Dan 2.60
, =
y
w
2 2
2 2
=
∂
∂ +
∂ ∂
=
y y
y
x w
v y
w M
2.5 Deret Fourier dalam Penyelesaian Persamaan Differensial Pelat
Deret Fourier merupakan alat yang ampuh untuk mendapatkan penyelesaian analitis dari banyak masalah dalam bidang mekanika terapan applied mechanics ,
seperti penyelesaian persamaan differensial parsial pada teori elastisitas, getaran, liran panas, transmisi listrik, dan gelombang elektromagnetik. Begitu pula analisa
pelat yang akan dibahas kemudian, yaitu metode M.Levy. Perluasan deret Fourier menghasilkan integral Fourier dan transformasi Fourier.Walaupun metode terahkir
dianggap alat yang canggih untuk analisis tingkat tinggi, kita tidak akan menggunakannya disini untuk menyelesaikan masalah pelat agar tidak melampaui
tujuan tulisan ini sebagai pengenalan. Untuk penyelesaian persamaan differensial dari persamaan yang digunakan
dalam penurunan rumus untuk metode M.Levy, disini hanya digunakan deret Fourier tunggal untuk mendapatkan penyelesaian analitisnya.
Dalil fourier menyatakan bahwa suatu fungsi sembarang
x f
y =
dapat dinyatakan dengan deret tak-hingga yang terdiri dari suku sinus dan
kosinus.jadi,fungsi semula dapat diganti dengan superposisi sejumlah gelombang sinus dan kosinus.Jika
x f
adalah fungsi periodik,dalil Fourier menyatakan bahwa
... 2
cos ...
4 cos
2 cos
2 1
2 1
+ +
+ +
= T
x n
A T
x A
T x
A A
x f
n
π π
π
... 2
sin ...
4 sin
2 sin
2 1
+ +
+ +
T x
n B
T x
B T
x B
n
π π
π 2.61
Atau dalam bentuk yang ringkas,
Universitas Sumatera Utara
x n
x n
A A
x f
n
ω ω
sin cos
2 1
1 1
∑ ∑
∞ ∞
+ +
=
2.62 Dimana
, ,
n
A A
dan ,...
3 ,
2 ,
1 =
n B
n
adalah koefesien ekspansi Fourier; ω adalah
T
π ω
2 =
2.63 Serta
T
adalah periode fungsi yang ditinjau gambar 2.17
Gambar 2.17. Fungsi periodik sembarang
Persamaan 2.62 berlaku untuk sembarang fungsi periodik beraturan yang terdiri dari sejumlah segmen piecewise , yang boleh memiliki
diskontinuitas.persamaan ini menyatakan fungsi periodic sembarang
x f
dalam seluruh jangkauan dari
−∞ =
x sampai
+∞ =
x
, sehingga disebut ekspansi dengan jangkauan penuh full-range expansion.
Koefesien ,
,
n
A A
dan
n
B dihitung sebagai
dx x
f T
A
T
∫
= 2
2.64
∫
=
T n
x n
x f
T A
cos 2
ω dx 2.65
Dan
Universitas Sumatera Utara
∫
=
T n
x n
x f
T B
sin 2
ω dx,
,... 5
, 3
, 1
= n
2.66
Gambar 2.18. Analisis Harmonis Bila bentuk analitis dari fungsi
x f
tidak diketahui atau terlalu rumit untuk diintegrasi,kita dapat memanfatkan analitis harmonis yang mengganti integral
dengan penjumlahan.dengan membagi periode
T
menjadi interval-interval yang sama sebesar 2
m lihat gambar 2.18 ,koefesien Fourier bisa ditentukan sebagai
∑
− =
=
1 2
1
m k
k
y m
A
2.67
∑
− =
=
1 2
cos 1
m k
k n
m kn
y m
A
π 2.68
Dan
, sin
1
1 2
m kn
y m
B
m k
k n
π
∑
− =
=
2.69
m k
2 ,...,
2 ,
1 ,
=
dan
m n
,..., 3
, 2
, 1
=
Metode pendekatan lainnya untuk menghitung konstanta ekspansi Fourier ialah dengan menggambarkan kurva
x f
,
x f
T x
2 cos
π dan
T x
2 sin
π dan
menetukan luas masing-masing kurva dengan planimeter alat pengukur luas .
