Distribusi F Analisis Variansi
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Γ Γ
=
− −
− −
∞ +
∫
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1
2 1
1 1
2 1
2 2
2 1
r z
r z
w z
r r
r r
r r
r r
r r
dz r
w r
z exp
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
1 2
2 1
z z
z w
r z
r r
r r
r
r r
r r
r r
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1
2 1
1 1
2 1
2 2
2 1
− −
− −
∞ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Γ Γ
=
∫
dz r
w r
z exp
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
1 2
2 1
dz r
w r
z exp
z w
r r
r r
r r
r r
r r
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Γ Γ
=
− +
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∞
+
∫
1 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 1
1 1
2 1
dz r
w r
z exp
z r
r w
r r
r r
r r
r r
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
Γ Γ
=
∫
∞ −
+ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
1 2
2 2
2
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
Jika variabel integrasinya diubah dengan
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
1 2
2 1
r w
r z
y
, dapat diperlihatkan
bahwa
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
1 2
2 1
r w
r z
y
maka
1 1
1
1 2
−
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
r w
r y
z
sehingga dy
r w
r dz
1 2
1
1 2
−
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
masukkan kedalam persamaan berikut
dy r
w r
z z
r r
w r
r w
g
r r
r r
r r
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
Γ Γ
=
∫
∞ −
+ +
−
1 2
exp 2
2 2
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
1
2 1
2 1
1 1
maka persamaannya akan menjadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dy r
w r
z z
r r
w r
r w
g
r r
r r
r r
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
Γ Γ
=
∫
∞ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
+ +
−
1 2
exp 2
2 2
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
1
2 1
2 1
1 1
=
2 2
1 2
2 2
2 1
2 1
1 1
2 2
2
r r
r r
r r
w r
r
+ −
Γ Γ
∫
∞ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
+ −
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+
2 2
1 2
1
2 1
1 2
r r
r w
r y
dy r
w r
y exp
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
−1 2
1
1 2
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
− ∞
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
+ −
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ Γ
Γ =
∫
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
1 2
2 2
2
r r
r r
r r
r r
r r
r w
r y
r r
w r
r
dy r
w r
y exp
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
−1 2
1
1 2
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
Γ Γ
=
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
+ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
+ −
1 2
1 2
2 1
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
2 2
2
2 1
2 1
2 1
1 1
r w
r r
w r
r r
w r
r
r r
r r
r r
r r
dy y
exp y
r r
−
∫
∞ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
+ 2
2
2 1
1 2
1 1
2 1
2 2
1 1
2 2
2 1
2 2
2 2
1
1 2
1 1
2 2
2 2
2
2 1
2 1
2 1
1 1
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ + −
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ + +
−
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ Γ
Γ =
r w
r r
w r
r w
r r
r w
r r
r r
r r
r r
r r
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
+ Γ
1 2
2
2 1
r r
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡ +
Γ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
Γ Γ
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
− −
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
1 2
2 2
2 1
2 1
1 1
r r
r w
r r
r w
r r
r r
r r
selainnya w
r w
r w
r r
r r
r r
r r
r r
, ,
1 2
2 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2 1
2 1
1 1
= ∞
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ Γ
Γ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ + Γ
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
−
2. Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah
Misalkan terdapat
k
populasi. Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran
n
. Populasi tersebut menyebar normal dengan rata-rata
k
μ μ
μ ,...,
,
2 1
dan variansi sama
2
σ . Akan dilakukan pengujian hipotesis :
k
H μ
μ μ
= =
= ...
:
2 1
.
1
H
: j
i
j i
≠ ≠
∃ ,
μ μ
. Misal
ij
y adalah pengamatan ke j dari populasi ke i dan berikut susunan datanya.
Tabel 2.1 klasifikasi satu arah dengan k sempel pengamatan
Populasi
1 2
… i
…
k
11
y
12
y
Μ
n
y
1 21
y
22
y
Μ
n
y
2
… …
…
1 i
y
2 i
y Μ
in
y …
…
…
1 k
y
2 k
y Μ
kn
y
Total
. 1
T
. 2
T …
. i
T …
. k
T
..
T
Rata-rata
.
y
1 .
y
2
…
. i
y …
. k
y
..
y
Dimana
. i
T = Total semua pengamatan sampel dari populasi ke i .
..
T = Total semua
nk
pengamatan.
. i
y = Rata-rata semua pengamatan sampel dari populasi ke i .
..
y = Rata-rata semua
nk
pengamatan. Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk
ij i
ij
y ε
μ + =
2.1 Bila
ij
ε adalah simpangan pengamatan ke j dalam sampel ke i dari rata-rata populasi ke i . Bentuk lain dari persamaan ini diperoleh dengan substitusi
i i
α μ
μ +
= , sedangkan
μ adalah rata-rata semua
i
μ artinya
k
k i
i
∑
=
=
1
μ μ
maka persamaan 2.1 menjadi
ij i
ij
y ε
α μ
+ +
= 2.2
dengan ketentuan
1 1
= −
=
∑ ∑
= =
k i
i k
i i
μ μ
α
dengan
i
α sebagai pengaruh populasi ke i . Dari persamaan 2.2 tersusun atas tiga hal yaitu
i
α μ, dan
ij
ε . Dengan demikian persoalannya bagaimana memperoleh nilai
i
α μ, dan
ij
ε . Salah satu cara yang digunakan adalah metode kuadrat terkecil.
Jadi menduga
i
α μ, dan
ij
ε dengan membuat jumlah kuadrat sisa atau galat sekecil mungkin. Jumlah kuadrat galat ditulis dengan
JKG
.
∑∑
= =
=
k i
n j
ij
JKG
1 1
2
ε
∑∑
= =
− −
=
k i
n j
i ij
y
1 1
2
α μ
2.3 Penduga bagi
μ adalah μˆ maka
1 1
2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
∂ =
∂ ∂
∑∑
= =
μ α
μ μ
k i
n j
i ij
y JKG
2
1 1
= −
− −
∑∑
= =
k i
n j
i ij
ˆ y
α μ
1 1
1 1
1 1
= −
−
∑∑ ∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
k i
n j
k i
n j
k i
n j
i ij
ˆ y
α μ
∑∑ ∑∑
= =
= =
= −
−
k i
n j
k i
n j
ij
ˆ y
1 1
1 1
μ
∑∑ ∑∑
= =
= =
=
k i
n j
k i
n j
ij
y ˆ
1 1
1 1
μ
kn y
ˆ
k i
n j
ij
∑∑
= =
=
1 1
μ
..
y ˆ
= μ
2.3a Penduga bagi
i
α adalah
i
αˆ maka
1 1
2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
∂ =
∂ ∂
∑∑
= =
i k
i n
j i
ij i
y JKG
α α
μ α
2
1 1
= −
− −
∑∑
= =
k i
n j
i ij
ˆ ˆ
y
α μ
1 1
1 1
1 1
= −
−
∑∑ ∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
k i
n j
k i
n j
k i
n j
i ij
ˆ ˆ
y
α μ
∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
− =
k i
n j
k i
n j
k i
n j
ij i
ˆ y
ˆ
1 1
1 1
1 1
μ α
karena
..
y ˆ
= μ
maka
∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
− =
k i
n j
k i
n j
k i
n j
.. ij
i
y y
ˆ
1 1
1 1
1 1
α
∑
=
− =
n j
.. .
i i
y kn
y ˆ
kn
1
α
kn y
kn y
ˆ
n j
.. .
i i
∑
=
− =
1
α
kn y
kn ny
ˆ
.. .
i i
− =
α
.. .
i i
y k
y ˆ
− =
α
.. .
i i
y y
ˆ −
= α
2.3b Apabila
ij
ε adalah galat, penduganya adalah
ij
e , akan diperoleh dengan memasukkan parameter
i
α μ ˆ
, ˆ
pada persamaan 2.2 sehingga didapat
.. .
i ..
ij ij
y y
y y
e −
− −
=
. i
ij ij
y y
e −
= 2.3c
Parameter yang didapat disubstitusikan dalam persamaan 2.2 menjadi
. i
ij ..
. i
.. ij
y y
y y
y y
− +
− +
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan sedikit merubah susunannya menjadi
. i
ij ..
. i
.. ij
y y
y y
y y
− +
− =
− Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan diperoleh bentuk berikut
[ ]
[ ]
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
− +
− −
+ −
= −
+ −
− +
− =
− +
− =
−
k i
n j
i ij
k i
n j
i ij
i k
i n
j i
k i
n j
i ij
i ij
i i
k i
n j
k i
n j
i ij
i ij
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
1 1
2 .
1 1
. ..
. 1
1 2
.. .
1 1
2 .
. ..
. 2
.. .
1 1
1 1
2 .
.. .
2 ..
2 2
Penjumlahan yang ditengah sama dengan nol, karena
. i
n j
ij n
j .
i ij
y n
y y
y −
= −
∑ ∑
= =
1 1
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− =
∑ ∑
= =
n y
n y
n j
ij n
j ij
1 1
= Penjumlahan yang pertama tidak mempunyai j sebagai subkrip, maka dapat
dituliskan sebagai
∑∑ ∑
= =
=
− =
−
k i
n j
k i
.. .
i ..
. i
y y
n y
y
1 1
1 2
2
sehingga menjadi
∑∑ ∑∑
∑
= =
= =
=
− +
− =
−
k i
n j
. i
ij k
i n
j k
i ..
. i
.. ij
y y
y y
n y
y
1 1
2 1
1 1
2 2
2.4 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total, ditulis dengan
JKT
. Ruas kanan suku pertama disebut jumlah kuadrat antar kelompok, ditulis
JKK
. Suku kedua disebut jumlah kuadrat dalam kelompok, ditulis
JKG
. Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
JKG JKK
JKT +
=
Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus berikut
∑ ∑
∑∑ ∑
∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
+ −
= +
− =
− =
k i
k i
k i
n j
n j
ij n
j ij
k i
n j
ij ij
k i
n j
ij
y y
y y
y y
y y
y y
JKT
1 1
1 1
2 ..
1 ..
1 2
1 1
2 ..
.. 2
1 1
2 ..
2 2
dengan
∑∑
= =
=
k i
n j
ij ..
y y
1 1
dan
kn y
y
.. ..
=
∑∑
= =
+ −
=
k i
.. ..
.. n
j ij
y kn
y y
kn y
1 2
1 2
2
∑∑
= =
+ −
=
k i
.. ..
n j
ij
y kn
y kn
y
1 2
2 1
2
2
∑∑
= =
− =
k i
.. n
j ij
y kn
y
1 2
1 2
∑∑
= =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
k i
.. n
j ij
kn y
kn y
1 2
1 2
∑∑
= =
− =
k i
.. n
j ij
kn y
y
1 2
1 2
2.4a PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑
=
− =
k i
.. .
i
y y
n JKK
1 2
∑
=
+ −
=
k i
.. ..
. i
. i
y y
y y
n
1 2
2
2
∑ ∑
∑
= =
=
+ −
=
k i
k i
i k
i i
y n
y y
n y
n
1 2
.. 1
.. .
1 2
.
2
dengan
.. k
i .
i
y k
y =
∑
=1
dan
n y
y
n j
ij .
i
∑
=
=
1
∑ ∑
= =
+ −
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
k i
.. ..
.. n
j ij
y kn
y k
y n
n y
n
1 2
2 1
2
2 2
1 ..
k i
. i
y kn
n y
n −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑
= 2
1 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
∑
=
kn y
kn n
y
.. k
i .
i
kn y
n y
.. k
i .
i 2
1 2
− =
∑
=
2.4b
JKK JKT
JKG −
= 2.4c
Jumlah jumlah kuadrat tersebut diatas dapat dituliskan kedalam tabel anova untuk memudahkan analisis.
Tabel 2.2 analisis variansi satu arah Sumber
Jumlah Kuadrat Derajat Bebas
Kuadrat Tengah
hitung
F
Kelompok
JKK 1
− k
1
2 1
− =
k JKK
s
2 2
2 1
s s
f =
Galat
JKG 1
− n
k
1
2 2
− =
n k
JKG s
Total
JKT 1
− nk
Langkah-langkah pengujian Hipotesis 1.
Rumusan hipotesis
k
H μ
μ μ
= =
= ...
:
2 1
.
1
H
: j
i
j i
≠ ≠
∃ ,
μ μ
. 2.
Tentukan α .
3. Wilayah kritis.
H ditolak bila
[ ]
1 ,
1 −
− n
k k
f f
hitung
α
. 4.
Perhitungan. 5.
Tabel analisis variansi. 6.
Kesimpulan.
Telah diketahui bahwa setiap pengamatan ditulis sebagai berikut
ij i
ij
y ε
μ + =
dan diketahui pula bahwa
i i
α μ
μ +
= atau
i i
α μ
μ =
− Untuk menguji rata-rata dalam suatu populasi yang terdiri dari beberapa
kelompok, maka diuji juga rata-rata kelompok apakah sama atau tidak Maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
kedua hipotesis
k
H μ
μ μ
= =
= ...
:
2 1
dan ...
:
2 1
= =
= =
k
H α
α α
adalah sama. Jadi pada dasarnya menguji kesamaan rata-rata antara kelompok adalah
sama dengan menguji pengaruh perlakuan.
3. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi
Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan menyusun data tersebut dalam r baris dan
c
kolom, seperti pada tabel berikut.
Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan per Sel
Kolom Baris 1 2 … j
…
c
Total Rata-rata 1
11
y
12
y
…
j
y
1
…
c
y
1 .
1
T
.
y
1
2
21
y
22
y
…
j
y
2
…
c
y
2 .
2
T
.
y
2
Μ Μ
Μ Μ
Μ Μ
Μ i
1
i
y
2
i
y …
j i
y …
ic
y
.
i
T
. i
y Μ
Μ Μ
Μ Μ
Μ Μ
r
1
r
y
2
r
y
…
j r
y …
rc
y
.
r
T
. r
y Total
1 .
T
2 .
T …
j
T
.
…
c
T
. .
.
T Rata-rata
1
.
y
2
.
y …
j .
y …
c .
y
. .
y
Dimana
.
i
T = Total semua pengamatan dalam baris ke i .
j
T
.
= Total semua pengamatan dalam kolom ke j . .
. T = Total semua
rc
pengamatan
. i
y = Rata-rata semua pengamatan dalam baris i . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Rata-rata populasi pada baris ke i adalah
c
c j
ij i
∑
=
=
1 .
μ μ
Rata-rata populasi bagi kolom ke j adalah
r
r i
ij j
∑
=
=
1 .
μ μ
Rata-rata
rc
populasi adalah
rc
r c
ij
∑∑
=
μ μ
Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk
ij ij
ij
y ε
μ + =
2.5 Dimana
ij
ε adalah simpangan nilai pengamatan
ij
y dari rata-rata populasi
ij
μ . Bila
i
α adalah pengaruh baris ke i dan
j
β adalah pengaruh kolom ke j maka diperoleh
j i
ij
β α
μ μ
+ +
= Sehingga persamaan diatas menjadi
ij j
i ij
y ε
β α
μ +
+ +
= 2.6
Kemudian disyaratkan
∑ ∑
= =
= =
r i
c j
j i
1 1
β α
Nilai , ,
,
j i
β α
μ dapat diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Nilai tersebut
didapatkan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, dan ditulis
JKG
.
∑∑
= =
=
r i
c j
ij
JKG
1 1
2
ε
∑∑
= =
− −
− =
r i
c j
j i
ij
y
1 1
2
β α
μ 2.7
Penduga nilai μ adalah μˆ maka
1 1
2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
− ∂
= ∂
∂
∑∑
= =
μ β
α μ
μ
r i
c j
j i
ij
y JKG
2
1 1
= −
− −
−
∑∑
= =
r i
c j
j i
ij
ˆ y
β α
μ
1 1
1 1
1 1
1 1
= −
− −
∑∑ ∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
= =
r i
c j
r i
c j
r i
c j
r i
c j
j i
ij
ˆ y
β α
μ
1 1
1 1
= −
− −
∑∑ ∑∑
= =
= =
r i
c j
r i
c j
ij
ˆ y
μ
1 1
= −
∑∑
= =
μ
ˆ rc
y
r i
c j
ij
rc y
ˆ
r i
c j
ij
∑∑
= =
=
1 1
μ
..
y ˆ
= μ
2.7a Penduga nilai
i
α adalah
i
αˆ maka
1 1
2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
− ∂
= ∂
∂
∑∑
= =
i r
i c
j j
i ij
i
y JKG
α β
α μ
α PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
1 1
= −
− −
−
∑∑
= =
r i
c j
j i
ij
ˆ ˆ
y
β α
μ
1 1
1 1
1 1
1 1
= −
− −
∑∑ ∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
= =
r i
c j
r i
c j
r i
c j
r i
c j
j i
ij
ˆ ˆ
y
β α
μ
1 1
1 1
1 1
= −
− −
∑∑ ∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
r i
c j
r i
c j
r i
c j
i ij
ˆ ˆ
y
α μ
1 1
1 1
1 1
= −
−
∑∑ ∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
r i
c j
r i
c j
r i
c j
i ij
ˆ ˆ
y
α μ
∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
− =
r i
c j
r i
c j
ij r
i c
j i
ˆ y
ˆ
1 1
1 1
1 1
μ α
karena
..
y ˆ
= μ
maka
∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
− =
r i
c j
r i
c j
.. ij
r i
c j
i
y y
ˆ
1 1
1 1
1 1
α
∑
=
− =
c i
.. .
i i
y rc
y ˆ
rc
1
α
rc y
rc y
ˆ
.. c
i .
i i
− =
∑
=1
α
rc y
rc y
c ˆ
.. .
i i
− =
α
.. .
i i
y r
y ˆ
− =
α
.. .
i i
y y
ˆ −
= α
2.7b PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penduga nilai β adalah
j
βˆ maka
1 1
2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
− ∂
= ∂
∂
∑∑
= =
j r
i c
j j
i ij
j
y JKG
β β
α μ
β
2
1 1
= −
− −
−
∑∑
= =
r i
c j
j i
ij
ˆ ˆ
ˆ y
β α
μ
1 1
1 1
1 1
1 1
= −
− −
∑∑ ∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
= =
r i
c j
r i
c j
r i
c j
r i
c j
j i
ij
ˆ ˆ
ˆ y
β α
μ
1 1
1 1
1 1
= −
− −
∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
r i
c j
r i
c j
r i
c j
j ij
ˆ ˆ
y
β μ
∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
− =
r i
c j
r i
c j
ij r
i c
j j
ˆ y
ˆ
1 1
1 1
1 1
μ β
karena
.. .
i i
y y
ˆ −
= α
maka
∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
− =
r i
c j
r i
c j
.. ij
r i
c j
j
y y
ˆ
1 1
1 1
1 1
β
.. r
i j
. j
y rc
y ˆ
rc −
=
∑
=1
β
rc y
rc y
ˆ
.. r
i j
. j
− =
∑
=1
β
rc y
rc y
r ˆ
.. j
. j
− =
β
.. j
. j
y c
y ˆ
− =
β
.. j
. j
y y
ˆ −
= β
2.7c PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Apabila
ij
ε adalah galat, diduga dengan
ij
e , akan diperoleh melalui substitusi penduga
j i
, ,
β α
μ kedalam persamaan 2.6 sehingga didapat
.. j
. ..
. i
.. ij
ij
y y
y y
y y
e −
− −
− −
=
.. j
. .
i ij
ij
y y
y y
e +
− −
= 2.7d
Parameter yang telah didapat disubstitusikan dalam persamaan 2.6 menjadi
.. j
. .
i ij
.. j
. ..
. i
.. ij
y y
y y
y y
y y
y y
+ −
− +
− +
− +
= Dengan sedikit merubah susunannya akan menjadi
.. j
. .
i ij
.. j
. ..
. i
.. ij
y y
y y
y y
y y
y y
+ −
− +
− +
− =
− Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlakan diperoleh persamaan berikut
∑∑ ∑∑
= =
= =
+ −
− +
− +
− =
−
r i
c j
r i
c j
.. j
. .
i ij
.. j
. ..
. i
.. ij
y y
y y
y y
y y
y y
1 1
1 1
2 2
2 2
.. .
. 1
1 ..
. ..
. .
1 1
.. .
.. .
1 1
.. .
1 1
2 ..
. .
1 1
1 1
2 ..
. 2
.. .
2 2
2
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
j i
ij r
i c
j j
j i
ij r
i c
j i
j r
i c
j i
r i
c j
j i
ij r
i c
j r
i c
j j
i
+ −
− −
+ +
− −
− +
− −
+ +
− −
+ −
+ −
=
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
∑ ∑
∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
+ −
− +
− +
− =
−
r i
c j
r i
c j
.. j
. .
i ij
.. j
. ..
. i
r i
c j
.. ij
y y
y y
y y
r y
y c
y y
1 1
1 1
2 2
2 1
1 2
……………………………………………………………………… 2.8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Ruas kiri disebut jumlah kuadat total
JKT
, sedang ruas kanan suku pertama disebut jumlah kuadrat karena baris
JKB
, suku kedua disebut jumlah kuadrat karena kolom
JKK
, suku ketiga disebut jumlah kuadrat galat
JKG
. Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
JKG JKK
JKB JKT
+ +
=
Untuk memudahkan perhitungan maka dilakukan penyederhanaan rumus sebagai berikut
∑∑
= =
− =
r i
c j
.. ij
y y
JKT
1 1
2
∑∑
= =
+ −
=
r i
c j
.. ..
ij ij
y y
y y
1 1
2 2
2
∑∑ ∑∑
∑∑
= =
= =
= =
+ −
=
r i
c j
r i
c j
r i
c j
.. ij
.. ij
y y
y y
1 1
1 1
1 1
2 2
2
dengan
∑∑
= =
=
r i
c j
ij
y ..
y
1 1
dan
rc y
y
.. ..
=
∑∑
= =
+ −
=
r i
.. ..
.. c
j ij
y rc
y rc
y y
1 2
1 2
2
∑∑
= =
+ −
=
r i
.. ..
c j
ij
y rc
y rc
y
1 2
2 1
2
2
∑∑
= =
− =
r i
.. c
j ij
y rc
y
1 2
1 2
2 1
1 2
∑∑
= =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
r i
.. c
j ij
rc y
rc y
∑∑
= =
− =
r i
.. c
j ij
rc y
y
1 2
1 2
2.8a PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑
=
− =
r i
.. .
i
y y
c JKB
1 2
∑
=
+ −
=
r i
.. ..
