ANALISA STRUKTUR SECARA PLASTIS

Gambar 2.16. Gambar sendi plastis beban segitiga

2.3. ANALISA STRUKTUR SECARA PLASTIS

2.3.1. Pendahuluan Analisa struktur secara plastis bertujuan untuk menentukan beban batas yang dapat dipikul oleh suatu struktur ketika mengalami keruntuhan. Kruntuhan struktur dimulai dengan terjadinya sendi plastis. Keruntuhan dapat bersifat menyeluruh ataupun parsial. Suatu struktur hiperstatis berderajat n akan mengalami mengalami keruntuhan total jika kondisinya labil, di sini telah terbentuk lebih dari n buah sendi plastis. Keruntuhan parsial terjadi apabila sendi plastis yang terjadi pada mekanisme keruntuhan tidak menyebabkan struktur hiperstatis dengan derajat yang lebih rendah dari yang semula. Suatu struktur statis tak tentu mempunyai sejumlah mekanisme keruntuhan yang berbeda. Setiap mekanisme keruntuhan itu menghasilkan beban runtuh yang berbeda. Sehingga pada akhirnya dipilih mekanisme yang menghasilkan beban runtuh yang terkecil. � � �� = ��� 3 2 Universitas Sumatera Utara Jumlah sendi plastis yang dibutuhkan untuk mengubah suatu struktur kedalam kondisi mekanisme runtuhnya sangat berkaitan dengan derajat statis tak tentu yang ada dalam struktur tersebut. Dalam hal ini dapat dibuat runusan sebagai berikut : � = � + 1 Dimana n = jumlah sendi plastis untuk runtuh r = derajat statis tak tentu 1. untuk struktur balok dua perletakan sendi- sendi struktur statis tertentu dengan � = 0 ��� � = 1 Gambar 2.17. struktur pembebanan dan mekanisme runtuh perletakan sendi- sendi Struktur diatas hanya memerlukan sebuah sendi platis untuk mencapai mekanisme runtuhnya yaitu sendi plastis pad momen maksimum dibawah beban titik. 2. Suatu balok dua perletakan sendi- jepit struktur statis tak tentu berderajat 1 dengan � = 1 ��� � = 2 Gambar 2.18. struktur pembebanan dan mekanisme runtuh perletakan sendi- jepit P P Universitas Sumatera Utara Struktur perletakan ini memerlukan dua buah sendi plastis untuk mencapai mekanisme keruntuhannya . sendi plastis pada system perletakan tersebut akan terjadi pada titik dimana terjadinya momen maksimum dan pada perletakan jepit. 3. Untuk balok struktur dua perletakan jepit- jepit struktur statis tak tentu berderajat dua dengan � = 2 ��� � = 3 Gambar 2.19. struktur pembebanan dan mekanisme runtuh perletakan jepit –jepit Pada struktur perletakan ini diperlukan tiga buah sendi platis untuk mencapai mekanisme keruntuhannya. Sendi pada system perletakan tersebut akan terjadi pada titik dimana terjadinya momen maksimum dan pada perletakan jepit. 2.3.2. Perhitungan struktur Pada prinsipnya, jika suatu struktur mencapai kondisi keruntuhan maka akan dipenuhi ketiga kondisi berikut: 1. Kondisi leleh Yield Condition Momen lentur dalam struktur tidak ada yang melampaui momen batas Mp 2. Kondisi keseimbangan Equilibrium Condition 3. Kondisi mekanisme mechanism condition Beban batas tercapai apabila terbentuk suatu mekanisme keruntuhan. P Universitas Sumatera Utara Ketiga kondisi diatas menjadi syarat dari teorema berikut: 1. Teorema batas bawah lower bound theorem Teorema batas bawah menetapkan atau menghitung distribusi momen dalam struktur berdasarkan kondisi keseimbangan dan leleh. Beban yang dianalisa memiliki factor beban � yang memiliki nilai yang lebih kecil dari harga yang sebenarnya � � , dirumuskan � ≤ � � sehingga hasil yang dihasilkan mungkin aman mungkin tidak. 2. Teorema batas atas upper bound theorem Jika distribusi momen yang diperoleh dihitung berdasrkan syarat yang memenuhi kondisi keseimbangan dan mekanisme, dapat dipastikan bahwa harga factor bebannya akan lebih besar atau sama dengan harga sebenarnya, � � , � ≥ � � Sehingga hasil yang dihasilkan mungkin benar atau mungkin tidak. 3. Teorema unik unique theorem Distribusi momen untuk teorema ini akan memenuhi ketiga kondisi tersebut di atas sehingga akan diperoleh nilai factor beban dari mekanisme struktur yang ditinjau : � = � � . Pada teorema ini terdapat 4 metode yang dapat digunakan : a. Metode statis b. Metode kerja virtual virtual work method c. Metode distribusi momen d. Metode element hinggafinite element method Universitas Sumatera Utara 2.3.3. Metode kerja virtual Metode kerja virtual adalah metode yang meninjau keseimbangan energi dari struktur tersebut ketika mengalami mekanisme runtuhnya. Persamaan kerja virtual ini dapat ditulis sebagagai berikut : ∑��. ∆� = ∑��. �� 2.14 Dimana : Wi = beban luar beban terpusat atau terbagi rata ∆� = deformasi struktur ∆� = � 2 � tan � , untuk sudut yang kecil tan � = � tan � = � Mj = momen pada tampang kritis �� = sudut rotasi sendi plastis 2.3.4. Metode Elemen Hingga Untuk Elemen Plane frame Metode elemen hingga merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Metode elemen hingga juga dikenal sebagai metode kekakuan ataupun displacement methode karena yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian gaya batang dicari. Dalam hubungannya dengan tugas akhir ini, metode elemen hingga ini digunakan untuk perhitungan gaya-gaya dalam yang terjadi pada komponen struktur. Untuk itu, metode elemen hingga yang digunakan adalah metode elemen hingga untuk Elemen Plane frame dimana gaya yang bekerja pada struktur yang diperhitungkan hanya terbatas pada gaya normal, gaya lintang, dan momen pada arah z Universitas Sumatera Utara Persamaan umum untuk metode elemen hingga ini adalah : { �} = [�]{�} 2.15 dimana : {f} = Matriks gaya-gaya batang kg [k] = Matriks kekakuan struktur Nm 2 {d} = Matriks perpindahan m dan rad Kemudian rumus untuk menentukan kekakuan global dapat diturunkan sebagai berikut : ��̅� = [�]{�} ��̅� = [�]{�} { �} = [�]{�} [ �] −1 ��̅� = [�][�] −1 ��̅� ��̅� = [�][�][�] −1 ��̅� Maka ditentukan matriks kekakuan global adalah : ���� = [�][�][�] −1 Dengan [ �] adalah suatu faktor konversi gaya-gaya ke arah sumbu global yang berbeda-beda untuk tiap jenis struktur dan akan dijabarkan kemudian. Setelah diperoleh matriks kekakuan global, maka dapat disusun suatu matriks kekakuan struktur yang memasukkan semua komponen-komponen elemen yang ada. �� ̅ 1 �̅ 2 � = �� � 1 �� 2 � �� ̅ 1 �̅ 2 � Universitas Sumatera Utara Langkah berikutnya yaitu menentukan syarat-syarat batas yang ada dan kemudian nilai perpindahan dapat diperoleh. Dengan nilai perpindahan global yang diperoleh, gaya-gaya batang untuk tiap element dapat ditentukan dengan : { �} = [�]{�} dimana : { �} = [�] −1 ��̅� Dalam menggunakan metode elemen hingga, perlu diperhatikan, bahwa pada tiap elemen batang akan terdapat dua buah titik simpul yaitu simpul awal yang diberi tanda 1 dan simpul akhir yang diberi tanda 2 dan sebuah elemen yang diberi tanda a seperti tampak pada Gambar.2.14 Derajat kebebasan adalah jumlah komponen perpindahan yang dapat terjadi pada kedua simpul yang ada pada suatu elemen. Jumlah derajat kebebasan berbeda-beda untuk tiap jenis struktur. Misalnya, untuk elemen rangka, jumlah derajat kebebasannya adalah dua yaitu masing-masing satu perpindahan dalam arah sumbu batang biasanya disebut sebagai sumbu 1 pada titik simpul 1 dan 2. Dari jumlah derajat kebebasan yang ada, suatu matriks kekakuan untuk suatu jenis struktur dapat ditentukan. Masing-masing jenis struktur memiliki suatu matriks kekakuan tersendiri dimana matriks kekakuan untuk elemen rangka Gambar.II.11.Titik Simpul dan Elemen 2 1 Gambar 2.20. Titik simpul dan element Universitas Sumatera Utara berbeda dengan matriks kekakuan untuk elemen frame dan lain-lainnya. Begitu pula halnya dengan matriks kekakuan untuk elemen grid. Matriks kekakuan dari elemen plane frame dapat diperoleh dengan menggabungkan Matriks kekakuan truss element dengan beam element. Memiliki 6 buah DOF dimana element- elementnya mengalami gaya normal, gaya lintang, dan momen pada arah z. Kekakuan dalam suatu struktur terbagi dalam dua jenis yaitu kekakuan lokal dan kekakuan global. Kekakuan lokal adalah kekakuan elemen yang mengacu arah sumbu masing-masing elemen sedangkan kekakuan global adalah kekakuan elemen yang mengacu pada sistem koordinat global yaitu sistem koordinat kartesian XYZ. Jika dalam suatu struktur terdapat lebih dari satu batang dengan arah sumbu lokal yang berbeda, maka kekakuan lokal dari tiap elemen harus diubah menjadi kekakuan global agar matriks kekakuan dari semua elemen yang ada dapat digabungkan. Untuk elemen plane frame, seperti yang telah disebutkan di atas, kekakuan lokalnya merupakan gabungan dari kekakuan lokal untuk truss element dengan beam element. ΕΙz ΕΑ Sy 1 Μz 1 Sx 1 Sy 2 Μz 2 Sx 2 L Gambar 2.21. derajat kebebasan untuk elemen plane frame Universitas Sumatera Utara • Syarat keseimbangan : � �1 = −� �2 ; � �1 = −� �2 ; � �1 = −� �2 + � �2 . � Menentukan Matriks Kekakuan Untuk Flane-Frame Element dimana : � �1 = �� � � 1 − � 2 ; � �2 = �� � � 2 − � 1 � �1 = 12 �� � 3 � 1 − � 2 + 6 �� � 2 � 1 + � 2 ; � �2 = 12 �� � 3 � 2 − � 1 − 6 �� � 2 � 1 + � 2 � �1 = 6 �� � 2 � 1 − � 2 + 2 �� � 2 � 1 + � 2 ; � �2 = 6 �� � 2 � 1 − � 2 + 2 �� � � 1 + 2 � 2 Maka diperoleh : ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ � �1 � �1 � �1 � �2 � �2 � �2 ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ �� � 12 �� � 3 6 �� � 2 6 �� � 2 4 �� � − �� � − 12 �� � 3 6 �� � 2 − 6 �� � 2 2 �� � − �� � − 12 �� � 3 − 6 �� � 2 6 �� � 2 2 �� � �� � 12 �� � 3 − 6 �� � 2 − 6 �� � 2 4 �� � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ � 1 � 1 � 1 � 2 � 2 � 2 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ Jadi matriks kekakuan lokal untuk plane-frame element : [ �] = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ �� � 12 �� � 3 6 �� � 2 6 �� � 2 4 �� � − �� � − 12 �� � 3 6 �� � 2 − 6 �� � 2 2 �� � − �� � − 12 �� � 3 − 6 �� � 2 6 �� � 2 2 �� � �� � 12 �� � 3 − 6 �� � 2 − 6 �� � 2 4 �� � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Universitas Sumatera Utara • Menentukan Matriks Kekakuan Global Untuk Plane-Frame Element perhatikan gambar 1.2. pada sistem koordidat batang tipikal, Untuk simpul 1 pada gambar tersebut, dapat dituliskan : �̅ 1 = � �̅ �1 �̅ �1 �� �1 � = � cos � − sin � 0 sin � cos � 1 � � � �1 � �1 � �1 � = [�]{� 1 } Untuk satu element batang berlaku : ��̅ � � = [� � ]{ � � } �� ̅ 1 �̅ 2 � = �� �� � � 1 � 2 � dimana : [ � � ] = �� �� Maka matriks kekakuan global untuk truss element adalah : ��� � � = [� � ][ � � ][ � � ] −1 Karena matriks [ � � ] merupakan matriks ortogonal maka dapat ditulisakan sebagai : ��� � � = [� � ][ � � ][ � � ] � ��� � � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ cos � − sin � 0 sin � cos � 1 cos � − sin � 0 sin � cos � 1⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ �� � 12 �� � 3 6 �� � 2 6 �� � 2 4 �� � − �� � − 12 �� � 3 6 �� � 2 − 6 �� � 2 2 �� � − �� � − 12 �� � 3 − 6 �� � 2 6 �� � 2 2 �� � �� � 12 �� � 3 − 6 �� � 2 − 6 �� � 2 4 �� � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ cos � sin � 0 − sin � cos� 0 1 cos � sin � 0 − sin � cos� 0 1⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Jika dimisalkan cos α = c dan sin α = s, maka matriks kekekakuan global untuk Plane-Frame Element : Universitas Sumatera Utara ��� � � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ �� 2 + 12 � � 2 � 2 �� − 12 � � 2 � �� − 6 � � � �� − 12 � � 2 � �� �� 2 + 12 � � 2 � 2 6 � � � − 6 � � � 6 � � � 4 � − ��� 2 + 12 � � 2 � 2 � − �� − 12 � � 2 � �� − 6 � � � − �� − 12 � � 2 � �� − ��� 2 + 12 � � 2 � 2 � 6 � � � 6 � � � − 6 � � � 2 � − ��� 2 + 12 � � 2 � 2 � − �� − 12 � � 2 � �� 6 � � � − �� − 12 � � 2 � �� − ��� 2 + 12 � � 2 � 2 � − 6 � � � − 6 � � � 6 � � � 2 � �� 2 + 12 � � 2 � 2 �� − 12 � � 2 � �� − 6 � � � �� − 12 � � 2 � �� �� 2 + 12 � � 2 � 2 − 6 � � � − 6 � � � − 6 � � � 4 � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Setelah matriks kekakuan diperoleh maka gaya-gaya batang untuk elemen plane frame dapat dihitung dengan terlebih dahulu menghitung besarnya perpindahan yang terjadi pada titik-titik simpul dengan menggunakan persamaan 2.15. ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ � �1 � �1 � �1 � �2 � �2 � �2 ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ �� � 12 �� � 3 6 �� � 2 6 �� � 2 4 �� � − �� � − 12 �� � 3 6 �� � 2 − 6 �� � 2 2 �� � − �� � − 12 �� � 3 − 6 �� � 2 6 �� � 2 2 �� � �� � 12 �� � 3 − 6 �� � 2 − 6 �� � 2 4 �� � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ � 1 � 1 � 1 � 2 � 2 � 2 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ 2.16 Setelah nilai-nilai perpindahan diperoleh dari persamaan 2.16, maka gaya-gaya dalam untuk tiap elemen dapat dicari dengan menggunakan persamaan 2.15. Universitas Sumatera Utara

BAB III METODE ANALISA