Universitas Sumatera Utara
Jika suatu fungsi periodic,fungsi tersebut dapat dibuat periodik dengan meneruskan fungsi secara sembarang keluar intervalnya.penerusan sembarang ini
dapat berupa harmonis gelap, harmonis ganjil gambar 2.19 , atau genap ganjil gambar 2.20. Karena dalam banyak hal tujuan kita adalah menyatakan fungsi
x f
hanya pada panjang tertentu L, kita lebih mudah memakai ekspansi setengah- jangkauan half-range expansion dengan pengulangan interval T=2L dan dengan
mengambail titik awal swbagai pusatnya, seperti diperlihatkan pada gambar 2.20. Misalkan kita hendak menyatakan fungsi
x f
hanya dalam suku kosinus. untuk itu, kita tambahkan secara sembarang suatu fugsi genap dalam
x pada fugsi tak- periodik semula gambar 2.20a , sehingga hubungan
Gambar 2.19. Harmonisasi ganjil a ,harmonisasi genap b
Universitas Sumatera Utara
x f
x f
− =
2.70 berlaku;jadi suku sinus, dalam persamaan 2.62 menghilang selama
integrasi.demikian pula, dengan membuat fungsi ganjil gambar 2.20b sehingga hubungan
x f
x f
− −
=
2.71 Berlaku,suku sinus akan hilang dalam integrasi dan akan diperoleh deret
trigonometris sinus dengan cara ekspansi deret Fourier setengah-jangkauan.car terahkir, karena deret ini mengandung konstanta
[
A sebenarnya merupakan suku
kosinus menurut persamaan 2.64 dan 2.65
]
dan dapat menyatakan kondisi tepi geometris bagi tumpuan sederhana, akan sering digunakan dalam penyelesaian
masalah nilai tepi yang sesuai.
Gambar 2.20. Fungsi genap a ,fungsi ganjil b
Universitas Sumatera Utara
Contoh ekspansi deret Tunggal Szilard,1989:47 .
Kita dapat mengekspansikan fungsi pada gambar 2.21 menjadi deret Fourier dengan tiga 3 cara :
Gambar 2.21. Fungsi yang akan diekspansikan menjadi deret Fourier
1. Ekspansi jangkauan-penuh,yang mengandung konstanta serta suku sinus dan
kosinus. 2.
Ekspansi setengah-jangkauan,yang hanya mengandung suku sinus. 3.
Ekspansi setengah-jangkauan,yang hanya mengandung suku kosinus
1 Untuk ekspansi jangkauan-penuh
Periode ekspansi adalah 2x
T =
. Suku konstan diperoleh dari persamaan 2.64:
∫
= =
2
1
x
f dx
x f
x A
2.72 Dan persamaan 2.65
, cos
1
2
∫
= =
x n
dx x
x n
x f
x A
π
... 3
, 2
, 1
= n
2.73 Koefesien suku sinus kemudian ditentukan dengan persamaan 2.66
Universitas Sumatera Utara
∫
=
2
sin 1
x n
dx x
x n
x f
x B
π
1 cos
sin −
− =
+ =
∫
π π
π
n n
f dx
x x
n x
f x
f
x
2.74 Sehingga diperoleh
π
n f
B
n
2 =
untuk
,.... 5
, 3
, 1
= n
2.75 ,
=
n
B untuk
,.... 5
, 3
, 1
= n
Nilai-nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan 2.62 , menghasilkan ekspansi deret Fourier penuh
+ +
+ +
= ...
5 sin
5 1
3 sin
3 1
sin 2
2 1
x x
x x
x x
f f
x f
π π
π π
2.76 Gambar 2.22a menunjukan kurva tiga suku pertama dari persamaan 2.7.6
Sumber : Teori dan Analisis Pelat Szilard, 1989:48
Gambar 2.22. Grafik ekspansi deret Fourier
Universitas Sumatera Utara
2. Berikutnya kita ubah fungsi yang sama gambar 2.21 menjadi deret
trigonometris yang hanya mengandung suku sinus.untuk itu, digunakan ekspansi setengah-jangkauan dengan periode
4x T
= . Kemudian, fungsi ini
secara sembarang diperpanjang melampaui titik pusat sehingga diperoleh fungsi ganjil gambar 2.20b . Karena fungsi dalam integral
x f
dan
x n
x f
ω
cos .
merupakan fungsi ganjil,persamaan 2.64 dan 2.65 menghasilkan
= =
n
A A
.namun,
sin x
F x
n x
f =
ω adalah fungsi
genap, dan untuk fungsi genap.
∫ ∫
=
T L
dx x
F dx
x F
, 2
2.77 Dimana
L T
2 =
.Dengan demikian,persamaan 2.66 menjadi
∫
=
L n
dx L
x n
x f
L B
, sin
2
π 2.78
Nilai-nilai untuk contoh ini kita subtitusikan ke persamaan 2.78 ,kita peroleh
2 sin
1 2
sin 2
2
2
+ =
=
∫ ∫
dx x
x n
f x
dx x
x n
x f
x B
x x
n
π π
− −
=
−
= 1
2 cos
2 2
cos 2
π π
π π
n n
f x
x n
n x
x f
x
2.79
Untuk berbagai nilai n, kita peroleh ,
2 π
n f
B
n
= untuk n
,... 5
, 3
, 1
=
, 4
π
n f
B
n
=
untuk n
,... 10
, 6
, 2
=
, =
n
B untuk n
,... 10
, 6
, 2
=
Universitas Sumatera Utara
= =
= =
= =
, 4,6,12,...
n untuk
, B
, 2,6,10,...
n untuk
, n
4f B
1,3,5,..., n
untuk ,
n 2f
B
n n
n
π π
2.80
Dari nilai-nilai diatas dan persamaan 2.62 ,kita peroleh
∑
∞
=
1
sin x
n B
x f
n
ω
+ +
+ +
= ...
2 5
sin 5
1 2
3 sin
3 1
sin 2
sin 2
x x
x x
x x
x x
f π
π π
π π
2.81
Grafik penjumlahan berbagai suku-suku ini ditunjukan pada gambar 2.22b.
3. Selanjutnya,kita ekspansikan fungsi yang sama gambar 2.21 ke deret
trigonometris yang hanya mengandung suku kosinus. Kembali, kita akan gunakan ekspansi setengah-jangkauan dengan periode
4 2
x L
T =
= . Akan
tetapi, untuk kasus ini, perpanjangan sembarang yang melampaui titik awal akan menghasilkan suatu fungsi genap seperti yang diperlihatkan pada
gambar 2.20b. Sekarang, fungsi dalam integral
x f
dan
x n
x f
ω
cos
dalam persamaan 2.64 dan 2.65 merupakan fungsi genap, sedang
x n
x f
ω
sin
dalam persamaan 2.66 adalah fungsi ganjil. jadi, kita simpulkan bahwa ,
=
n
B dan dari persamaan 2.64 dan 2.65 , diperoleh
∫
=
L
dx x
f L
A 2
dan
. cos
2
∫
=
L n
dx L
x n
x f
L A
π 2.82
Dengan demikian,ekspansi Fourier untuk sembarang fungsi genap berperiose 2L dapat dituliskan sebagai
Universitas Sumatera Utara
∑
∞
+ =
1
. cos
2 1
L x
n A
A x
f
n
π 2.83
Penyelesaian untuk koefesien-koefesien menghasilkan
[ ]
∫
= =
=
x x
f x
x f
dx x
f A
2.84 Dan
∫
= +
= 2
sin 2
2 cos
1
x x
n
x x
n n
x x
f dx
x x
n f
x A
π π
π 2.85
− =
2 sin
2
π π
n n
f
, Untuk berbagai nilai n,kita peroleh
= −
= =
= =
=
, 3,7,11,...
n untuk
, n
2f A
2,4,6,..., n
untuk ,
A 1,5,9,...,
n untuk
, n
2f A
n n
n
π π
2.86
Subtitusi nilai-nilai ke persamaan 2.83 menghasilkan
x f
+ +
− +
= ...
2 5
cos 5
1 2
3 cos
3 1
2 cos
2 2
x x
x x
x x
f f
π π
π π
2.87
Penjumlahan kurva berbagai suku ini ditunjukan pada gambar 2.22c.
Universitas Sumatera Utara
x
y
BAB III ANALISA PELAT PERSEGI PANJANG
