2. Metode Kuadrat Terkecil
Misalkan n
i y
x
i i
,..., 2
, 1
, ,
= data sampel dan akan ditentukan koefisien
regresi β dan
1
β sedemikian hingga meminimumkan
∑ ∑
∑
= =
=
− −
= −
= =
n i
i i
n i
i i
n i
i
x y
y y
S
1 2
1 2
1 1
2
ˆ β
β ε
2.14 Jumlah kuadrat galat minimum diperoleh dengan menurunkan secara parsial
terhadap β dan
1
β yaitu =
∂ ∂
β S
dan
1
= ∂
∂ β
S
Turunkan terhadap β , maka diperoleh
1 2
1
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
∂ =
∂ ∂
∑
=
β β
β β
n i
i i
x y
S
∑
−
= −
− −
n i
i i
x b
b y
1 1
2
2
1 1
1 1
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
− −
∑ ∑
∑
= =
= n
i n
i n
i i
i
x b
b y
1 1
1
= −
−
∑ ∑
= =
n i
n i
i i
x b
nb y
∑ ∑
= =
= +
n i
n i
i i
y x
b nb
1 1
1
2.15 Turunkan terhadap
1
β , maka diperoleh
1 1
2 1
1
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
∂ =
∂ ∂
∑
=
β β
β β
n i
i i
x y
S PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
1
= −
− −
∑
i i
i
x x
b b
y
2
1 1
1 2
1
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
− −
∑ ∑
∑
= =
=
n i
n i
n i
i i
i i
x b
x b
y x
∑ ∑
∑
= =
=
= −
−
n i
n i
n i
x b
x b
xy
1 1
1 1
∑ ∑
∑
= =
=
= +
n i
i i
n i
i n
i i
y x
x b
x b
1 1
2 1
1
2.16
Bila dinyatakan dalam n
x x
n i
i
∑
=
=
1
dan n
y y
n i
i
∑
=
=
1
maka persamaan 2.15 dan 2.16 akan diperoleh
x b
y n
x b
n y
b
n i
i n
i i
1 1
1 1
− =
− =
∑ ∑
= =
2.17
∑ ∑
∑
= =
=
= −
−
n i
n i
i n
i i
i i
x b
x b
x y
1 1
2 1
1 2
1 1
= −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
∑ ∑
∑ ∑
∑
i i
i i
i i
x b
x n
x b
n y
x y
2 1
1
= −
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
i i
i i
i i
i
x b
n x
x b
n x
y x
y
2 1
1
= −
+ −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
i i
i i
i i
i
x b
n x
x b
n x
y x
y
2 2
1
= ⎪⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ −
− −
∑ ∑
∑ ∑ ∑
n x
x b
n x
y x
y
i i
i i
i i
n x
x n
x y
x y
b
i i
i i
i i
2 2
1
∑ ∑
∑ ∑
∑
− −
=
2.18
Penduga persamaan regresi dapat ditulis x
x b
y x
b x
b y
x b
b y
i i
i i
− +
= +
− =
+ =
1 1
1 1
ˆ 2.19
Sekarang perhatikan kesamaan berikut:
i i
i i
y y
y y
y y
ˆ ˆ
− +
− =
− Ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan dijumlahkan akan diperoleh
{ }
∑ ∑
∑ ∑
∑
= =
= =
=
− −
+ −
+ −
= −
+ −
= −
n i
n i
n i
i i
i i
i n
i n
i i
i i
i
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
1 1
1 2
2 1
1 2
2
ˆ ˆ
2 ˆ
ˆ ˆ
ˆ 2.20
Perkalian silang yang terakhir pada persamaan 2.20 adalah
∑ ∑
∑
− −
− =
− −
i i
i i
i i
i i
y y
y y
y y
y y
y y
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol menurut persamaan 2.15 adalah
ˆ
1
= −
− =
−
∑ ∑
i i
i i
x b
b y
y y
Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
1 1
1 1
= −
− +
= −
+ −
= −
+ =
−
∑ ∑
∑ ∑
∑
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
x x
b b
y b
x y
y b
y y
b y
y x
b b
y y
y
Jadi persamaan 2.10 dapat ditulis kembali sebagai
∑ ∑
∑
− +
− =
−
2 2
2
ˆ ˆ
i i
i i
y y
y y
y y
2.21 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI