D q
y w
y x
w x
w =
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂
4 4
2 2
4 4
4
2 2.52
Persamaan ini merupakan persamaan differensial parsial takhomogen,berorde-empat yang termasuk jenis eliptis dengan koefesien konstan,
yang sering kali disebut persamaan biharmonis takhalogen szilard, 1989:31.Persamaan 2.52 bersifat linear karena turunan dari
w tidak memiliki eksponen yang lebih besar dari satu.
Selanjutnya, merumuskan gaya geser transversal dalam lendutan lateral. Persamaan 2.48 dan, 2.49, dan 2.51 disubstitusi ke persamaan 2.27 dan 2.28
menghasilkan
∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
− =
∂ ∂
+ ∂
∂ =
2 2
2 2
y w
x w
x D
y M
x M
Q
yx x
x
2.53
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
∂ −
= ∂
∂ +
∂ ∂
=
2 2
2 2
y w
x w
y D
x M
y M
Q
xy y
y
2.54
2.4 Kondisi Tepi Menurut Teori Lentur
Penyelesaian eksak untuk persamaan pelat persamaan 2.52 harus juga memenuhi persamaan differensial tersebut dalam kondisi tepi syarat batas masalah
pelat tertentu.karena persamaan 2.52 merupakan persamaan differensial berorde – empat, dua kondisi tepi, baik untuk perpindahan ataupun untuk gaya-gaya dalam,
diperlukan setiap tepi. Dalam teori lentur pelat, ada tiga komponen gaya dalam yang harus ditinjau: momen lentur, momen puntir dan gaya geser transversal. Demikian
pula, komponen perpindahan yang harus dipakai dalam perumusan kondisi tepi adalah lendutan lateral dan kemiringan putaran sudut . Kondisi tepi pelat yang
mengalami lentur umumnya dapat digolongkan sebagai salah satu dari kondisi
Universitas Sumatera Utara
tersebut. Adapun kondisi tepi yang digunakan dalam pembahasan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :
a. Kondisi tepi geometris jepit . Kondisi geometris tertentu yang diperoleh
berdasarkan besarnya perpindahan translasi dan rotasi dapat digunakan untuk merumuskan kondisi tepi dalan bentuk matematis.Misalnya, lendutan
dan kemiringan permukaan pelat yang melendut di tepi jepit gambar 2.15a sama dengan nol, jadi, dapat dituliskan
, =
x
w =
∂ ∂
x
x w
= x
atau a
x =
Dan 2.55
, =
y
w
=
∂
∂
y
y w
= y
atau
b y
=
Kondisi tepi seperti ini disebut kondisi tepi geometris b.
Kondisi tepi statis tepi bebas . Untuk kondisi tepi statis, gaya-gaya tepi memberikan persamaan matematis yang diperlukan. Misalnya, di tepi bebas
suatu pelat yang tidak dibebani gambar 2.15b , kita dapat katakan bahwa momen dan gaya geser transversal V di tepi tersebut sama dengan nol;
jadi,
Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:33
Gambar 2.15. Berbagai kondisi tepi
Universitas Sumatera Utara
= =
x x
x x
V M
di
, ,
0 a x
=
Atau 2.56 =
=
y y
y y
V M
di
, ,
0 b x
=
Gaya geser di tepi pelat terdiri dari dua suku,yaitu gaya geser transversal dan pengaruh momen puntir. Dengan memperhatikan tepi-tepi pelat yang memiliki garis
normal dalam arah
X
dan
Y
, gaya tepi per satuan panjang diperoleh sebagai
∂
∂ ∂
− +
∂ ∂
− =
∂ ∂
=
2 3
3 3
2 y
x w
v x
w D
y M
Q V
xy x
x
2.57
∂
∂ ∂
− +
∂ ∂
− =
∂ ∂
= y
x w
v y
w D
y M
Q V
yx y
y 2
3 3
3
2
Dimana
x
Q dan
y
Q
adalah gaya geser lateral persamaan 2.53 dan 2.54 .Suku kedua
y m
xy
∂ ∂
dan
y m
yx
∂ ∂
dalam persamaan 2.57 menyatakan gaya geser tambahan di tepi tersebut yang diakibatkan oleh momen puntir
yx xy
M M
=
.Dengan mengganti momen puntir dengan kopel ekivalen secara statis
dy dy
M
xy
dan
dx dx
M
yx
gambar 2.16 ,gaya-gaya ini saling menghapus di elemen elemen yang bersebelahan,kecuali bagian pertambahannya:
dy y
M
xy
∂ ∂
dan dx
x M
yx
∂ ∂
Dengan membagi persamaan ini masing-masing dengan
dy
dan dx ,kita peroleh gaya geser tambahan persatuan panjang :
y M
Q
xy x
∂ ∂
= dan
x M
Q
yx y
∂ ∂
=
Gaya ini disebut gaya tambahan Kirchhoff Kirchhoff Ersatzkrafte
Universitas Sumatera Utara
Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:34
Gambar 2.16. Pengaruh tepi dari momen puntir Dengan mengganti momen puntir dengan gaya geser ekivalen ini, Kirchhoff
mengurangi jumlah gaya dalam yang harus ditinjau,yakni dari tiga menjadi dua.Dengan demikian,dari persamaan 2.48 ,dan 2.49 , dan 2.56 , dan 2.57
Kondisi tepi bebas adalah :
2 2
2 2
=
∂
∂ +
∂ ∂
x
y w
v x
w ,
2
2 3
3 3
=
∂
∂ ∂
− +
∂ ∂
x
y x
w v
x w
2.58
Dan
,
2 2
2 2
=
∂
∂ +
∂ ∂
y
x w
v y
w 2
2 3
3 3
=
∂
∂ ∂
− +
∂ ∂
y
y x
w v
y w
2.59
c. Kondisi tepi sederhana.Tepi yang bertumpuan sederhana gambar 2.15c
Menghasilkan kondisi tepi campuran. Karena lendutan dan momen lentur di sepanjang tepi ini melibatkan persamaan yang berkaitan dengan perpindahan
dan gaya. Jadi, ,
=
x
w
2 2
2 2
=
∂
∂ +
∂ ∂
=
x x
x
y w
v x
w M
Universitas Sumatera Utara
Dan 2.60
, =
y
w
2 2
2 2
=
∂
∂ +
∂ ∂
=
y y
y
x w
v y
w M
2.5 Deret Fourier dalam Penyelesaian Persamaan Differensial Pelat
