PERSAMAAN DIFERENSIAL LANDASAN TEORI

memenuhi dan koefisien adalah , sehingga polinom karakteristik dari matriks berbentuk Contoh 6: Carilah nilai-nilai eigen dari matriks Penyelesaian. Karena Maka polinom karakteristik dari adalah Dan persamaan karakteristik dari adalah Penyelesaian-penyelesaian persamaan ini adalah dan ; inilah nilai-nilai eigen dari . Lebih lanjut, matriks dan nilai eigen akan banyak digunakan untuk mencari penyelesaian suatu sistem persamaan diferensial.

C. PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung derivatif turunan satu atau lebih fungsi yang tidak diketahui William E Boyce, 2012. Contoh 7: Persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. 1. Persamaan Diferensial Biasa Jika fungsi yang tidak diketahui tergantung dari satu variabel bebas saja maka persamaan diferensial yang terbentuk disebut persamaan diferensial biasa. Contoh 8: 2. Persamaan Diferensial Parsial Jika fungsi yang tidak diketahui tergantung dari beberapa variabel bebas maka persamaan diferensial yang terbentuk disebut persamaan diferensial parsial. Contoh 9: 3. Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear Persamaan diferensial biasa ̇ , dikatakan linear jika adalah linear dalam variabel-variabel ̇ . Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial. Jadi persamaan umum persamaan diferensial biasa linear orde n diberikan dengan Persamaan yang tidak dalam bentuk di atas merupakan persamaan tak linear. Contoh 8: a. , merupakan persamaan diferensial linear. b. , merupakan persamaan diferensial tak linear karena suku dan . 4. Persamaan Diferensial Homogen dan Nonhomogen Suatu persamaan diferensial yang mempunyai bentuk umum disebut homogen jika . Jika tersebut berbentuk fungsi exponensial, trigonometri, ataupun fungsi polynomial dan maka persamaan diferensial tersebut dikatakan nonhomogen. Contoh 9: , merupakan persamaan diferensial homogen. 5. Penyelesaian Persamaan Diferensial Penyelesaian dari persamaan diferensial biasa dalam interval adalah sebuah fungsi sedemikian sehingga ada dan memenuhi untuk setiap dalam . Contoh 10: Selesaikan Persamaan Diferensial berikut: Persamaan di atas dapat ditulis sebagai: Bila kedua ruas diintegralkan maka ∫ ∫ Sehingga diperoleh atau dengan Jika diketahui nilai awal dan bila disubtitusikan ke persamaan dan diperoleh , sehingga persamaan menjadi:

D. TEORI SISTEM DINAMIK