Model Regresi Linier Sederhana

2. Metode Kuadrat Terkecil

Misalkan n i y x i i ,..., 2 , 1 , , = data sampel dan akan ditentukan koefisien regresi β dan 1 β sedemikian hingga meminimumkan ∑ ∑ ∑ = = = − − = − = = n i i i n i i i n i i x y y y S 1 2 1 2 1 1 2 ˆ β β ε 2.14 Jumlah kuadrat galat minimum diperoleh dengan menurunkan secara parsial terhadap β dan 1 β yaitu = ∂ ∂ β S dan 1 = ∂ ∂ β S Turunkan terhadap β , maka diperoleh 1 2 1 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − ∂ = ∂ ∂ ∑ = β β β β n i i i x y S ∑ − = − − − n i i i x b b y 1 1 2 2 1 1 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ∑ ∑ ∑ = = = n i n i n i i i x b b y 1 1 1 = − − ∑ ∑ = = n i n i i i x b nb y ∑ ∑ = = = + n i n i i i y x b nb 1 1 1 2.15 Turunkan terhadap 1 β , maka diperoleh 1 1 2 1 1 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − ∂ = ∂ ∂ ∑ = β β β β n i i i x y S PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2 1 = − − − ∑ i i i x x b b y 2 1 1 1 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ∑ ∑ ∑ = = = n i n i n i i i i i x b x b y x ∑ ∑ ∑ = = = = − − n i n i n i x b x b xy 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ = = = = + n i i i n i i n i i y x x b x b 1 1 2 1 1 2.16 Bila dinyatakan dalam n x x n i i ∑ = = 1 dan n y y n i i ∑ = = 1 maka persamaan 2.15 dan 2.16 akan diperoleh x b y n x b n y b n i i n i i 1 1 1 1 − = − = ∑ ∑ = = 2.17 ∑ ∑ ∑ = = = = − − n i n i i n i i i i x b x b x y 1 1 2 1 1 2 1 1 = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i i x b x n x b n y x y 2 1 1 = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i i i x b n x x b n x y x y 2 1 1 = − + − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i i i x b n x x b n x y x y 2 2 1 = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n x x b n x y x y i i i i i i n x x n x y x y b i i i i i i 2 2 1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − = 2.18 Penduga persamaan regresi dapat ditulis x x b y x b x b y x b b y i i i i − + = + − = + = 1 1 1 1 ˆ 2.19 Sekarang perhatikan kesamaan berikut: i i i i y y y y y y ˆ ˆ − + − = − Ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan dijumlahkan akan diperoleh { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = − − + − + − = − + − = − n i n i n i i i i i i n i n i i i i i y y y y y y y y y y y y y y 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2.20 Perkalian silang yang terakhir pada persamaan 2.20 adalah ∑ ∑ ∑ − − − = − − i i i i i i i i y y y y y y y y y y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol menurut persamaan 2.15 adalah ˆ 1 = − − = − ∑ ∑ i i i i x b b y y y Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 = − − + = − + − = − + = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i i i i i i i i i i x x b b y b x y y b y y b y y x b b y y y Jadi persamaan 2.10 dapat ditulis kembali sebagai ∑ ∑ ∑ − + − = − 2 2 2 ˆ ˆ i i i i y y y y y y 2.21 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI