tajam. Saat ini upaya imunisasi di banyak negara dibantu oelh Rotary International UNICEF dan WHO untuk mempercepat eradikasi global polio Widoyono, 2008.
Dalam World Health Assembly tahun 1998 yang diikuti oleh sebagian besar negara di penjuru dunia dibuat kesepakatan untuk melakukan Eradikasi Polio
Erapo tahun 2000, artinya dunia bebas polio tahun 2000. Program Eropa pertama yang dilakukan adalah
1. Melakukan cakupan imunisasi yang tinggi dan menyeluruh
2. Pekan Imunisasi Nasional yang telah dilakukan Depkes tahun 1995, 1996,
dan 1997. Pemberian imunisasi polio yang sesuai dengan rekomendasi WHO adalah diberikan sejak lahir sebanyak 4 kali dengan interval 6-8 minggu.
Kemudian diulang usia 1½ tahun, 5 tahun, dan usia 15 tahun 3.
Survailance Acute Flaccid Paralysis atau penemuan penderita yang dicurigai lumpuh layuh pada usia di bawah 15 tahun harus diperiksa tinjanya untuk
memastikan karena polio atau bukan. 4.
Melakukan Mopping Up, artinya pemberian vaksinasi massal di daerah yang ditemukan penderita polio terhadap anak di bawah 5 tahun tanpa melihat
status imunisasi polio sebelumnya WHO, 2005.
2.12 Titik Kesetimbangan Ekuilibrium
Definisi 2.7
Titik
n
R x
disebut titik ekuilibrium
x f
x
jika
x f
Perko, 1991.
Definisi 2.8
Titik ekuilibrium
n
R x
sistem
x f
x
dikatakan
a Stabil lokal jika untuk setiap
0 terdapat d
sedemikian hingga untuk setiap solusi xt yang memenuhi
x t
x berlaku
x t
x untuk
setiap t
t .
b Stabil asimtotik lokal jika titik ekuilibrium
n
R x
stabil dan terdapat sedemikian hingga untuk setiap solusi xt yang memenuhi
x t
x berlaku
x t
x
t
lim
. c
Tidak stabil jika titik ekuilibrium
n
R x
tidak memenuhi a Wiggins, 2003.
Definisi 2.9
Diberikan fungsi
, ,
1 n
f f
f
pada sistem
x f
x
dengan n
i E
C f
i
, ,
2 ,
1 ,
. Matriks
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
1 1
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f x
x f
x x
f
x f
J
n n
n n
n n
2.12
dinamakan matriks Jacobian dari f di titik x Kocak Hole, 1991.
Definisi 2.10
Sistem linear
x x
x Jf
x
disebut linearisasi sistem
x f
x
di sekitar titik x
Perko, 1991.
Teorema 2.1
Diberikan matriks Jacobian
x Jf
dari sistem nonlinear
x f
x
, dengan nilai eigen .
a Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks
x Jf
bernilai negatif, maka titik ekuilibrium
x dari Sistem nonlinear
x f
x
stabil asimtotik lokal. b
Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks
x Jf
yang bagian realnya positif, maka titik ekulibrium
x dari sistem nonlinear
x f
x
tidak stabil Olsder, 1994.
2.13 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah matriks n x n, maka suatu vektor taknol x di dalam
n
disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ, yang disebut nilai eigen dari A, berlaku:
Ax = λx.
2.13 Vektor x
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka persamaan
2.13 dapat dituliskan sebagai berikut: λI - A x = 0.
2.14 Dengan I matriks identitas. Persamaan 2.13 mempunyai solusi tak nol jika dan
hanya jika, detλI - A = 0.
2.15 Persamaan 2.15 disebut persamaan karakteristik Anton, 1995: 277.
2.14 Kriteria Routh-Hurwitz
Untuk menguji sifat kestabilan diperlukan perhitungan untuk menentukan nilai-nilai eigen dari matriks Jacobian di titik ekuilibrium. Sebagai alternatif untuk
menentukan nilai eigen tersebut digunakan kriteria Routh-Hurwitz.
Teorema 2.2
Jika pembuat nol pada persamaan
n n
n
a z
a z
a z
P ...
1 1
2.16 Mempunyai bagian real negatif, maka
,..., ,
2 1
a a
a a
a a
n
2.17 Hanh, 1967.
Selanjutnya tanpa mengurangi keumuman diambil a positif sehingga
seluruh koefisien dari polinomial 2.16 bertanda sama, sehingga dapat dibentuk
6 40
4 30
2 20
10
, ,
, a
c a
c a
c a
c
7 41
5 31
3 21
1 11
, ,
, a
c a
c a
c a
c
Misalkan
1 2
a a
r
7 2
6 32
5 2
4 22
3 2
2 12
, ,
a r
a c
a r
a c
a r
a c
...
Misalkan
1 ,
1 2
, 1
j j
j
a a
r
1 ,
1 2
, 1
j i
j j
i ij
c r
c c
; dengan
,... 2
, 1
i
dan
,... 3
, 3
j ...
, .
1 nn
n
c c
Jika n = 2m maka .
,
3 ,
1 1
, 1
2 ,
1 ,
1 m
m n
m m
c c
a c
c Jika n = 2m maka
. ,
3 ,
1 1
, 1
2 ,
1 ,
1 m
m n
m m
c c
a c
c
Teorema 2.3
Pembuat nol dari polinomial 2.16 mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika pertidaksamaan 2.17 dipenuhi dan
,..., ,
1 12
11 n
c c
c 2.18
Grantmacher, 1959.
Teorema 2.4
Diberikan polinomial 2.16, dengan a positif dan
k
a bilangan real,
. ,...,
3 ,
2 ,
1 n
k
Matriks Hurwitz untuk persamaan 2.16 didefinisikan sebagai matriks bujur sangkar berukuran n x n yang berbentuk sebagai berikut.
n n
n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
H
2 1
2 3
4 5
1 2
3 1
2.19
Determinan Hurwitz tingkat ke-k, dinotasikan dengan n
k
k
, ,
2 ,
1 ;
yang
dibentuk dari matriks Hurwitz 2.19, didefinisikan sebagai berikut.
1 1
a
2 3
1 1
a a
a a
,
3 4
5 1
2 3
1 1
a a
a a
a a
a a
n n
n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
H
2 1
2 3
4 5
1 2
3 1
Grantmacher, 1959. Berikut ini teorema yang menjamin pembuat nol Polinomial 2.16 mempunyai
bagian real negatif.
Teorema 2.5
Pembuat nol dari Polinomial 2.16 mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika Pertidaksamaan 2.17 dipenuhi dan
, ,
, ,
3 2
1 n
2.20
Grantmacher, 1959. Contoh:
Diberikan polinomial berderajat 3 :
3 2
2 1
3
k k
k k
. Matriks Hurwitz dari polinomial tersebut adalah
3 1
2 3
1
k k
k k
k k
H
Dari matriks H diperoleh
1 1
1
k k
3 2
1 2
3 1
1
k k
k k
k k
k k
3 2
1 3
3 1
2 3
1 1
k k
k k
k k
k k
k k
k
Agar semua akar polinomial tersebut mempunyai bagian real negatif maka harus memenuhi:
1 1
k
3 2
1 2
k k
k k
3 3
2 1
3 3
k k
k k
k k
1
k k
k
2 2
k k
k
3 3
k k
k
Jadi semua akar polinomial
3 2
2 1
3
k k
k k
mempunyai bagian real negatif apabila
1. ,
, ,
2 1
k k
k dan
.
3
k 2.
3 2
1
k k
k k
.
2.15 Kriteria Kestabilan
