3 2
1 3
3 1
2 3
1 1
k k
k k
k k
k k
k k
k
Agar semua akar polinomial tersebut mempunyai bagian real negatif maka harus memenuhi:
1 1
k
3 2
1 2
k k
k k
3 3
2 1
3 3
k k
k k
k k
1
k k
k
2 2
k k
k
3 3
k k
k
Jadi semua akar polinomial
3 2
2 1
3
k k
k k
mempunyai bagian real negatif apabila
1. ,
, ,
2 1
k k
k dan
.
3
k 2.
3 2
1
k k
k k
.
2.15 Kriteria Kestabilan
Menurut Bellomo Presziosi 1995, kriteria kestabilan dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen dari matriks Jx. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai
eigen matriks Jacobian Jx disajikan dalam Tabel 2.1.
Tabel 2.1 menunjukan bahwa sistem akan stabil asimtotis jika kedua nilai eigen matriks Jacobian Jx berupa bilangan real negatif atau bilangan kompleks
dengan bagian real bernilai negatif. Jika salah satu atau kedua nilai eigen berupa bilangan real positif atau bilangan kompleks dengan bagian real bernilai positif
maka sistem akan tidak stabil. Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan pada Tabel 2.1 dapat dilihat
dengan mengamati trayektori pada bidang fase. Gambar 2.2 menunjukan contoh trayektori dari tipe kestabilan yang telah disajikan pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen Nilai eigen
Nama Kestabilan
real, tidak sama, bertanda sama
simpul stabil asimtotik: semuanya negatif
tidak stabil: semuanya positif real, tidak sama,
berlawanan tanda sadel
tidak stabil
real, sama simpul
stabil asimtotik: semuanya negatif tidak stabil: jika semuanya positif
kompleks konjugate bukan imajiner murni
spiral stabil asimtotik: bagian real negatif
tidak stabil: bagian real positif imajiner murni
pusat stabil
Gambar 2.2 Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan Gambar 2.2 menunjukan titik pusat kanan atas, titik sadel kiri atas, titik
spiral stabil kanan bawah dan titik spiral yang tak stabil kiri bawah.
2.16 Maple
Maple merupakan salah satu perangkat lunak software yang dikembangkan oleh Waterloo Inc. Kanada. Maple sering digunakan untuk
keperluan ComputerAlgebraic System CAS. Menu-menu yang terdapat pada tampilan program Maple ini terdiri dari menu File, Edit, View, Insert, Format,
Spreadsheet, Option, Window, dan Help. Sebagian besar menu-menu di atas merupakan menu standar yang dikembangkan untuk program aplikasi pada system
operasi Windows.
Maple sering digunakan untuk keperluan penyelesaian permasalahan persamaan diferensial dan visualisasinya, karena Maple memiliki kemampuan
menyederhanakan persamaan, hingga suatu solusi persamaan diferensial dapat dipahami dengan baik. Keunggulan lain dari Maple untuk aplikasi persamaan
diferensial adalah kemampuan melakukan animasi grafik dari suatu fenomena gerakan yang dimodelkan ke dalam persamaan diferensial yang memiliki nilai awal
dan syarat batas Kartono, 2001. Pernyataan yang sering digunakan untuk keperluan menyelesaikan
permasalahan persamaan diferensial antara lain: diff digunakan untuk mendiferensialkan menurunkan suatu fungsi, dsolve digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial, evalf memberikan nilai numeric dari suatu persamaan, dan simplify digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan.
Namun tentu saja pernyataan-pernyataan awal seperti restart dan deklarasi variabelkonstanta yang diperlukan tidak boleh diabaikan. Untuk membuat grafik
pada Maple digunakan perintah plot, plot2d, plot3d, tergantung dimensi dari pernyataan yang dimiliki. Untuk membuat gerakan animasi digunakan perintah
animate3d Kartono, 2001. Bahasa yang digunakan pada Maple merupakan bahasa pemrograman yang
sekaligus sebagai bahasa aplikasi, sebab pernyataan atau statement yang merupakan input pada Maple berupa deklarasi pada bahasa program dan perintah command
yang sering digunakan pada bahasa aplikasi.
42
BAB 3 METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi beberapa tahap sebagai berikut:
3.1 Menentukan Masalah
Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan yang
akan dikaji.
3.2 Merumuskan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk merumuskan permasalahan dengan jelas sehingga mempermudah pembahasan, permasalahan yang dibahas adalah:
1 bagaimana model matematika epidemi SEIV penyebaran penyakit polio pada
populasi tak konstan, 2
bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan model matematika penyebaran penyakit polio pada populasi tak konstan, dan
3 bagaimana simulasi model dan interpretasi perilaku model matematika
penyebaran penyakit polio pada populasi tak konstan menggunakan program Maple.
3.3 Studi Pustaka
