MODEL MATEMATIKA LANDASAN TEORI

7

BAB II LANDASAN TEORI

A. MODEL MATEMATIKA

Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah- masalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu Ripno Juli, 2012. Secara umum, epidemi adalah timbulnya suatu penyakit yang menimpa sekelompok masyarakat atau suatu wilayah dengan angka kejadian yang melebihi angka normal dari kejadian penyakit tersebut Ripno Juli, 2012. Model epidemi merupakan model matematika yang digunakan untuk melihat laju penyebaran penyakit. Kondisi epidemi terjadi ketika ada salah satu individu rentan pada populasi tersebut, maka populasi tersebut memiliki peluang menjadi populasi rentan, dan kemungkinan besar infeksi tersebut akan mewabah pada populasi tersebut. Sehingga pada akhirnya seluruh individu dalam populasi berpeluang terinfeksi . Beberapa model matematika epidemi diantaranya: 1. Model SIR Model SIR pada awalnya diperkenalkan oleh W.O. Kennack dan McKendrick dalam makalahnya yang berjudul “A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics”, yang kemudian muncul dalam Proceding Royal Society London halaman 700-721 tahun 1927. Rangkuman tersebut dituliskan secara lengkap oleh Murray. Dalam model epidemik SIR, anggota dari populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu: suspek dengan simbol S, terinfeksi dengan simbol I, dan sembuh atau recovery dengan simbol R, yang masing-masing diberikan dalam bentuk S, I, dan R. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah atau susceptable dalam pemodelan SIR merupakan individu yang tidak terinfeksi tetapi golongan ini rentan terinfeksi penyakit. Oleh karena itu, golongan ini juga memiliki kemungkinan untuk menjadi terinfeksi menjadi atau infected. atau infected merupakan individu yang dapat menyebarkan penyakit pada individu yang susceptable waktu yang diperlukan oleh penderita infeksi penyakit dinamakan periode penyakit. Setelah mengalami periode penyakit kemudian individu ini pindah dan menjadi individu yang sembuh atau recovered. atau recovered merupakan individu yang telah sembuh atau kebal dalam kehidupannya. Model SIR umumnya ditulis dalam bentuk persamaan diferensial biasa, yang merupakan salah satu bagian model deterministik dengan waktu kontinu. Laju perubahan jumlah individu terinfeksi didefinisikan sebagai , dengan merupakan laju penularan penyakit sedangkan merupakan nilai laju penyembuhan. Individu yang terinfeksi diasumsikan dapat kembali sembuh dengan probabilitas konstan sepanjang waktu, yang kemudian berubah secara konstan dengan laju penyembuhan per kapita yang dinotasikan sebagai dan keseluruhannya disimbolkan sebagai . Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut: Laju perubahan jumlah individu yang rentan dipengaruhi oleh banyaknya individu yang tertular penyakit oleh individu yang terinfeksi dengan laju penularan . Laju perubahan jumlah individu yang terinfeksi dipengaruhi oleh banyaknya individu yang rentan tertular penyakit menjadi terinfeksi dan banyaknya individu yang terinfeksi menjadi sembuh dengan laju penyembuhan β. Laju perubahan jumlah individu yang sembuh dipengaruhi oleh banyaknya individu yang terinfeksi menjadi sembuh dengan laju penyembuhan β, sehingga dari diagram tersebut dapat dibentuk dalam persamaan diferensial sebagai berikut: 2.1 Persamaan ini menggambarkan mengenai transisi masing-masing individu dari ke lalu ke . Dengan menambahkan sistem persamaan 2.1 dapat ditunjukkan bahwa total populasi adalah konstan. susceptables infected recovered 2. Model SI Model SI adalah bentuk sederhana dari model SIR klasik. Pada beberapa kasus infeksi tidak diperlukan adanya kelas populasi recovered. Misalnya, bisa jadi individu yang telah terinfeksi sama sekali tidak dapat sembuh. Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut: Dalam model SI, anggota dari populasi manusia hanya dibagi menjadi dua kelas, yaitu: suspek dengan simbol S dan terinfeksi dengan simbol I. Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah 3. Model SEIR Model SEIR menggunakan pertimbangan bahwa adanya periode ekspose atau tersembunyi dari penyakit. Beberapa penyakit mempunyai sebuah fase tersembunyi atau belum terlihat, pada waktu dimana individu dikatakan telah terinfeksi tetapi tidak menginfeksi dilambangkan dengan simbol . Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut: Dalam model SEIR, anggota dari populasi manusia dibagi menjadi empat kelas, yaitu: suspek dengan simbol S , ekspose dengan simbol , susceptables infected susceptables exposed infected recovered terinfeksi dengan simbol I, dan sembuh dengan simbol . Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah 4. Model MSIR Model MSIR menggunakan anggapan bahwa untuk beberapa kasus penyakit dimana seorang individu terlahir dengan kekebalan pasif dari ibunya. Individu yang memiliki kekebalan pasif ini disimbolkan dengan . Secara skematik dapat digambarkan sebagai berikut: Dalam model MSIR, anggota dari populasi manusia hanya dibagi menjadi empat kelas, yaitu: bayi dengan kekebalan pasif dengan simbol , suspek dengan simbol , terinfeksi dengan simbol , dan sembuh dengan simbol . Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah

B. SISTEM LINEAR DAN MATRIKS