal
x
σ dan
y
σ bisa dinyatakan dalam lendutan lateral w .Jadi,dapat ditulis sebagai
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
2 2
2 2
2
1 y
w v
x w
v Ez
x
σ 2.46
Dan
Universitas Sumatera Utara
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
2 2
2 2
2
1 x
w v
y w
v Ez
y
σ 2.47
Integrasi persamaan 2.44 , setelah substitusi persamaan di atas
x
σ dan
y
σ , menghasilkan
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
2 2
2 2
2 3
1 12
y w
v x
w v
Eh M
x
y x
vk k
D y
w v
x w
D +
=
∂
∂ +
∂ ∂
− =
2 2
2 2
2.48
Dan
x y
y
vk k
D x
w v
y w
D M
+ =
∂ ∂
+ ∂
∂ −
− =
2 2
2 2
2.49
Di mana
2 3
1 12
v Eh
D −
= 2.50
Menyatakan ketegaran lenturkekakuan pelat flextural rigidity pelat. Dengan cara yang sama,kita peroleh persamaan momen puntir dalam lendutan lateral:
dz z
y x
w G
z zd
M M
h h
h h
yx xy
2 2
2 2
2 2
2
∫ ∫
+ −
+ −
∂ ∂
∂ −
= =
=
τ
χ 1
1
2
v D
y x
w v
D −
= ∂
∂ ∂
− −
= 2.51
Jika persamaan 2.48 , 2.49 dan 2.51 disubstitusikan ke persamaan 2.31 akan menghasilkan persamaan differensial penentu untuk pelat yang memikul beban
lateral :
Universitas Sumatera Utara
D q
y w
y x
w x
w =
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂
4 4
2 2
4 4
4
2 2.52
Persamaan ini merupakan persamaan differensial parsial takhomogen,berorde-empat yang termasuk jenis eliptis dengan koefesien konstan,
yang sering kali disebut persamaan biharmonis takhalogen szilard, 1989:31.Persamaan 2.52 bersifat linear karena turunan dari
w tidak memiliki eksponen yang lebih besar dari satu.
Selanjutnya, merumuskan gaya geser transversal dalam lendutan lateral. Persamaan 2.48 dan, 2.49, dan 2.51 disubstitusi ke persamaan 2.27 dan 2.28
menghasilkan
∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
− =
∂ ∂
+ ∂
∂ =
2 2
2 2
y w
x w
x D
y M
x M
Q
yx x
x
2.53
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂ −
= ∂
∂ +
∂ ∂
=
2 2
2 2
y w
x w
y D
x M
y M
Q
xy y
y
2.54
2.4 Kondisi Tepi Menurut Teori Lentur
