Distribusi F Analisis Variansi

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ Γ = − − − − ∞ + ∫ 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 r z r z w z r r r r r r r r r r dz r w r z exp ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 2 1 z z z w r z r r r r r r r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 − − − − ∞ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ Γ = ∫ dz r w r z exp ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 2 1 dz r w r z exp z w r r r r r r r r r r ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ Γ = − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∞ + ∫ 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 dz r w r z exp z r r w r r r r r r r r ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − Γ Γ = ∫ ∞ − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 Jika variabel integrasinya diubah dengan ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 1 2 2 1 r w r z y , dapat diperlihatkan bahwa ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 1 2 2 1 r w r z y maka 1 1 1 1 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = r w r y z sehingga dy r w r dz 1 2 1 1 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = masukkan kedalam persamaan berikut dy r w r z z r r w r r w g r r r r r r ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − Γ Γ = ∫ ∞ − + + − 1 2 exp 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 maka persamaannya akan menjadi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dy r w r z z r r w r r w g r r r r r r ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − Γ Γ = ∫ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − 1 2 exp 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 = 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 r r r r r r w r r + − Γ Γ ∫ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 1 2 1 2 1 1 2 r r r w r y dy r w r y exp ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − −1 2 1 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − ∞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Γ Γ = ∫ 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 r r r r r r r r r r r w r y r r w r r dy r w r y exp ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − −1 2 1 1 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Γ Γ = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 r w r r w r r r w r r r r r r r r r r dy y exp y r r − ∫ ∞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Γ Γ = r w r r w r r w r r r w r r r r r r r r r r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + Γ 1 2 2 2 1 r r ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + Γ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Γ Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 r r r w r r r w r r r r r r selainnya w r w r w r r r r r r r r r r , , 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 = ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + Γ Γ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2. Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah Misalkan terdapat k populasi. Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran n . Populasi tersebut menyebar normal dengan rata-rata k μ μ μ ,..., , 2 1 dan variansi sama 2 σ . Akan dilakukan pengujian hipotesis : k H μ μ μ = = = ... : 2 1 . 1 H : j i j i ≠ ≠ ∃ , μ μ . Misal ij y adalah pengamatan ke j dari populasi ke i dan berikut susunan datanya. Tabel 2.1 klasifikasi satu arah dengan k sempel pengamatan Populasi 1 2 … i … k 11 y 12 y Μ n y 1 21 y 22 y Μ n y 2 … … … 1 i y 2 i y Μ in y … … … 1 k y 2 k y Μ kn y Total . 1 T . 2 T … . i T … . k T .. T Rata-rata . y 1 . y 2 … . i y … . k y .. y Dimana . i T = Total semua pengamatan sampel dari populasi ke i . .. T = Total semua nk pengamatan. . i y = Rata-rata semua pengamatan sampel dari populasi ke i . .. y = Rata-rata semua nk pengamatan. Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk ij i ij y ε μ + = 2.1 Bila ij ε adalah simpangan pengamatan ke j dalam sampel ke i dari rata-rata populasi ke i . Bentuk lain dari persamaan ini diperoleh dengan substitusi i i α μ μ + = , sedangkan μ adalah rata-rata semua i μ artinya k k i i ∑ = = 1 μ μ maka persamaan 2.1 menjadi ij i ij y ε α μ + + = 2.2 dengan ketentuan 1 1 = − = ∑ ∑ = = k i i k i i μ μ α dengan i α sebagai pengaruh populasi ke i . Dari persamaan 2.2 tersusun atas tiga hal yaitu i α μ, dan ij ε . Dengan demikian persoalannya bagaimana memperoleh nilai i α μ, dan ij ε . Salah satu cara yang digunakan adalah metode kuadrat terkecil. Jadi menduga i α μ, dan ij ε dengan membuat jumlah kuadrat sisa atau galat sekecil mungkin. Jumlah kuadrat galat ditulis dengan JKG . ∑∑ = = = k i n j ij JKG 1 1 2 ε ∑∑ = = − − = k i n j i ij y 1 1 2 α μ 2.3 Penduga bagi μ adalah μˆ maka 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑ = = μ α μ μ k i n j i ij y JKG 2 1 1 = − − − ∑∑ = = k i n j i ij ˆ y α μ 1 1 1 1 1 1 = − − ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = k i n j k i n j k i n j i ij ˆ y α μ ∑∑ ∑∑ = = = = = − − k i n j k i n j ij ˆ y 1 1 1 1 μ ∑∑ ∑∑ = = = = = k i n j k i n j ij y ˆ 1 1 1 1 μ kn y ˆ k i n j ij ∑∑ = = = 1 1 μ .. y ˆ = μ 2.3a Penduga bagi i α adalah i αˆ maka 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑ = = i k i n j i ij i y JKG α α μ α 2 1 1 = − − − ∑∑ = = k i n j i ij ˆ ˆ y α μ 1 1 1 1 1 1 = − − ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = k i n j k i n j k i n j i ij ˆ ˆ y α μ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = − = k i n j k i n j k i n j ij i ˆ y ˆ 1 1 1 1 1 1 μ α karena .. y ˆ = μ maka ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = − = k i n j k i n j k i n j .. ij i y y ˆ 1 1 1 1 1 1 α ∑ = − = n j .. . i i y kn y ˆ kn 1 α kn y kn y ˆ n j .. . i i ∑ = − = 1 α kn y kn ny ˆ .. . i i − = α .. . i i y k y ˆ − = α .. . i i y y ˆ − = α 2.3b Apabila ij ε adalah galat, penduganya adalah ij e , akan diperoleh dengan memasukkan parameter i α μ ˆ , ˆ pada persamaan 2.2 sehingga didapat .. . i .. ij ij y y y y e − − − = . i ij ij y y e − = 2.3c Parameter yang didapat disubstitusikan dalam persamaan 2.2 menjadi . i ij .. . i .. ij y y y y y y − + − + = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dengan sedikit merubah susunannya menjadi . i ij .. . i .. ij y y y y y y − + − = − Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan diperoleh bentuk berikut [ ] [ ] ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = = = = = = − + − − + − = − + − − + − = − + − = − k i n j i ij k i n j i ij i k i n j i k i n j i ij i ij i i k i n j k i n j i ij i ij y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y 1 1 2 . 1 1 . .. . 1 1 2 .. . 1 1 2 . . .. . 2 .. . 1 1 1 1 2 . .. . 2 .. 2 2 Penjumlahan yang ditengah sama dengan nol, karena . i n j ij n j . i ij y n y y y − = − ∑ ∑ = = 1 1 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ ∑ = = n y n y n j ij n j ij 1 1 = Penjumlahan yang pertama tidak mempunyai j sebagai subkrip, maka dapat dituliskan sebagai ∑∑ ∑ = = = − = − k i n j k i .. . i .. . i y y n y y 1 1 1 2 2 sehingga menjadi ∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = − + − = − k i n j . i ij k i n j k i .. . i .. ij y y y y n y y 1 1 2 1 1 1 2 2 2.4 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total, ditulis dengan JKT . Ruas kanan suku pertama disebut jumlah kuadrat antar kelompok, ditulis JKK . Suku kedua disebut jumlah kuadrat dalam kelompok, ditulis JKG . Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut JKG JKK JKT + = Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus berikut ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = = = = + − = + − = − = k i k i k i n j n j ij n j ij k i n j ij ij k i n j ij y y y y y y y y y y JKT 1 1 1 1 2 .. 1 .. 1 2 1 1 2 .. .. 2 1 1 2 .. 2 2 dengan ∑∑ = = = k i n j ij .. y y 1 1 dan kn y y .. .. = ∑∑ = = + − = k i .. .. .. n j ij y kn y y kn y 1 2 1 2 2 ∑∑ = = + − = k i .. .. n j ij y kn y kn y 1 2 2 1 2 2 ∑∑ = = − = k i .. n j ij y kn y 1 2 1 2 ∑∑ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k i .. n j ij kn y kn y 1 2 1 2 ∑∑ = = − = k i .. n j ij kn y y 1 2 1 2 2.4a PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∑ = − = k i .. . i y y n JKK 1 2 ∑ = + − = k i .. .. . i . i y y y y n 1 2 2 2 ∑ ∑ ∑ = = = + − = k i k i i k i i y n y y n y n 1 2 .. 1 .. . 1 2 . 2 dengan .. k i . i y k y = ∑ =1 dan n y y n j ij . i ∑ = = 1 ∑ ∑ = = + − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = k i .. .. .. n j ij y kn y k y n n y n 1 2 2 1 2 2 2 1 .. k i . i y kn n y n − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ = kn y kn n y .. k i . i kn y n y .. k i . i 2 1 2 − = ∑ = 2.4b JKK JKT JKG − = 2.4c Jumlah jumlah kuadrat tersebut diatas dapat dituliskan kedalam tabel anova untuk memudahkan analisis. Tabel 2.2 analisis variansi satu arah Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah hitung F Kelompok JKK 1 − k 1 2 1 − = k JKK s 2 2 2 1 s s f = Galat JKG 1 − n k 1 2 2 − = n k JKG s Total JKT 1 − nk Langkah-langkah pengujian Hipotesis 1. Rumusan hipotesis k H μ μ μ = = = ... : 2 1 . 1 H : j i j i ≠ ≠ ∃ , μ μ . 2. Tentukan α . 3. Wilayah kritis. H ditolak bila [ ] 1 , 1 − − n k k f f hitung α . 4. Perhitungan. 5. Tabel analisis variansi. 6. Kesimpulan. Telah diketahui bahwa setiap pengamatan ditulis sebagai berikut ij i ij y ε μ + = dan diketahui pula bahwa i i α μ μ + = atau i i α μ μ = − Untuk menguji rata-rata dalam suatu populasi yang terdiri dari beberapa kelompok, maka diuji juga rata-rata kelompok apakah sama atau tidak Maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI kedua hipotesis k H μ μ μ = = = ... : 2 1 dan ... : 2 1 = = = = k H α α α adalah sama. Jadi pada dasarnya menguji kesamaan rata-rata antara kelompok adalah sama dengan menguji pengaruh perlakuan. 3. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan menyusun data tersebut dalam r baris dan c kolom, seperti pada tabel berikut. Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan per Sel Kolom Baris 1 2 … j … c Total Rata-rata 1 11 y 12 y … j y 1 … c y 1 . 1 T . y 1 2 21 y 22 y … j y 2 … c y 2 . 2 T . y 2 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ i 1 i y 2 i y … j i y … ic y . i T . i y Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ r 1 r y 2 r y … j r y … rc y . r T . r y Total 1 . T 2 . T … j T . … c T . . . T Rata-rata 1 . y 2 . y … j . y … c . y . . y Dimana . i T = Total semua pengamatan dalam baris ke i . j T . = Total semua pengamatan dalam kolom ke j . . . T = Total semua rc pengamatan . i y = Rata-rata semua pengamatan dalam baris i . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Rata-rata populasi pada baris ke i adalah c c j ij i ∑ = = 1 . μ μ Rata-rata populasi bagi kolom ke j adalah r r i ij j ∑ = = 1 . μ μ Rata-rata rc populasi adalah rc r c ij ∑∑ = μ μ Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk ij ij ij y ε μ + = 2.5 Dimana ij ε adalah simpangan nilai pengamatan ij y dari rata-rata populasi ij μ . Bila i α adalah pengaruh baris ke i dan j β adalah pengaruh kolom ke j maka diperoleh j i ij β α μ μ + + = Sehingga persamaan diatas menjadi ij j i ij y ε β α μ + + + = 2.6 Kemudian disyaratkan ∑ ∑ = = = = r i c j j i 1 1 β α Nilai , , , j i β α μ dapat diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Nilai tersebut didapatkan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, dan ditulis JKG . ∑∑ = = = r i c j ij JKG 1 1 2 ε ∑∑ = = − − − = r i c j j i ij y 1 1 2 β α μ 2.7 Penduga nilai μ adalah μˆ maka 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑ = = μ β α μ μ r i c j j i ij y JKG 2 1 1 = − − − − ∑∑ = = r i c j j i ij ˆ y β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = = r i c j r i c j r i c j r i c j j i ij ˆ y β α μ 1 1 1 1 = − − − ∑∑ ∑∑ = = = = r i c j r i c j ij ˆ y μ 1 1 = − ∑∑ = = μ ˆ rc y r i c j ij rc y ˆ r i c j ij ∑∑ = = = 1 1 μ .. y ˆ = μ 2.7a Penduga nilai i α adalah i αˆ maka 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑ = = i r i c j j i ij i y JKG α β α μ α PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2 1 1 = − − − − ∑∑ = = r i c j j i ij ˆ ˆ y β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = = r i c j r i c j r i c j r i c j j i ij ˆ ˆ y β α μ 1 1 1 1 1 1 = − − − ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = r i c j r i c j r i c j i ij ˆ ˆ y α μ 1 1 1 1 1 1 = − − ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = r i c j r i c j r i c j i ij ˆ ˆ y α μ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = − = r i c j r i c j ij r i c j i ˆ y ˆ 1 1 1 1 1 1 μ α karena .. y ˆ = μ maka ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = − = r i c j r i c j .. ij r i c j i y y ˆ 1 1 1 1 1 1 α ∑ = − = c i .. . i i y rc y ˆ rc 1 α rc y rc y ˆ .. c i . i i − = ∑ =1 α rc y rc y c ˆ .. . i i − = α .. . i i y r y ˆ − = α .. . i i y y ˆ − = α 2.7b PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Penduga nilai β adalah j βˆ maka 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑ = = j r i c j j i ij j y JKG β β α μ β 2 1 1 = − − − − ∑∑ = = r i c j j i ij ˆ ˆ ˆ y β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = = r i c j r i c j r i c j r i c j j i ij ˆ ˆ ˆ y β α μ 1 1 1 1 1 1 = − − − ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = r i c j r i c j r i c j j ij ˆ ˆ y β μ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = − = r i c j r i c j ij r i c j j ˆ y ˆ 1 1 1 1 1 1 μ β karena .. . i i y y ˆ − = α maka ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = − = r i c j r i c j .. ij r i c j j y y ˆ 1 1 1 1 1 1 β .. r i j . j y rc y ˆ rc − = ∑ =1 β rc y rc y ˆ .. r i j . j − = ∑ =1 β rc y rc y r ˆ .. j . j − = β .. j . j y c y ˆ − = β .. j . j y y ˆ − = β 2.7c PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Apabila ij ε adalah galat, diduga dengan ij e , akan diperoleh melalui substitusi penduga j i , , β α μ kedalam persamaan 2.6 sehingga didapat .. j . .. . i .. ij ij y y y y y y e − − − − − = .. j . . i ij ij y y y y e + − − = 2.7d Parameter yang telah didapat disubstitusikan dalam persamaan 2.6 menjadi .. j . . i ij .. j . .. . i .. ij y y y y y y y y y y + − − + − + − + = Dengan sedikit merubah susunannya akan menjadi .. j . . i ij .. j . .. . i .. ij y y y y y y y y y y + − − + − + − = − Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlakan diperoleh persamaan berikut ∑∑ ∑∑ = = = = + − − + − + − = − r i c j r i c j .. j . . i ij .. j . .. . i .. ij y y y y y y y y y y 1 1 1 1 2 2 2 2 .. . . 1 1 .. . .. . . 1 1 .. . .. . 1 1 .. . 1 1 2 .. . . 1 1 1 1 2 .. . 2 .. . 2 2 2 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y j i ij r i c j j j i ij r i c j i j r i c j i r i c j j i ij r i c j r i c j j i + − − − + + − − − + − − + + − − + − + − = ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = = = = = = ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = + − − + − + − = − r i c j r i c j .. j . . i ij .. j . .. . i r i c j .. ij y y y y y y r y y c y y 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 ……………………………………………………………………… 2.8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Ruas kiri disebut jumlah kuadat total JKT , sedang ruas kanan suku pertama disebut jumlah kuadrat karena baris JKB , suku kedua disebut jumlah kuadrat karena kolom JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat galat JKG . Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut JKG JKK JKB JKT + + = Untuk memudahkan perhitungan maka dilakukan penyederhanaan rumus sebagai berikut ∑∑ = = − = r i c j .. ij y y JKT 1 1 2 ∑∑ = = + − = r i c j .. .. ij ij y y y y 1 1 2 2 2 ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = + − = r i c j r i c j r i c j .. ij .. ij y y y y 1 1 1 1 1 1 2 2 2 dengan ∑∑ = = = r i c j ij y .. y 1 1 dan rc y y .. .. = ∑∑ = = + − = r i .. .. .. c j ij y rc y rc y y 1 2 1 2 2 ∑∑ = = + − = r i .. .. c j ij y rc y rc y 1 2 2 1 2 2 ∑∑ = = − = r i .. c j ij y rc y 1 2 1 2 2 1 1 2 ∑∑ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = r i .. c j ij rc y rc y ∑∑ = = − = r i .. c j ij rc y y 1 2 1 2 2.8a PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∑ = − = r i .. . i y y c JKB 1 2 ∑ = + − = r i .. .. . i . i y y y y c 1 2 2 2 ∑ ∑ ∑ = = = + − = r i r i .. . i .. r i . i y c y y c y c 1 1 2 1 2 2 dengan .. r i . i y r y = ∑ =1 dan c y y c j ij . i ∑ = = 1 2 2 1 1 2 .. , , .. r i c j ij y rc y r y c c y c + − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ = = 2 2 2 1 2 .. .. r i . i y rc y rc c y c + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = 2 1 2 .. r i . i y rc c y − = ∑ = 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ = rc y rc c y .. r i . i rc y c y .. r i . i 2 1 2 − = ∑ = 2.8b PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∑ = − = c j .. j . y y r JKK 1 2 ∑ = + − = c j .. .. j . j . y y y y r 1 2 2 2 ∑ ∑ ∑ = = = + − = c j c i .. j . .. c j j . y r y y r y r 1 1 2 1 2 2 dengan .. c j j . y c y = ∑ =1 dan r y y r i ij j . ∑ = = 1 2 2 1 1 2 .. , , .. r j r i ij y rc y c y r r y r + − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ = = 2 2 2 2 2 .. .. r i j . y rc y rc r y r + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = 2 1 2 .. c i j . y rc c y − = ∑ = 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ = rc y rc r y .. c i j . rc y r y .. c j j . 2 1 2 − = ∑ = 2.8c JKK JKB JKT JKT − − = 2.8d PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jumlah-jumlah kuadrat tersebut dapat diringkas dalam tabel anova untuk memudahkan analisis. Tabel 2.3 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah hitung F Baris JKB 1 − r 1 2 1 − = r JKB s 2 3 2 1 1 s s f = Kolom JKK 1 − c 1 2 2 − = c JKK s 2 3 2 2 2 s s f = Galat JKG 1 1 − − c r 1 1 2 3 − − = c r JKG s Total JKT 1 − rc Langkah-langkah pengujian hipotesis 1. Rumusan hipotesis. a. ... : 2 1 = = = = ′ r H α α α . 1 H ′ : 0 ≠ ∃ i α . b. ... : 2 1 = = = = ′′ c H β β β . 1 H ′′ : 0 ≠ ∃ j β . 2. Tentukan α . 3. Wilayah kritis a. H ditolak bila [ ] 1 1 1 − − n rc , r f f α . b. H ditolak bila [ ] 1 1 2 − − n rc , c f f α . 4. Perhitungan. 5. Tabel analisis variansi. 6. Kesimpulan. 4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi Tabel 2.4 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan per Sel Kolom Baris 1 2 … c Total Rata-rata 111 y 121 y … 1 1c y 112 y 122 y … 2 1c y 1 . . . . . 1 T . . y 1 . . . n y 11 n y 12 … cn y 1 211 y 221 y … 1 2c y 212 y 222 y … 2 2c y 2 . . . . . 2 T . . y 2 . . . n y 21 n y 22 … cn y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 r y 21 r y … 1 rc y 12 r y 22 r y … 2 rc y . . . r . . . . . r T . . r y . . . n r y 1 n r y 2 … rcn y Total . 1 . T . 2 . T … . . c T . . . T Rata-rata . . y 1 . . y 2 … . c . y ... y Dimana : . ij T = Total pengamatan dalam sel ke ij . .. i T = Total pengamatan dalam baris ke i . . . j T = Total pengamatan dalam kolom ke j . ... T = Total semua rcn pengamatan. . ij y = Rata-rata pengamatan dalam sel ke ij . .. i y = Rata-rata pengamatan dalam baris ke i . . j . y = Rata-rata pengamatan dalam kolom ke j . ... y = Rata-rata semua rcn pengamatan. Rata-rata umum pengamatan adalah rcn y y r i c j n k ijk ... ∑∑∑ = = = = 1 1 1 Rata-rata baris ke i adalah cn y y c j n k ijk .. i ∑∑ = = = 1 1 Rata-rata kolom ke j adalah n r y y r i n k ijk . j . ∑∑ = = = 1 1 Rata-rata sel ke ij adalah n y y n k ijk . ij ∑ = = 1 Setiap pengamatan dalam sel ijk y dapat dituliskan dalam bentuk ijk ij ijk y ε μ + = 2.9 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dimana ijk ε merupakan simpangan nilai ijk y yang teramati pada sel ke ij dari rata-rata populasi ij μ . Misalkan ij αβ melambangkan pengaruh interaksi baris ke i dan kolom ke j , maka i α adalah pengaruh baris ke i , dan j β adalah pengaruh kolom ke j serta μ adalah rata-rata umum. Sehingga persamaannya menjadi ij j i ij αβ β α μ μ + + + = maka persamaan 2.9 menjadi ijk ij j i ijk y ε αβ β α μ + + + + = 2.10 dan kemudian dikenakan syarat 1 = ∑ = r i i α 1 = ∑ = c j j β 1 = ∑ = r i ij αβ 1 = ∑ = c j ij αβ Nilai dari μ , , , αβ β α diperoleh melalui pendugaan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, sehingga jumlah kuadrat semua simpangan itu minimum. Jumlah kuadrat semua simpangan disebut jumlah kuadrat galat JKG . ∑∑∑ = = = = r i c j n k ijk JKG 1 1 1 2 ε ∑∑∑ = = = − − − − = r i c j n k ij j i ijk y 1 1 1 2 αβ β α μ 2.11 Penduga untuk nilai μ adalah μˆ maka 1 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑∑ = = = μ αβ β α μ μ r i c j n k ij j i ijk y JKG 2 1 1 1 = − − − − − ∑∑∑ = = = r i c j n k ij j i ijk ˆ y αβ β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = r i c j n k ij r i c j n k j r i c j n k i r i c j n k r i c j n k ijk ˆ y αβ β α μ 1 1 1 1 1 1 = − − − − ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = r i c j n k r i c j n k ijk ˆ y μ 1 1 1 = − ∑∑∑ = = = μ ˆ rcn y r i c j n k ijk rcn y ˆ r i c j n k ijk ∑∑∑ = = = = 1 1 1 μ ... y ˆ = μ 2.11a Penduga untuk nilai i α adalah i αˆ maka 1 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑∑ = = = i r i c j n k ij j i ijk i y JKG α αβ β α μ α 2 1 1 1 = − − − − − ∑∑∑ = = = r i c j n k ij j i ijk ˆ ˆ y αβ β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = r i c j n k ij r i c j n k j r i c j n k i r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ y αβ β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = c j n k r i ij r i c j n k j r i c j n k i r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ y αβ β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = r i c j n k i r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ y α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = r i c j n k i r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ y α μ karena ... y ˆ = μ maka ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = − = r i c j n k r i c j n k ijk r i c j n k i y y 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ˆ α ... c j n k .. i i y rcn y ˆ rcn − = ∑∑ = = 1 1 α rcn y rcn y ˆ c j ... n k .. i i ∑∑ = = − = 1 1 α rcn y rcn y cn ˆ ... .. i i − = α ... .. i i y r y ˆ − = α ... .. i y y ˆ − = α 2.11b Penduga untuk nilai j β adalah j βˆ maka 1 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑∑ = = = j r i c j n k ij j i ijk j y JKG β αβ β α μ β 2 1 1 1 = − − − − − ∑∑∑ = = = r i c j n k ij j i ijk ˆ ˆ ˆ y αβ β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = r i c j n k ij r i c j n k j r i c j n k i r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ ˆ y αβ β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − ∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = r i n k c j ij r i c j n k j r i c j n k i r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ ˆ y αβ β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = r i c j n k j r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ y β μ 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = r i c j n k j r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ y β μ karena ... y ˆ = μ maka ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = − = r i c j n k ... r i c j n k ijk r i c j n k j y y ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 β ... r i n k . j . j y rcn y ˆ rcn − = ∑∑ = = 1 1 β rcn y rcn y ˆ r i ... n k . j . j ∑∑ = = − = 1 1 β rcn y rcn y n r ˆ ... . j . j − = β ... . j . j y c y ˆ − = β ... . j . j y y ˆ − = β 2.11c Penduga untuk nilai ij αβ adalah ij β α ˆ ˆ maka 1 1 1 2 = ∂ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − − ∂ = ∂ ∂ ∑∑∑ = = = ij r i c j n k ij j i ijk ij y JKG αβ αβ β α μ αβ 2 1 1 1 = − − − − − ∑∑∑ = = = r i c j n k ij j i ijk ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y β α β α μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = r i c j n k ij r i c j n k j r i c j n k i r i c j n k r i c j n k ijk ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y β α β α μ karena ... y ˆ = μ ... .. i i y y ˆ − = α ... . j . j y y ˆ − = β maka ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = − − − = r i c j n k r i c j n k r i c j n k j i r i c j n k ijk r i c j n k ij ˆ ˆ ˆ y ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 β α μ β α ... . j . ... .. i ... r i c j n k ijk ij y y rcn y y rcn y rcn y ˆ ˆ rcn − − − − − = ∑∑∑ = = = 1 1 1 β α ... . j . ... .. i ... n k ijk ij y rcn y rcn y rcn y rcn y rcn y n r ˆ ˆ rcn + − + − − = ∑ =1 β α rcn y rcn y rcn y rcn y n r ˆ ˆ ... . j . .. i K k ijk ij + − − = ∑ =1 β α ... . j . .. i . ij ij y y y y ˆ ˆ + − − = β α 2.11d Bila ijk ε merupakan galat dan penduga bagi ijk ε adalah ijk e sehingga akan diperoleh nilai dugaan bagi ijk e yaitu ij j i ijk ijk ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y e β α β α μ − − − − = ... . j . .. i . ij ... . j . ... .. i ... ijk ijk y y y y y y y y y y e + − − − − − − − − = . ij ijk ijk y y e − = 2.11e Sehingga bila parameter ini dimasukkan dalam persamaan 2.10 akan diperoleh bentuk . ij ijk ... . j . .. i . ij ... . j . ... .. i ... ijk y y y y y y y y y y y y − + + − − + − + − + = Dengan sedikit merubah susunannya akan diperoleh persamaan berikut . ij ijk ... . j . .. i . ij ... . j . ... .. i ... ijk y y y y y y y y y y y y − + + − − + − + − = − Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan maka diperoleh persamaan berikut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI [ ] 2 1 1 1 1 1 1 2 . ij ijk ... . j . .. i . ij ... . j . r i c j n j ... .. i r i c j n k ... ijk y y y y y y y y y y y y − + + − − + − + − = − ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = − + − − + − − + + − − − + − − + + − − − + − − + − + + − − + − + − = r i c j n k ij ijk j i ij ij ijk r i c j n k j j i ij r i c j n k j ij ijk r i c j n k i j i ij r i c j n k i j r i c j n k i r i c k n j ij ijk r i c j n k j i ij r i c j n k j r i c j n k i y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y 1 1 1 . ... . . .. . . 1 1 1 ... . . ... . . .. . 1 1 1 ... . . . 1 1 1 ... .. ... . . .. . 1 1 1 ... .. ... . . 1 1 1 ... .. 1 1 1 2 . 1 1 1 2 ... . . .. . 1 1 1 2 ... . . 1 1 1 2 ... .. 2 2 2 2 2 2 ∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = − + + − − + − + − = − r i c j n k . ij ijk r i c j ... . j . .. i . ij c j ... . j . r i ... .. i r i c j n k ... ijk y y y y y y n y y n r y y cn y y 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 …..………………………………………………………………... 2.12 Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total JKT , sedangkan ruas kanan adalah suku pertama disebut jumlah kuadrat karena baris JKB , suku kedua disebut jumlah kuadrat karena kolom JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat karena baris dan kolom BK JK . Suku terakhir disebut jumlah kuadrat galat JKG . Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut JKG BK JK JKK JKB JKT + + + = Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus-rumus jumlah kuadrat sebagai berikut ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = + − = + − = − = r i c j n k ... r i c j n k ... ijk r i c j n k ijk r i c j n k ... ... ijk ijk r i c j n k ... ijk y y y y y y y y y y JKT 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 dengan ∑∑∑ = = = = r i c j n k ijk ... y y 1 1 1 dan rcn y y ... ... = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = + − = + − = + − = ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = rcn y rcn y y rcn y y rcn y rcn y y rcn y y rcn y y rcn y y y ... r i c j n k ijk r i c j n k ... ijk ... ... r i c j n k ijk ... ... ... r i c j n k ijk ... ... ... r i c j n k ijk rcn y y ... r i c j n k ijk 2 1 1 1 2 − = ∑∑∑ = = = 2.12a ∑ = − = r i ... .. i y y cn JKB 1 2 ∑ = + − = r i ... ... .. i .. i y y y y cn 1 2 2 2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∑ ∑ ∑ = = = + − = r i ... r i ... i ... r i .. i y cn y cn y y cn 1 2 1 1 2 2 dengan ∑ = = r i ... .. i y r y 1 dan ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑∑ = = cn y y c j n k ijk .. i 1 1 ∑ ∑∑ = = = + − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = r i ... ... ... c j n k ijk y rcn y rcn y cn y cn 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ... r i .. i y rcn cn y cn − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ = rcn y rcn cn y ... r i .. i rcn y cn y ... r i .. i 2 1 2 − = ∑ = 2.12b ∑ = − = c j ... . j . y y n r JKK 1 2 ∑ = + − = c j j j y y y y n r 1 ... 2 ... ... . . 2 . . 2 ∑ ∑ ∑ = = = + − = c j ... ... c j . j . c j . j . y n r y y n r y n r 1 2 1 1 2 2 dengan ... c j . j . y c y = ∑ =1 dan ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑∑ = = n r y y r i n k ijk . j . 1 1 2 1 2 1 1 2 ... ... ... c j r i n k ijk y rcn y y rcn n r x rn + − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑∑ = = = 2 1 2 ... c j . j . y rcn n r y n r − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ = rcn y rcn n r y ... c j . j . rcn y n r y ... c j . j . 2 1 2 − = ∑ = 2.12c ∑∑ = = + − − = r i c j ... . j . .. i . ij y y y y n BK JK 1 1 2 [ ] 2 2 2 1 1 2 ... . j . ... ... .. i . ij ... ... . j . . j . .. i . j . . ij . j . ... .. i . j . .. i .. i r i n j . ij .. i ... . ij . j . . ij .. i . ij . ij y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y n + − − + − + + − − + + − + − − = ∑∑ = = [ ] 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ... ... . j . ... .. i . j . .. i ... . ij . j . .. i . j . . ij .. i . ij r i c j . ij y y y y y y y y y y y y y y y y n + − − + + + + − − = ∑∑ = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ = = 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 rn y rcn y n r y rcn y cn y n r y cn y rcn y n y n r y cn y n r y n y cn y n y n y n ... ... . j . ... .. i . j . .. i ... . ij . j . .. i . j . . ij .. i . ij r i c j . ij 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = r i c j ... ... r i c j . j . ... r i c j .. i . j . r i c j .. i r i c j ... . ij r i c j . j . r i c j .. i r i c j r i c j . j . . ij .. i . ij r i c j . ij rcn y n rcn y n r y n rcn y cn y n n r y cn y n rcn y n y n cn y n cn y n n r y n y n cn y n y n n y n rcn y rcn y rcn y rcn y rcn y n r y cn y n r y cn y n y ... ... ... ... ... c j . j . r i .. i c j . j . r i .. i r i c j . ij 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 + − − + + + + − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = = = = rcn y n r y cn y n y ... c j . j . r i .. i r i c j . ij 2 1 2 1 2 2 1 2 + − − = ∑ ∑ ∑∑ = = = = 2.12d BK JK JKK JKB JKT JKG − − − = 2.12e Jumlah-jumlah kuadrat tersebut diatas dapat diringkas dalam tabel anova untuk memudahkan analisis Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah F hitung Baris JKB 1 − r 1 2 1 − = r JKB s 2 4 2 1 1 s s f = Kolom JKK 1 − c 1 2 2 − = c JKK s 2 4 2 2 1 s s f = Interaksi BK JK 1 1 − − c r 1 1 2 3 − − = c r BK JK s 2 4 2 3 1 s s f = Galat JKG 1 − n rc 1 2 4 − = n rc JKG s Total JKT 1 − rcn Langkah-langkah pengujian hipotesis 1. Rumusan hipotesis a. 0 ... : 2 1 = = = = ′ r H α α α . 1 H ′ : 0 ≠ ∃ i α . b. 0 ... : 2 1 = = = = ′′ c H β β β . 1 H ′′ : 0 ≠ ∃ j β . c. ... : 12 11 = = = = ′′′ rc H αβ αβ αβ . : 1 H ′′ ′ ≠ ∃ ij αβ . 2. Tentukan α . 3. Wilayah kritis a. H ditolak bila [ ] 1 1 1 − − n rc , r f f α b. H ditolak bila [ ] 1 1 2 − − n rc , c f f α c. H ditolak bila [ ] 1 1 1 3 − − − n rc , c r f f α 4. Perhitungan. 5. Tabel analisis variansi. 6. Kesimpulan. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

5. Contoh Analisis variansi

Tiga varitas kentang hendak dibandingkan hasilnya. Percobaan hendak dilaksanakan dengan menggunakan 9 petak yang seragam di masing-masing 4 lokasi yang berbeda. Dari setiap lokasi setiap varitas dicobakan pada 3 petak yang ditentukan secara acak. Hasilnya dalam kwintal per petak adalah sebagai berikut. Tabel 2.7 Hasil perbandingan tiga varietas kentang dengan empat lokasi Varitas Kentang Lokasi A B C 1 15 20 22 19 24 17 12 18 14 2 17 24 26 10 18 19 13 22 21 3 9 12 10 12 15 5 6 10 8 4 14 21 19 8 16 15 11 14 12 Gunakan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa: a. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 3 varitas kentang yang berbeda. b. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 4 lokasi yang berbeda. c. Tidak intraksi antara lokasi dan varitas kentang. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Penyelesaian: Model analisis variansi adalah ijk ij j i ijk y ε αβ β α μ + + + + = 1. Rumusan hipotesis a. H ′ : 0 4 3 2 1 = = = = α α α α . 1 H ′ : 0 ≠ ∃ i α . b. H ′′ : 0 3 2 1 = = = β β β . 1 H ′′ : ≠ ∃ j β c. H ′′ ′ : ... 43 12 11 = = = = αβ αβ αβ . 1 H ′′ ′ : ≠ ∃ ij αβ . 2. 05 , = α 3. Wilayah kritis a. H ditolak bila 01 , 3 24 , 3 05 , = f f b. H ditolak bila 40 . 3 24 , 2 05 , = f f c. H ditolak bila 51 , 2 24 , 6 05 , = f f 4. Perhitungan A B C total 1 46 62 53 161 2 40 64 66 170 3 27 37 23 87 4 33 51 46 130 total 146 214 188 548 36 548 12 15 19 8 5 10 21 19 26 14 17 22 14 16 21 10 15 12 22 18 24 18 24 20 11 8 14 6 12 9 13 10 17 12 19 15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = JKT 23 , 1000 78 , 8341 9342 = − = 22 , 486 78 , 8341 8810 36 548 9 130 87 170 161 2 2 2 2 2 = − = − + + + = JKB 22 , 196 78 , 8341 8538 36 548 12 188 214 146 2 2 2 2 = − = − + + = JKK 45 , 78 78 , 3841 8538 8180 67 , 9084 78 , 8341 8538 8810 3 46 23 3 66 53 51 37 64 62 33 27 40 46 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − − = + − − + + + + + + + + + + + = BK JK 33 , 257 45 , 78 22 , 196 22 , 468 23 , 1000 = − − − = JKG 5. tabel anova Tabel 2.8 Analisis Variansi dari data 2.7 Sumber Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah hitung F Baris 3 468,22 156,07 14,56 Kolom 2 196,22 98,11 9,15 Interaksi 6 78,45 13,08 1,22 Galat 24 257,33 10,72 Total 35 1000,23 6. Kesimpulan a. H ditolak karena 01 , 3 56 , 14 berarti ada pengaruh pada hasil 3 varitas kentang. b. H ditolak karena 40 , 3 15 , 9 berarti ada pengaruh pada hasil 4 lokasi. c. H diterima karena 51 , 2 22 , 1 berarti tidak ada interaksi antara lokasi dengan varietas kentang.