. i
. i
y y
y y
c
1 2
2
2
∑ ∑
∑
= =
=
+ −
=
r i
r i
.. .
i ..
r i
. i
y c
y y
c y
c
1 1
2 1
2
2
dengan
.. r
i .
i
y r
y =
∑
=1
dan
c y
y
c j
ij .
i
∑
=
=
1
2 2
1 1
2
.. ,
, ..
r i
c j
ij
y rc
y r
y c
c y
c +
− ⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
∑ ∑
= =
2 2
2 1
2
.. ..
r i
. i
y rc
y rc
c y
c +
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∑
=
2 1
2 ..
r i
. i
y rc
c y
− =
∑
=
2 1
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
∑
=
rc y
rc c
y
.. r
i .
i
rc y
c y
.. r
i .
i 2
1 2
− =
∑
=
2.8b PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑
=
− =
c j
.. j
.
y y
r JKK
1 2
∑
=
+ −
=
c j
.. ..
j .
j .
y y
y y
r
1 2
2
2
∑ ∑
∑
= =
=
+ −
=
c j
c i
.. j
. ..
c j
j .
y r
y y
r y
r
1 1
2 1
2
2
dengan
.. c
j j
.
y c
y =
∑
=1
dan r
y y
r i
ij j
.
∑
=
=
1
2 2
1 1
2
.. ,
, ..
r j
r i
ij
y rc
y c
y r
r y
r +
− ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
∑ ∑
= =
2 2
2 2
2
.. ..
r i
j .
y rc
y rc
r y
r +
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
∑
=
2 1
2 ..
c i
j .
y rc
c y
− =
∑
=
2 1
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
∑
=
rc y
rc r
y
.. c
i j
.
rc y
r y
.. c
j j
. 2
1 2
− =
∑
=
2.8c
JKK JKB
JKT JKT
− −
=
2.8d PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jumlah-jumlah kuadrat tersebut dapat diringkas dalam tabel anova untuk memudahkan analisis.
Tabel 2.3 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi Sumber
Jumlah Kuadrat Derajat Bebas
Kuadrat Tengah
hitung
F
Baris
JKB
1 −
r 1
2 1
− =
r JKB
s
2 3
2 1
1
s s
f =
Kolom
JKK 1
− c
1
2 2
− =
c JKK
s
2 3
2 2
2
s s
f =
Galat
JKG 1
1 −
− c r
1 1
2 3
− −
= c
r JKG
s
Total
JKT 1
− rc
Langkah-langkah pengujian hipotesis 1.
Rumusan hipotesis. a.
... :
2 1
= =
= =
′
r
H α
α α
.
1
H ′
: 0 ≠
∃
i
α .
b. ...
:
2 1
= =
= =
′′
c
H β
β β
.
1
H ′′
: 0 ≠
∃
j
β .
2. Tentukan
α . 3.
Wilayah kritis a.
H ditolak bila
[ ]
1 1
1
− −
n rc
, r
f f
α
. b.
H ditolak bila
[ ]
1 1
2
− −
n rc
, c
f f
α
. 4. Perhitungan.
5. Tabel analisis variansi. 6. Kesimpulan.
4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi
Tabel 2.4 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan per Sel
Kolom
Baris
1 2 …
c
Total Rata-rata
111
y
121
y
…
1 1c
y
112
y
122
y
…
2 1c
y 1
. . .
. .
1
T
. .
y
1
. . .
n
y
11 n
y
12
…
cn
y
1 211
y
221
y
…
1 2c
y
212
y
222
y
…
2 2c
y 2
. . .
. .
2
T
. .
y
2
. . .
n
y
21 n
y
22
…
cn
y
2
. . . . . .
. . .
. . . .
. . . . .
11 r
y
21 r
y
…
1 rc
y
12 r
y
22 r
y
…
2 rc
y
. . .
r . .
.
. .
r
T
. .
r
y . . .
n r
y
1 n
r
y
2
…
rcn
y Total
. 1
.
T
. 2
.
T …
. . c
T
. .
.
T
Rata-rata
. .
y
1 .
.
y
2
…
. c
.
y
...
y
Dimana :
. ij
T = Total pengamatan dalam sel ke ij .
.. i
T = Total pengamatan dalam baris ke i .
. . j
T = Total pengamatan dalam kolom ke j .
...
T = Total semua
rcn
pengamatan.
. ij
y = Rata-rata pengamatan dalam sel ke ij .
.. i
y = Rata-rata pengamatan dalam baris ke i .
. j
.
y = Rata-rata pengamatan dalam kolom ke j .
...
y = Rata-rata semua
rcn
pengamatan.
Rata-rata umum pengamatan adalah
rcn y
y
r i
c j
n k
ijk ...
∑∑∑
= =
=
=
1 1
1
Rata-rata baris ke i adalah
cn y
y
c j
n k
ijk ..
i
∑∑
= =
=
1 1
Rata-rata kolom ke j adalah
n r
y y
r i
n k
ijk .
j .
∑∑
= =
=
1 1
Rata-rata sel ke ij adalah
n y
y
n k
ijk .
ij
∑
=
=
1
Setiap pengamatan dalam sel
ijk
y dapat dituliskan dalam bentuk
ijk ij
ijk
y ε
μ + =
2.9 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dimana
ijk
ε merupakan simpangan nilai
ijk
y yang teramati pada sel ke ij dari
rata-rata populasi
ij
μ . Misalkan
ij
αβ melambangkan pengaruh interaksi baris ke i dan kolom ke j , maka
i
α adalah pengaruh baris ke i , dan
j
β adalah pengaruh kolom ke j serta
μ adalah rata-rata umum. Sehingga persamaannya menjadi
ij j
i ij
αβ β
α μ
μ +
+ +
= maka persamaan 2.9 menjadi
ijk ij
j i
ijk
y ε
αβ β
α μ
+ +
+ +
= 2.10
dan kemudian dikenakan syarat
1
=
∑
= r
i i
α
1
=
∑
= c
j j
β
1
=
∑
= r
i ij
αβ
1
=
∑
= c
j ij
αβ
Nilai dari μ ,
, ,
αβ β
α diperoleh melalui pendugaan dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil, sehingga jumlah kuadrat semua simpangan itu minimum. Jumlah kuadrat semua simpangan disebut jumlah kuadrat galat
JKG
.
