Teorema 2.2
Jika A adalah matriks
n n
×
, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.
a. A matriks tak singular.
b.
= Ax
hanya mempunyai pemecahan trivial. c.
A ekivalen baris dengan
n
I . d.
b Ax
=
konsisten untuk tiap-tiap matriks
b
yang berukuran
1 ×
n
. e.
det ≠
A
f. A mempunyai rank
n
g. Vektor-vektor baris A bebas linier.
h. Vektor-vektor kolom A bebas linier.
Akibat 1:
Matriks A adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang mempunyai invers, maka
det ≠
A
, sehingga matriks tersebut mempunyai
n A
rank =
. Karena A mempunyai rank n, maka ruang baris dari A berdimensi n, sehingga
vektor-vektor baris A bebas linier. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI
Dalam mendapatkan suatu penyelesaian Y
X X
X b
1
′ ′
=
−
, bagi persamaan normal
Y X
b X
X ′
= ′
, maka disyaratkan matriks X
X′ bersifat tidak singular.
Berdasarkan akibat 1, berarti persamaan normalnya harus terdiri atas persamaan- persamaan yang bebas satu sama lain yang banyaknya sama dengan banyaknya
parameter yang harus diduga. Tetapi kalau datanya berasal dari suatu percobaan yang terancang perlu berhati-hati dan memeriksa bahwa semua persamaan itu
bebas, atau tidak. Kalau ternyata tidak bebas perlu mengambil langkah-langkah yang diperlukan untuk memperoleh nilai dugaan.
Suatu metode yang digunakan untuk menganalisis data dari percobaan yang terancang adalah metode analisis variansi Analysis of Variance. Sebagian
peneliti belum menyadari bahwa setiap masalah analisis variansi dengan pengaruh tetap fixed-effects atau model I, dapat diselesaikan melalui regresi secara umum
kalau modelnya diidentifikasi secara benar dan kalau langkah-langkah pencegahan telah diambil agar diperoleh persamaan normal yang bebas. Bukan
suatu keharusan bahwa masalah analisis variansi dengan pengaruh tetap diselesaikan melalui pendekatan regresi, tetapi hanya menunjukkan bahwa
melalui pendekatan regresi analisis variansi dapat diselesaikan, kalau langkah- langkah yang benar telah diambil dalam menangani masalah tersebut. Salah satu
alasan yang mendasari adalah bahwa model analisis variansi mempunyai model, dan hanya model tersebutlah yang menjadi dasar pembuatan tabel analisis
variansi. Dengan mengetahui bahwa analisis variansi dan analisis regresi setara keduanya memerlukan model dalam memperoleh tabel analisis variansi.
Suatu ciri model analisis variansi adalah model analisis ini terparameterisasikan secara berlebih, artinya model ini mengandung lebih banyak
parameter daripada yang dibutuhkan untuk mempresentasikan pengaruh-pengaruh yang diinginkan. Parameterisasi berlebihan biasanya dikompensasi dengan
membuat kendala terhadap parameter-parameternya. Pendekatan regresi terhadap analisis variansi mengharuskan pembuatan variabel boneka. Dengan memberi
nilai 1 atau 0 apabila pengamatan masuk dalam kategori atau tidak. Aturan yang berlaku adalah bila suatu variabel kualitatif mempunyai
m
kategori, maka banyaknya variabel boneka yang dibutuhkan adalah
1 −
m
.
A. Pendekatan Regresi terhadap Klasifikasi Satu Arah
Model analisis variansi untuk klasifikasi satu arah adalah
ij i
ij
y ε
α μ
+ +
= k
,..., ,
i 2
1 =
n ,...,
, j
2 1
= 3.1
Dimana :
ij
y = pengamatan ke j dalam populasi ke i. μ = rata-rata total.
α = rata-rata kelompok ke i. ε = galat.
sehingga persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk regresi menjadi ε
β +
= X Y
ε α
α μ
+ +
+ +
=
k k
x ...
x x
1 1
3.2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
k
x x
x x
Λ
2 1
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
− −
− −
− −
−
=
kn k
k n
n
y y
y y
y y
y y
y
Μ Μ
Μ Μ
2 1
2 22
21 1
12 11
Y
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
=
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
Λ Μ
Μ Μ
Μ Λ
Λ Μ
Μ Μ
Μ Λ
Μ Μ
Μ Μ
Λ Λ
Λ Μ
Μ Μ
Μ Λ
Λ
X ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
k
α α
α μ
Μ
2 1
β
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
− −
− −
− −
−
=
kn k
k n
n
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε
Μ Μ
Μ Μ
2 1
2 22
21 1
12 11
ε
Jika diperhatikan matriks X maka terlihat bahwa jumlah elemen kolom kedua
sampai dengan elemen kolom ke
k
adalah kolom pertama, jadi kolom-kolom matriks ini tidak bebas satu sama lain. Karena itu
X X′
singular sehingga persamaan normalnya tidak memberikan jawaban yang tunggal untuk parameter
yang ingin diduga. Agar persamaan normal mempunyai jawab yang tunggal maka kendala tambahan perlu dimasukkan. Kendala yang memberikan jawaban seperti
itu adalah ...
2 2
1 1
= +
+ +
k k
n n
n α
α α
3.3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
