2.1.4 Eigen value dan Eigen vector
Sebelum kita masuk pada pembahasan mengenai eigen value dan eigen vector, berikut dijabarkan terlebih dahulu mengenai matriks dan vector.
Defenisi Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka – angka sering disebut elemen-elemen yang
disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.
Sekumpulan himpunan objek bilangan riil atau kompleks,variabel –variabel
yang disusun secara persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom yang biasanya dibatasi dengan kurung siku atau biasa. Jika sebuah matriks memiliki m baris dan n
kolom maka matriks tersebut berukuran ordo dan matriks dikatakan bujur
sangkar square matrix jika . Dan skalar
– skalarnya berada dibaris ke-i dan n kolom ke-j yang disebut
matriks entri.
Perkalian Matriks
Untuk melakukan perkalian matriks, yaitu dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama
Contoh :
Universitas Sumatera Utara
Transpose Matriks
Transpose suatu matriks ialah suatu matriks baru yang mana elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan syarat bahwa baris-baris dan kolom-
kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang baru ini, dengan kata lain baris ke-i dari matriks A menjadi kolom ke-i dari matriks baru.
Transpose suatu matriks diperoleh dengan menukarkan unsur baris menjadi unsur kolom. Transposematriks A dinyatakan dengan
atau .
Contoh : 1. Jika diketahui matriks A= maka
= 1. Jika diketahui matriks B =
maka =
\
Determinan Matriks
Determinan matriks A= berukuran nxn adalah suatu skalar yang menentukan
matriks A, dengan n disebut orde dari determinan. Determinan matriks A dinyatakan dengan det A atau
. Secara umum determinan dapat dicari dengan: 1.
Ekspansi kofaktor dengan kaidah Cramer a.
Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, minor entri dinyatakan ole
dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tinggal setelah baris
ke-i dan kol ke –j. Bilangan
dinyatakan oleh dinamakan
kofaktor entri .
Contoh: 1. Andaikan A= maka entri
adalah =
=10-56= -30 dengan kofaktor adalah
= =
= -30 b.
Jika A adalah sebarang matriks nxn dan adalah kofaktor
, maka matriks
Dinamakan matriks kofaktor A. Transposisi matriks ini dinamakan adjoin dari A dinyatakan dengan adjA.
Universitas Sumatera Utara
2. Menentukan determinan dengan aturan laplace ekspansi kofaktor yang
ditentukan dengan cara berikut : a.
Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-j. Det A =
+ + …+
b. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke–i, dengan
adalah elemen unsur matriks, dan
adalah kofaktor. Contoh: 1. Diketahui matriks A =
, hitunglah determinan matriks A dengan ekspansi pada baris pertama dan kolom ke-2.
Jawab : -
Determinan untuk ekspansi baris pertama A =
, =
+ +
= 1 – 2
+ 0 = 15
– 42 + 0 = – 27 -
Determinan untuk ekspansi kolom ke-2 =
+ +
= 2 – 5
+ 0 = 42
– 15 + 0 = 27
Inverse Matriks
Inverse matriks A merupakan matriks kebalikan dari A dinyatakan dengan simbol .
Rumus matriks inverseadalah =
adjA Keterangan :
= determinan matriks A adjA = adjointA = transpose dari matriks kofaktor
merupakan kebalikan dari matriks Amaka hasil perkalian antara matriks A dengan
akan menghasilkan matriks identitas I.
Universitas Sumatera Utara
Vektor dari n dimensi
Suatu vektor dengan n dimensi merupakan suatu susunan elemen – elemen yang
teratur berupa angka – angka sebanyak n buah, yang disusun baik menurut baris, dari
kiri ke kanan disebut vektor baris atau row vector dengan ordo maupun
menurut kolom, dari atas ke bawah disebut vektor kolom atau coloumn vector dengan ordo
. Himpunan semua vektor dengan n komponen dengan entri riil dinotasikan dengan
Untuk vektor dirumuskan sebagai berikut:
Eigen value dan Eigen vector
Definisi : Jika A adalah matriks n x n maka vektor tak nol x di dalam dinamakan
dinamakan eigen vector dari A jika Ax kelipatan skalar x, yakni :
Skalar dinamakan eigen value dari A dan x dikatakan eigenvector yang
bersesuaian dengan . Untuk mencari eigen value dari matriks A yang berukuran
maka dapat ditulis pada persamaan berikut :
atau secara ekivalen
Agar menjadi eigen value, maka harus ada pemecahan tak nol dari
persamaan ini. Akan tetapi, persamaan diatas akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika :
Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah eigen value dari A.
Bila diketahui bahwa nilai perbandingan elemen Ai terhadap elemen Aj adalah , maka secara teoritis matriks tersebut berciri positif berkebalikan, yakni
Universitas Sumatera Utara
. Bobot yang dicari dinyatakan dalam vektor .
Nilai menyatakan bobot kriteria A
n
terhadap keseluruhan set kriteria pada sub sistem tersebut.
Jika mewakili derajat kepentingan i terhadap faktor j dan
manyatakan kepentingan dari faktor j terhadap faktor k, maka agar keputusan menjadi konsisten,
kepentingan i terhadap faktor k harus sama dengan
atau jika
untuk semua i,j,k maka matriks tersebut konsisten. Untuk suatu matriks konsisten dengan faktor w, maka elemen
dapat ditulis menjadi :
1
Jadi matriks konsisten adalah:
2
Seperti yang diuraikan diatas, maka untuk matriks perbandingan berpasangan
diuraikan seperti berikut ini: 3
Dari persamaan tersebut di atas dapat dilihat bahwa :
4
Dengan demikian untuk matriks perbandingan berpasangan yang konsisten menjadi:
5 6
Persamaan di atas ekivalen dengan bentuk persamaan matriks di bawah ini: 7
Universitas Sumatera Utara
Dalam teori matriks, formulasi ini diekspresikan bahwa w adalah eigenvector dari matriks A dengan eigen value n. Perlu diketahui bahwa n merupakan dimensi
matriks itu sendiri. Dalam bentuk persamaan matriks dapat ditulis sebagai berikut:
8
Pada prakteknya, tidak dapat dijamin bahwa : 9
Salah satu faktor penyebabnya yaitu karena unsur manusia decision maker tidak selalu dapat konsisten mutlak absolte consistent dalam mengekpresikan
preferensinya terhadap elemen-elemen yang dibandingkan. Dengan kata lain, judgment yang diberikan tidak untuk setiap elemen persoalan pada suatu level
hierarchy dapat saja inconsistent. Jika :
1 Jika λ
1
, λ
2
,..., λ
n
adalah bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan : 10
dengan eigen value dari matriks A dan jika ,maka ditulis
11 Misalkan kalau suatu matriks perbandingan berpasangan bersifat ataupun
memenuhi kaidah konsistensi seperti pada persamaan 2, maka perkalian elemen matriks sama dengan 1.
b 12 Eigen value dari matriks A,
13
Universitas Sumatera Utara
Kalau diuraikan lebih jauh untuk persamaan 13, hasilnya menjadi : 14
Dari persamaan 14 kalau diuraikan untuk mencari harga eigen value maximum
λ-max yaitu :
Dengan demikian matriks pada persamaan 12 merupakan matriks yang konsisten, dimana nilai λ – max sama dengan harga dimensi matriksnya.
Jadi untuk n 2, maka semua harga eigen value-nya sama dengan nol dan hanya ada satu eigen value yang sama dengan n konstan dalam kondisi matriks
konsisten. 2 Jika ada perubahan kecil dari elemen matriks maka a
ij
eigen value-nya akan berubah menjadi semakin kecil pula.
Dengan menggabungkan kedua sifat matriks aljabar linier. Jika:
a. Elemen diagonal matriks A
b. Dan untuk matriks A yang konsisten, maka variasi kecil dari
akan membuat harga eigen value yang lain mendekati nol.
2.1.5 Uji Konsistensi Indeks dan Rasio
Dalam teori matriks dapat diketahui kesalahan kecil pada koefisien akan menyebabkan penyimpangan kecil pada eigen value. Dengan mengkombinasikan apa
tang telah diuraikan sebelumnya, jika diagonal utama dari matriks A bernilai satu dan jika A konsisten maka penyimpangan kecil dari
akan tetap menunjukkan eigen
Universitas Sumatera Utara