∑∑∑
= =
=
=
r i
c j
n k
ijk
JKG
1 1
1 2
ε
∑∑∑
= =
=
− −
− −
=
r i
c j
n k
ij j
i ijk
y
1 1
1 2
αβ β
α μ
2.11 Penduga untuk nilai
μ adalah μˆ maka
1 1
1 2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
− −
∂ =
∂ ∂
∑∑∑
= =
=
μ αβ
β α
μ μ
r i
c j
n k
ij j
i ijk
y JKG
2
1 1
1
= −
− −
− −
∑∑∑
= =
= r
i c
j n
k ij
j i
ijk
ˆ y
αβ β
α μ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
= −
− −
−
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= r
i c
j n
k ij
r i
c j
n k
j r
i c
j n
k i
r i
c j
n k
r i
c j
n k
ijk
ˆ y
αβ β
α μ
1 1
1 1
1 1
= −
− −
−
∑∑∑ ∑∑∑
= =
= =
= =
r i
c j
n k
r i
c j
n k
ijk
ˆ y
μ
1 1
1
= −
∑∑∑
= =
=
μ
ˆ rcn
y
r i
c j
n k
ijk
rcn y
ˆ
r i
c j
n k
ijk
∑∑∑
= =
=
=
1 1
1
μ
...
y ˆ
= μ
2.11a Penduga untuk nilai
i
α adalah
i
αˆ maka
1 1
1 2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
− −
∂ =
∂ ∂
∑∑∑
= =
= i
r i
c j
n k
ij j
i ijk
i
y JKG
α αβ
β α
μ α
2
1 1
1
= −
− −
− −
∑∑∑
= =
= r
i c
j n
k ij
j i
ijk
ˆ ˆ
y
αβ β
α μ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
= −
− −
−
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= r
i c
j n
k ij
r i
c j
n k
j r
i c
j n
k i
r i
c j
n k
r i
c j
n k
ijk
ˆ ˆ
y
αβ β
α μ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
− −
−
∑∑ ∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
c j
n k
r i
ij r
i c
j n
k j
r i
c j
n k
i r
i c
j n
k r
i c
j n
k ijk
ˆ ˆ
y
αβ β
α μ
1 1
1 1
1 1
1 1
1
= −
− −
−
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= r
i c
j n
k i
r i
c j
n k
r i
c j
n k
ijk
ˆ ˆ
y
α μ
1 1
1 1
1 1
1 1
1
= −
−
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= r
i c
j n
k i
r i
c j
n k
r i
c j
n k
ijk
ˆ ˆ
y
α μ
karena
...
y ˆ
= μ
maka
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
=
− =
r i
c j
n k
r i
c j
n k
ijk r
i c
j n
k i
y y
1 1
1 ...
1 1
1 1
1 1
ˆ
α
... c
j n
k ..
i i
y rcn
y ˆ
rcn −
=
∑∑
= =
1 1
α
rcn y
rcn y
ˆ
c j
... n
k ..
i i
∑∑
= =
− =
1 1
α
rcn y
rcn y
cn ˆ
... ..
i i
− =
α
... ..
i i
y r
y ˆ
− =
α
... ..
i
y y
ˆ −
= α
2.11b Penduga untuk nilai
j
β adalah
j
βˆ maka
1 1
1 2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
− −
∂ =
∂ ∂
∑∑∑
= =
= j
r i
c j
n k
ij j
i ijk
j
y JKG
β αβ
β α
μ β
2
1 1
1
= −
− −
− −
∑∑∑
= =
= r
i c
j n
k ij
j i
ijk
ˆ ˆ
ˆ y
αβ β
α μ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
= −
− −
−
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= r
i c
j n
k ij
r i
c j
n k
j r
i c
j n
k i
r i
c j
n k
r i
c j
n k
ijk
ˆ ˆ
ˆ y
αβ β
α μ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− −
−
∑∑ ∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
r i
n k
c j
ij r
i c
j n
k j
r i
c j
n k
i r
i c
j n
k r
i c
j n
k ijk
ˆ ˆ
ˆ y
αβ β
α μ
1 1
1 1
1 1
1 1
= −
− −
−
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
r i
c j
n k
j r
i c
j n
k r
i c
j n
k ijk
ˆ ˆ
y
β μ
1 1
1 1
1 1
1 1
= −
−
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
r i
c j
n k
j r
i c
j n
k r
i c
j n
k ijk
ˆ ˆ
y
β μ
karena
...
y ˆ
= μ
maka
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
=
− =
r i
c j
n k
... r
i c
j n
k ijk
r i
c j
n k
j
y y
ˆ
1 1
1 1
1 1
1 1
1
β
... r
i n
k .
j .
j
y rcn
y ˆ
rcn −
=
∑∑
= =
1 1
β
rcn y
rcn y
ˆ
r i
... n
k .
j .
j
∑∑
= =
− =
1 1
β
rcn y
rcn y
n r
ˆ
... .
j .
j
− =
β
... .
j .
j
y c
y ˆ
− =
β
... .
j .
j
y y
ˆ −
= β
2.11c Penduga untuk nilai
ij
αβ adalah
ij
β α ˆ
ˆ maka
1 1
1 2
= ∂
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− −
− −
∂ =
∂ ∂
∑∑∑
= =
= ij
r i
c j
n k
ij j
i ijk
ij
y JKG
αβ αβ
β α
μ αβ
2
1 1
1
= −
− −
− −
∑∑∑
= =
= r
i c
j n
k ij
j i
ijk
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ y
β α
β α
μ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
= −
− −
−
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= r
i c
j n
k ij
r i
c j
n k
j r
i c
j n
k i
r i
c j
n k
r i
c j
n k
ijk
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ y
β α
β α
μ
karena
...
y ˆ
= μ
... ..
i i
y y
ˆ −
= α
... .
j .
j
y y
ˆ −
= β
maka
∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
=
− −
− =
r i
c j
n k
r i
c j
n k
r i
c j
n k
j i
r i
c j
n k
ijk r
i c
j n
k ij
ˆ ˆ
ˆ y
ˆ ˆ
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
β α
μ β
α
... .
j .
... ..
i ...
r i
c j
n k
ijk ij
y y
rcn y
y rcn
y rcn
y ˆ
ˆ rcn
− −
− −
− =
∑∑∑
= =
= 1
1 1
β α
... .
j .
... ..
i ...
n k
ijk ij
y rcn
y rcn
y rcn
y rcn
y rcn
y n
r ˆ
ˆ rcn
+ −
+ −
− =
∑
=1
β α
rcn y
rcn y
rcn y
rcn y
n r
ˆ ˆ
... .
j .
.. i
K k
ijk ij
+ −
− =
∑
=1
β α
... .
j .
.. i
. ij
ij
y y
y y
ˆ ˆ
+ −
− =
β α
2.11d Bila
ijk
ε merupakan galat dan penduga bagi
ijk
ε adalah
ijk
e
sehingga akan diperoleh nilai dugaan bagi
ijk
e yaitu
ij j
i ijk
ijk
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ y
e β
α β
α μ
− −
− −
=
... .
j .
.. i
. ij
... .
j .
... ..
i ...
ijk ijk
y y
y y
y y
y y
y y
e +
− −
− −
− −
− −
=
. ij
ijk ijk
y y
e −
= 2.11e
Sehingga bila parameter ini dimasukkan dalam persamaan 2.10 akan diperoleh bentuk
. ij
ijk ...
. j
. ..
i .
ij ...
. j
. ...
.. i
... ijk
y y
y y
y y
y y
y y
y y
− +
+ −
− +
− +
− +
= Dengan sedikit merubah susunannya akan diperoleh persamaan berikut
. ij
ijk ...
. j
. ..
i .
ij ...
. j
. ...
.. i
... ijk
y y
y y
y y
y y
y y
y y
− +
+ −
− +
− +
− =
− Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan maka diperoleh persamaan
berikut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[
]
2 1
1 1
1 1
1 2
. ij
ijk ...
. j
. ..
i .
ij ...
. j
. r
i c
j n
j ...
.. i
r i
c j
n k
... ijk
y y
y y
y y
y y
y y
y y
− +
+ −
− +
− +
− =
−
∑∑∑ ∑∑∑
= =
= =
= =
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
− +
− −
+ −
− +
+ −
− −
+ −
− +
+ −
− −
+ −
− +
− +
+ −
− +
− +
− =
r i
c j
n k
ij ijk
j i
ij ij
ijk r
i c
j n
k j
j i
ij r
i c
j n
k j
ij ijk
r i
c j
n k
i j
i ij
r i
c j
n k
i j
r i
c j
n k
i r
i c
k n
j ij
ijk r
i c
j n
k j
i ij
r i
c j
n k
j r
i c
j n
k i
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
1 1
1 .
... .
. ..
. .
1 1
1 ...
. .
... .
. ..
. 1
1 1
... .
. .
1 1
1 ...
.. ...
. .
.. .
1 1
1 ...
.. ...
. .
1 1
1 ...
.. 1
1 1
2 .
1 1
1 2
... .
. ..
. 1
1 1
2 ...
. .
1 1
1 2
... ..
2 2
2 2
2 2
∑∑∑ ∑∑
∑ ∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
− +
+ −
− +
− +
− =
−
r i
c j
n k
. ij
ijk r
i c
j ...
. j
. ..
i .
ij c
j ...
. j
. r
i ...
.. i
r i
c j
n k
... ijk
y y
y y
y y
n y
y n
r y
y cn
y y
1 1
1 2
1 1
2 1
2 1
2 1
1 1
2
…..………………………………………………………………... 2.12 Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total
JKT
, sedangkan ruas kanan adalah suku pertama disebut jumlah kuadrat karena baris
JKB
, suku kedua disebut jumlah kuadrat karena kolom
JKK
, suku ketiga disebut jumlah kuadrat karena baris dan kolom
BK JK
. Suku terakhir disebut jumlah kuadrat galat
JKG
. Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
JKG BK
JK JKK
JKB JKT
+ +
+ =
Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus-rumus jumlah kuadrat sebagai berikut
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
=
+ −
= +
− =
− =
r i
c j
n k
... r
i c
j n
k ...
ijk r
i c
j n
k ijk
r i
c j
n k
... ...
ijk ijk
r i
c j
n k
... ijk
y y
y y
y y
y y
y y
JKT
1 1
1 2
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
2 2
1 1
1 2
2 2
dengan
∑∑∑
= =
=
=
r i
c j
n k
ijk ...
y y
1 1
1
dan
rcn y
y
... ...
=
2 1
1 1
2 1
1 1
2 2
2 1
1 1
2 2
1 1
1 2
2 1
1 1
2
2 2
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
− =
+ −
= +
− =
+ −
=
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
=
rcn y
rcn y
y rcn
y y
rcn y
rcn y
y rcn
y y
rcn y
y rcn
y y
y
... r
i c
j n
k ijk
r i
c j
n k
... ijk
... ...
r i
c j
n k
ijk ...
... ...
r i
c j
n k
ijk ...
... ...
r i
c j
n k
ijk
rcn y
y
... r
i c
j n
k ijk
2 1
1 1
2
− =
∑∑∑
= =
=
2.12a
∑
=
− =
r i
... ..
i
y y
cn JKB
1 2
∑
=
+ −
=
r i
... ...
.. i
.. i
y y
y y
cn
1 2
2
2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑ ∑
∑
= =
=
+ −
=
r i
... r
i ...
i ...
r i
.. i
y cn
y cn
y y
cn
1 2
1 1
2
2
dengan
∑
=
=
r i
... ..
i
y r
y
1
dan ⎟⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
∑∑
= =
cn y
y
c j
n k
ijk ..
i 1
1
∑ ∑∑
= =
=
+ −
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
r i
... ...
... c
j n
k ijk
y rcn
y rcn
y cn
y cn
1 2
2 1
1
2
2 1
2 ...
r i
.. i
y rcn
cn y
cn −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∑
= 2
1 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
∑
=
rcn y
rcn cn
y
... r
i ..
i
rcn y
cn y
... r
i ..
i 2
1 2
− =
∑
=
2.12b
∑
=
− =
c j
... .
j .
y y
n r
JKK
1 2
∑
=
+ −
=
c j
j j
y y
y y
n r
1 ...
2 ...
... .
. 2
. .
2
∑ ∑
∑
= =
=
+ −
=
c j
... ...
c j
. j
. c
j .
j .
y n
r y
y n
r y
n r
1 2
1 1
2
2
dengan
... c
j .
j .
y c
y =
∑
=1
dan
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
∑∑
= =
n r
y y
r i
n k
ijk .
j .
1 1
2 1
2 1
1
2
... ...
... c
j r
i n
k ijk
y rcn
y y
rcn n
r x
rn +
− ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
∑ ∑∑
= =
=
2 1
2 ...
c j
. j
.
y rcn
n r
y n
r −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
∑
=
2 1
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
∑
=
rcn y
rcn n
r y
... c
j .
j .
rcn y
n r
y
... c
j .
j .
2 1
2
− =
∑
=
2.12c
∑∑
= =
+ −
− =
r i
c j
... .
j .
.. i
. ij
y y
y y
n BK
JK
1 1
2
[ ]
2 2
2 1
1 2
... .
j .
... ...
.. i
. ij
... ...
. j
. .
j .
.. i
. j
. .
ij .
j .
... ..
i .
j .
.. i
.. i
r i
n j
. ij
.. i
... .
ij .
j .
. ij
.. i
. ij
. ij
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
n +
− −
+ −
+ +
− −
+ +
− +
− −
=
∑∑
= =
[ ]
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
... ...
. j
. ...
.. i
. j
. ..
i ...
. ij
. j
. ..
i .
j .
. ij
.. i
. ij
r i
c j
. ij
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
n +
− −
+ +
+ +
− −
=
∑∑
= =
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
∑ ∑
= =
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
rn y
rcn y
n r
y rcn
y cn
y n
r y
cn y
rcn y
n y
n r
y cn
y n
r y
n y
cn y
n y
n y
n
... ...
. j
. ...
.. i
. j
. ..
i ...
. ij
. j
. ..
i .
j .
. ij
.. i
. ij
r i
c j
. ij
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
1 1
2 1
1 1
1 1
1 2
1 1
2 2
2 2
2 2
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
r i
c j
... ...
r i
c j
. j
. ...
r i
c j
.. i
. j
. r
i c
j ..
i r
i c
j ...
. ij
r i
c j
. j
. r
i c
j ..
i r
i c
j r
i c
j .
j .
. ij
.. i
. ij
r i
c j
. ij
rcn y
n rcn
y n
r y
n rcn
y cn
y n
n r
y cn
y n
rcn y
n y
n cn
y n
cn y
n n
r y
n y
n cn
y n
y n
n y
n
rcn y
rcn y
rcn y
rcn y
rcn y
n r
y cn
y n
r y
cn y
n y
... ...
... ...
... c
j .
j .
r i
.. i
c j
. j
. r
i ..
i r
i c
j .
ij 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
2
2 2
2 2
2 2
+ −
− +
+ +
+ −
− =
∑ ∑
∑ ∑
∑∑
= =
= =
= =
rcn y
n r
y cn
y n
y
... c
j .
j .
r i
.. i
r i
c j
. ij
2 1
2 1
2 2
1 2
+ −
− =
∑ ∑
∑∑
= =
= =
2.12d
BK JK
JKK JKB
JKT JKG
− −
− =
2.12e Jumlah-jumlah kuadrat tersebut diatas dapat diringkas dalam tabel anova untuk
memudahkan analisis
Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi Sumber Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas Kuadrat Tengah
F
hitung
Baris
JKB
1 −
r 1
2 1
− =
r JKB
s
2 4
2 1
1
s s
f =
Kolom
JKK 1
− c
1
2 2
− =
c JKK
s
2 4
2 2
1
s s
f =
Interaksi
BK JK
1 1
− − c
r
1 1
2 3
− −
= c
r BK
JK s
2 4
2 3
1
s s
f =
Galat
JKG 1
− n
rc
1
2 4
− =
n rc
JKG s
Total
JKT 1
− rcn
Langkah-langkah pengujian hipotesis 1.
Rumusan hipotesis a. 0
... :
2 1
= =
= =
′
r
H α
α α
.
1
H ′
: 0 ≠
∃
i
α .
b. 0 ...
:
2 1
= =
= =
′′
c
H β
β β
.
1
H ′′
: 0 ≠
∃
j
β .
c. ...
:
12 11
= =
= =
′′′
rc
H αβ
αβ αβ
.
:
1
H ′′ ′
≠ ∃
ij
αβ .
2. Tentukan α .
3. Wilayah kritis a.
H ditolak bila
[ ]
1 1
1
− −
n rc
, r
f f
α
b. H ditolak bila
[ ]
1 1
2
− −
n rc
, c
f f
α
c. H ditolak bila
[ ]
1 1
1
3
− −
− n
rc ,
c r
f f
α
4. Perhitungan. 5. Tabel analisis variansi.
6. Kesimpulan. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI